Свободные колебания в недемпфированной системе (без гасителя). Собственная частота колебаний.

Свободные колебания в недемпфированной системе

Свободные колебания динамических систем возникают при отсутствии переменного внешнего воздействия вследствие действия однократно приложенного и больше не повторяющегося воздействия (перемещения или скорости)

Свободные колебания из-за наличия сопротивлений среды с течением времени затухают. Системы, в которых энергия колебаний расходуется на преодоление сопротивлений среды, называют диссипативными, а системы, у которых энергия в окружающую среду не рассеивается - консервативными.

mz+ β z+ Жz = β η + Жη .

Условием свободных колебаний является:

1. Равенство нулю правой части данного уравнения, т.е. η = 0, η = 0 (внешнее возмущение отсутствует);

2. Задано начальное возмущение и после чего система начнет коле-баться. Принимая β =0, получим следующее уравнение

mz+ Жz= 0.

Разделив оба члена на массу m и приняв ω св =корень(Ж/m), получим:

где ω св - собственная (круговая) частота колебаний подрессоренной массы - m в недемпфированной системе, являющаяся внутренним (собственным) параметром системы.

Рассмотрим размерность, т.е. размерность частоты.

Свободные колебания системы с одной степенью свободы являются гармоническими. Гармоническими называются такие колебания, при которых обобщенная координата изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Гармонические колебания определяются амплитудой колебаний, периодом и начальной фазой.

Периодом колебаний Т - называют промежуток времени, за который система совершает полный цикл колебаний, после которого движение повторяется.

Период колебаний – величина, обратная частоте колебаний. Величина, обратная периоду, называется частотой колебаний. Частота колебаний обычно определяется числом колебаний в секунду или в герцах.

Под амплитудой колебаний понимается наибольшее за полупериод отклонение системы от положения равновесия.

Вывод:

1.Свободные колебания системы представляют собой гармонические колебания.

2. По величинам m и Ж можно получать главные круговые частоты собственных колебаний, которые не зависят от амплитуд колебаний и начальных условий.

3. Из решения следует, что модель с одной степенью свободы, будучи выведена из положения равновесия малым возмущением, неограниченно долго будет совершать гармонические колебания с частотой ω св. Эти ко- лебания являются не затухающим (теоретически), если в системе отсутст- вуют силы сопротивления - диссипации (гасители).

4. Амплитуда и начальная фаза свободных колебаний определяется параметрами системы, а именно - ω св и начальными условиями (начальным воздействием).

10. Свободные колебания в демпфированной системе (с гасителем). Коэффициент относительного затухания. Коэффициент критического затухания.

Свободные колебания в системе с гидравлическим гасителем

Рассмотрим теоретические основы демпфирования применительно к модели с одной степенью свободы.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний данной модели (η = 0, η = 0), с учетом демпфирования имеет вид:

mz+ β z+ Жz = 0

Разделив все члены уравнения на массу m, получим

где n – коэффициент относительного затухания, который определяется

где - коэффициент критического затухания, т.е. наименьшее значение коэффициента затухания, при котором движение системы перестает быть колебательным.

При < или n< 1 свободное движение системы носит колебательный характер, при > или n> 1 движение перестает быть колебательным и становится апериодическим.

Коэффициент критического затухания определяется

Записав частное решение уравнения (4.6) в виде

, (4.9)

получим характеристическое уравнение

. (4.10)

Корни данного характеристического уравнения определяются

. (4.11)

В зависимости от соотношения и возможны три случая:

1) < или < 1 - случай малого сопротивления в системе. Под корнем получится отрицательное число.(Затухающие колебания).

2) n > 1 - случай большого сопротивления в системе (система будет совершать апериодическое движение – непериодическое).

3) n =1 - случай критического сопротивления в системе (предельный вид апериодического движения).

11.Парциальная динамическая система (на примере модели с 2-мя степенями свободы). Определение парциальных частот колебаний.

Сложная колебательная система, обладающая многими степенями свободы, будет колебаться с парциальной частотой, если ей предоставить одну степень свободы при ограничении всех остальных степеней свободы.

Парциальной называется частота колебаний динамической системы, у которой все степени свободы, кроме одной, ограничены.

Другими словами – парциальные – т.е. частичными входящими в состав общих колебаний

Парциальные – частичными входящими в состав общих колебаний.

Составим уравнения сил, действующих на каждую массу, в соответствии с принципом Даламбера. Для этого необходимо поочередно зафиксировать (“мысленно закрепить”) каждую массу.

Для массы при фиксировании уравнение действующих сил будет иметь вид

Аналогично фиксируя , получим уравнение для массы

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒