Тема 1.1. Матрицы. Действия над матрицами

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Тема 1.1. Матрицы. Действия над матрицами

Определение 1.1. Матрицей размерности называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая строк и столбцов.

Согласно определению, матрица размерности имеет вид:

Числа и называются порядками матрицы. Числа , образующие матрицу, называются ее элементами. Индексы и элемента указывают соответственно на номера строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Матрицу можно записать сокращенно в виде

где .

Определение 1.2. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Равенство матриц

Сравнивать можно только матрицы одинаковой размерности.

Определение 1.3. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые порядки, а соответствующие элементы равны между собой. Таким образом, , если для всех значений .

Операции над матрицами

К операциям над матрицами относятся: сложение (вычитание) матриц, умножение матрицы на скаляр (число), умножение матриц.

Сложение (вычитание) матриц

Складывать (вычитать) можно только матрицы одной размерности.

Определение 1.4. Суммой матриц и называется матрица того же порядка, элементы которой определяются равенством

Аналогично определяется разность двух матриц.

Заметим, что операция сложения (вычитания) матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения (вычитания) вещественных чисел.

Умножение матрицы на число

Определение 1.5. Произведением матрицы на вещественное число называется матрица той же размерности, что и матрица А, элементы которой равны

То есть, при умножении матрицы на число, на это число умножаются все элементы матрицы.

Умножение матриц

Определение 1.6. Произведением матрицы , имеющей порядки соответственно равные и , на матрицу , имеющую порядки соответственно равные и , называется матрица , имеющая порядки соответственно и , элементы которой определяются по формуле

(1.1)

Другими словами, матрицу можно умножить на матрицу тогда и только тогда, когда числостолбцов матрицы соответствует числу строк матрицы . Формула (1.1) дает правило вычисления элементов матрицы-произведения, называемое правилом " строка–столбец", которое может быть сформулировано следующим образом: элемент матрицы равен сумме попарных произведений соответствующих элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы .

Задача 1.1. Найти произведение матриц , если последнее существует:

По правилу " строка–столбец" получим

Транспонирование матрицы

Определение 1.7. Транспонированием матрицы называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Матрица, полученная таким образом из матрицы , называется транспонированной по отношению к матрице и обозначается .

Например, если , то

Может оказаться, что квадратная матрица совпадает со своей транспонированной матрицей, т.е. . В этом случае матрица называется симметричной.

Квадратная матрица

Если в матрице порядки и равны, то она называется квадратной, а число называется ее порядком. Квадратная матрица имеет вид

Для квадратной матрицы вводят понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний ее угол, побочной диагональю той же матрицы – диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Определение 1.8. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Определение 1.9. Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, называется единичной и обозначается . Например,

С каждой квадратной матрицей связывают вполне определенную числовую характеристику, которая называется ее определителем или детерминантом.

Свойства определителей

Приведем ряд свойств, которыми обладает определитель -го порядка.

1. Свойство равноправности строк и столбцов.

При транспонировании матрицы величина ее определителя сохраняется, т.е. .

2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов).

Если в определителе поменять местами два параллельных ряда (две строки или два столбца) то его знак изменится на противоположный.

3. Линейное свойство определителя.

Если в определителе -го порядка некоторая -я строка является линейной комбинацией двух строк и с коэффициентами и , то

где - определитель, у которого -я строка равна , а все остальные такие же строки, как и у , а - определитель, у которого -я строка равна , а все остальные строки те же, что и у .

Следующие пять свойств являются логическим следствием трех основных свойств.

4. Общий множитель всех элементов некоторого ряда определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Если все элементы некоторого ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ему ряда, то определитель равен нулю.

7. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю.

8. Если к элементам какого-либо ряда определителя добавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число k, то значение определителя при этом не изменится.

9. Теорема ЛАПЛАСА (разложение определителя по элементам строки или столбца).

Определитель произвольного порядка равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

Например,

10. Свойство алгебраических дополнений параллельных рядов.

Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ему ряда равна нулю. Например,

Обратная матрица

Одно из важнейших свойств умножения чисел состоит в том, что для каждого числа , отличного от нуля, существует обратное такое, что

Оказывается, что нечто подобное имеет место и для матриц, причем роль условия играет условие, состоящее в том, что определитель матрицы отличен от нуля.

Определение 1.13. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю . В противном случае матрица называется вырожденной.

Определение 1.14. Матрица называется обратной по отношению к матрице , если выполняется соотношение:

Условие существования обратной матрицы сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1.1. Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Обратная матрица находится по следующей схеме:

1. Вычисляется определитель исходной квадратной матрицы -го порядка.

2. Формируется матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной квадратной матрицы . Такая матрица называется союзной по отношению к матрице и обозначается :

3. Транспонируют союзную матрицу, определяя тем самым так называемую присоединенную матрицу. Такая матрица обозначается и выглядит следующим образом:

4. Обратная матрица по отношению к матрице находится по формуле:

Задача 1.3. Дана матрица . Найти обратную матрицу по отношению к заданной.

Вычислим определитель матрицы .

Матрица невырождена, следовательно, обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов определителя.

; ; ;

; ; .

Формируем союзную матрицу

Определим присоединенную матрицу

Найдем обратную матрицу по отношению к матрице :

Ранг матрицы

Введем понятие минора матрицы. Рассмотрим некоторую матрицу :

Выделим в этой матрице произвольных строк и произвольных столбцов . Определитель -го порядка, составленный из элементов матрицы , расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором -го порядка матрицы .

Среди миноров различных порядков матрицы есть равные нулю и отличные от нуля.

Определение 1.15. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Для определения ранга матрицы следует рассматривать все ее миноры наименьшего порядка и, если хоть один из них отличен от нуля, переходить к вычислению миноров более высокого порядка, включающих (окаймляющих) отличный от нуля минор предыдущего порядка. Такой подход к определению ранга матрицы называется методом окаймления (или методом окаймляющих миноров).

Задача 1.4. Методом окаймляющих миноров определить ранг матрицы

Рассмотрим окаймление первого порядка, например, . Затем перейдем к рассмотрению некоторого окаймления второго порядка.

Например, .

Наконец, проанализируем окаймление третьего порядка

Таким образом, наивысший порядок минора, отличного от нуля, равен 2, следовательно, .

Базисный минор матрицы

Определение 1.16. Базисным минором матрицы называется всякий, отличный от нуля минор этой матрицы, порядок которого равен рангу матрицы.

Теорема 1.2. (Теорема о базисном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) матрицы линейно независимы.

Заметим, что строки (столбцы) матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одну из них можно представить как линейную комбинацию остальных.

Теорема 1.3. Число линейно независимых строк матрицы равно числу линейно независимых столбцов матрицы и равно рангу матрицы.

Теорема 1.4. (Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того, чтобы определитель -го порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Вычисление ранга матрицы, основанное на использовании его определения, является слишком громоздкой операцией, так как связано с вычислением большого числа миноров различных порядков.

На практике ранг матрицы находят с помощью элементарных преобразований.

Эквивалентность матриц

Определение 1.17. Две матрицы и называются эквивалентными, если их ранги равны, т.е. .

Если матрицы и эквивалентны, то это обозначается так: ~ .

Теорема 1.5. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

То есть элементарные преобразования – это такие преобразования, которые не приводят к изменению ранга матрицы. К ним относятся:

– транспонирование матрицы,

– перестановка параллельных рядов;

– вычеркивание ряда, все элементы которого равны нулю;

– умножение всех элементов какого-либо ряда на число, отличное от нуля;

– добавление к элементам какого-либо ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число .

Следствие теоремы 1.5. Если матрица получена из матрицы при помощи конечного числа элементарных преобразований, то матрицы и эквивалентны.

При вычислении ранга матрицы ее следует привести при помощи конечного числа элементарных преобразований к трапециевидной форме или к эквивалентной единичной матрице.

Определение 1.18. Трапециевидной будем называть такую форму представления матрицы, когда в окаймляющем миноре наибольшего порядка, отличном от нуля, все элементы, стоящие ниже диагональных, равны нулю.

Например:

Здесь , элементы матрицы обращаются в нуль. Тогда форма представления такой матрицы будет трапециевидной.

Как правило, матрицы к трапециевидной форме приводят при помощи алгоритма Гаусса. Идея алгоритма Гаусса состоит в том, что, умножая элементы первой строки матрицы на соответствующие множители, добиваются, чтобы все элементы первого столбца, расположенные ниже элемента , обратились в нуль. Затем, умножая элементы второго столбца на соответствующие множители, добиваются, чтобы все элементы второго столбца, расположенные ниже элемента , обратились в нуль. Далее аналогично.

Задача 1.5. Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

Для удобства применения алгоритма Гаусса поменяем местами первую и третью строки

~ ~ ~

~ ~ ~ .

Очевидно, что здесь . Однако, для приведения результата к более изящному виду можно далее продолжить преобразования над столбцами:

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ .

Правило Крамера

Теорема 1.6.Если определитель системы отличен от нуля (т. е. r(A) = n), то система совместна и имеет единственное решение, которое определяется по формулам:

( j = 1, 2, ..., n ), (1.3)

где есть определитель, полученный из определителя системы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Формулы (1.3) называются формулами Крамера.

Доказательство

Поскольку , матрица А коэффициентов системы невырожденная и имеет обратную матрицу А^-1, причем А^-1является единственной.

Умножим левую и правую части системы АX = B на А^-1

слева. Получим А^-1АX = А^-1-B, откуда EX= А^-1B и, окончательно,

X= А^-1B (1.4)

Решение (1.4) – единственное решение СЛАУ в силу единственности существования обратной матрицы.

Запишем равенство (1.4) в координатной форме:

Выражение b₁A_1j+ b₂A_2j +...+ b_nA_nj есть разложение определителя по элементам j-го столбца (теорема Лапласа).

Таким образом, (j = 1, 2, ..., n).

Задача 1.6. Решить СЛАУ

Решение

Найдем определитель системы

, следовательно, система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера. Вычислим вспомогательные определители:

Тогда решение СЛАУ

; ;

Матричный метод

Для систем с невырожденной квадратной матрицей коэффициентов системы довольно часто используют матричный метод.

Итак, пусть система уравнений заданная своей матричной формой записи:

В соответствии с условием задачи матрица есть невырожденной, тогда у нее существует обратная матрица, причем такая матрица будет единственной.

;

Последнее соотношение задает матричную форму решения систем линейных алгебраических уравнений размерностей с невырожденной матрицей коэффициентов.

Задача 1.7. Найти решение СЛАУ матричным методом

Решение

Вычислим определитель матрицы коэффициентов системы

Поскольку , то исходная система имеет единственное решение.

На следующем этапе необходимо найти обратную матрицу к матрице коэффициентов системы A.

Для этого найдем соответствующие алгебраические дополнения.

; ; ;

; ; .

Присоединенная матрица будет иметь вид

Обратная матрица определяется таким образом:

Непосредственно решение исходной системы найдем из соотношения:

Итак, , .

Проверка:

СЛАУ решена верно.

Метод Гаусса

Метод Гаусса, его еще называют методом гауссових исключений, состоит в том, что систему линейных алгебраических уравнений

относительно неизвестных, , …, сводят последовательными исключениями неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

Процесс сведения исходной системы к эквивалентной форме называется прямым ходом метода Гаусса. Прямой ход метода Гаусса выполняется с помощью аппарата элементарных преобразований. Заметим, что в данном случае элементарные преобразования применяются только для строк исходной системы. С другой стороны, необходимо отметить, что, если в исходной системе матрица коэффициентов невырождена, то такую систему уравнений к треугольной форме сводят всегда.

Обратный ход метода Гаусса состоит непосредственно в определении корней системы уравнений, которые находят по рекуррентным соотношениями

; .

Для удобства вычислений элементарные преобразования исходной системы выполняют относительно ее матричной формы. Поэтому записывают расширенную матричную систему

Далее прямым ходом метода Гаусса сводят ее к виду:

На основании такой матрицы записывают эквивалентную систему уравнений и, используя рекуррентные соотношения, определяют корни исходной системы. Проиллюстрируем применения аппарата метода Гаусса для конкретного примера.

Задача 1.8. Методом Гаусса решить систему линейных алгебраических уравнений

Решение

Запишем расширенную матрицу коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований над строками сведем ее к треугольной форме.

Таким образом, прямой ход метода Гаусса завершен. Для реализации обратного хода на основе последней матрицы запишем эквивалентную систему к заданной.

Реализуя обратный ход метода Гаусса, определяют непосредственно корни исходной системы. В самом деле, из последнего соотношения эквивалентной матрицы значит, что . После подстановки в предпоследнее уравнение имеем

;

В конце концов, из первого равенства имеем:

; .

Итак, исходная система имеет решение:

; ; .

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Тема 1.1. Матрицы. Действия над матрицами

Согласно определению, матрица размерности имеет вид:

Матрицу можно записать сокращенно в виде

где .

Определение 1.2. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Равенство матриц

12 3 4 5 Следующая ⇒