Скалярное произведение в координатной форме

Рассмотрим в пространстве декартовую систему координат и вектора - единичные, образуют базис

И так как , то

 

Векторное произведение векторов.

Опр.: Три некомпланарных вектора , взятые в указанном порядке и приложенных к одной точке, называются тройкой векторов .

Будем смотреть с конца вектора на плоскость, определяемую векторами и , и если кратчайший поворот от к совершается против часовой стрелки, то тройка векторов a, b, c – правая, а если указанный поворот совершается по часовой стрелке, то тройка - левая.

Если даны три некомпланарных вектора то они образуют шесть траекторий:

- правые -левые

 

Опр.: Векторным произведением векторов а и b называется третий вектор с, который удовлетворяет следующим условиям:

1.

2.

3. -правая. Обозначается -

Из условия 2 следует, что модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Пусть вектора и коллинеарны, то есть или , тогда

, таким образом, равенство нулю векторного произведения есть необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

Свойства:

1. - из определения;

2.

1.

, надо доказать, что эти векторы имеют одинаковые направления и длины.

2.

 

, надо доказать, что эти векторы имеют одинаковые направления и длины.

3.

Без док-ва

 

Векторное произведение в координатной форме

Следовательно,

Вывод:

Пр.: Найти площадь треугольника.

Дано:

a(-1, 2, 3);

b(2, 1, -2);

c(1, 0, -1);

 

Лекция 6

Смешанное произведение векторов.

Дано три вектора - их можно перемножить:

1. и - скалярно, получаем число, умножаем на вектор, получаем вектор.

2. и - векторно, получаем вектор. Умножаем на вектор, получаем двойное векторное произведение.

3. и - векторно, получаем вектор, затем скалярно на смешанное произведение векторов.

Th.: Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах и взятого со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если левая.

 

Рассмотрим смешанное произведение . Обозначим , тогда , но - площадь параллелограмма, построенного на векторах а и в, а - высота параллелепипеда, тогда .

 

Следствие: если смешанное произведение векторов равно нулю, то эти векторы – компланарны. Таким образом, равенство нулю смешанного произведения есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

 

Смешанное произведение в координатной форме

Свойства:

1.

В силу данного свойства смешанное произведение можно обозначить .

2. При круговой перестановки смешанное произведение векторов не меняется. При прочих – меняется на противоположный.

3.

 

 

Аналитическая геометрия

Простейшие задачи аналитической геометрии

Линейная алгебра исследует СЛУ, т.е. уравнения, содержащие неизвестные в первой степени. Аналитическая геометрия – раздел математики, в которой изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основной метод – метод координат.

1. Расстояние между 2-мя точками.

Заданы две точки:

Расстояние между двумя точками.

2. Деление отрезка в данном отношении.

Требуется найти т. , которая делит отрезок в данном отношении .

Рассмотрим 2 вектора и , следовательно,

Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости задается точкой О – полюсом, лучом ОР – полярной осью и единицей масштаба. Будем считать положительным поворотом вокруг т. О - поворот против часовой стрелки.

Рассмотрим произвольную т. М; - полярный радиус; угол на который надо повернуть луч ОР, чтобы он совпал с ОМ, обозначим через и назовем полярным углом.

Полярными координатами т. М называются ее полярный радиус и полярный угол .

Наряду с введенной полярной системой координат рассмотрим прямоугольную декардову систему координат такую, чтобы полюс совпадал с началом координат, а полярная ось – с положительной полуосью ОХ.

Тогда, если М(х, у) – декардовы координаты, а М( ) – полярные координаты, то

- выражение декардовых координат через полярные координаты;

- выражение полярных координат через декардовы координаты.

Пример:

Рассмотрим уравнение окружности:

- уравнение окружности в полярной системе координат.

 

Формулы преобразования системы координат

Параллельный перенос

Рассмотрим декардову прямоугольную систему координат и в ней т. М(х, у);

Перенесем начало координат в т. О(a, b); тогда координаты т.М в новой системе координат будут M(x’, y’), и тогда x=x'+a, y=y’+b – формулы перехода от новых координат к старым; x'=x-a, y'=y-b – формулы перехода от новых координат к старым.

Поворот осей координат

 

- формулы поворота осей координат.

 

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. При генерализованной форме эпилепсии
2. X. ИНФОРМАЦИОННАЯ КАРТА АУКЦИОНА В ЭЛЕКТРОННОЙ ФОРМЕ
3. Аккредитованной организации, создаваемой в организационно-правовой форме ассоциации
4. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Арифметические операции с комплексными числами в алгебраической форме.
5. БИЛЕТ 16. ПРОИЗВЕДЕНИЕ КАК ПРОДУКТ ЭСТЕТИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ АВТОРА. СОЗНАТЕЛЬНОЕ И БЕССОЗНАТЕЛЬНОЕ В ЛИТЕРАТУРНОМ ТВОРЧЕСТВЕ. КАТЕГОРИЯ АВТОРСТВА.
6. В каждом столбике, используя произведение найди частное.
7. Вопрос 2. Где располагается основная надпись чертежа по форме 1 на чертежном листе?
8. Договор транспортной экспедиции заключается в письменной форме.
9. Заболеваемости по форме № 7 ТВН
10. Импульсом тела называется физическая величина, измеряемая произведением массы тела на его скорость
11. индекс товарооборота есть произведение индекса цен (по Пааше) и физического объема
12. Индексы в агрегатной форме и форме среднего