Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Стр 1 из 7Следующая ⇒

Лекция 1

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Матрицы и действия над ними

Опр.: Матрица – прямоугольная таблица чисел, состоящая их m строк и n столбцов.

Матрицу, имеющую m строк и n столбцов, называют матрицей размером .

Матрица из одной строки называется строчная матрица или матрицей строкой.

Матрица из одного столбца называется матрицей столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов, т.е. m=n.

Квадратная матрица называется симметрической, если . Элементы a₁₁, a₂₂, …, a_nn образуют главную диагональ квадратной матрицы.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы которой, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали которой = 1

Действия над матрицами:

Линейными операциями над матрицами называется сложение, вычитание, умножение матрицы на число. Сложение, вычитание матриц определено только для матриц одинаковой размерности.

1. Равенство матриц:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы.

2. Умножение матрицы на число:

3. Сложение, вычитание матриц: A и B –матрицы,

Линейные операции над матрицами обладают свойствами:

1. A+B=B+A

2. (A+B)+C=A+(B+C)

3. A+(-A)=0

4. A·1=A

5. A+0=A

6. где , – действительные числа

7. α ∙ (A+B)= α Α + α B, где α - действительное число

8. (α + )A=α A+ A, где α, - действительные числа

4. Умножение матриц определено только для согласованных матриц.

Опр.: Матрица A называется согласованной с матрицей B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, следовательно, из согласованности матрицы A с B не следует согласованность матрицы B с A.

Если матрицы А и В квадратные, то они взаимно согласованы.

Пример:

Если для матриц А и В определены произведения А∙ B и В∙ А, то А∙ B не всегда равно В∙ А.

Если А∙ B= В∙ А, то матрицы перестановочные, например:

А∙ Е=Е∙ А=А

А∙ 0=0∙ А=0

Свойства:

1. (А∙ В)∙ С=А∙ (В∙ С)

2. α ∙ (А∙ В)=(α ∙ А)∙ В=А∙ (α ∙ В)

3. (А+В)∙ С=А∙ С+С∙ В

4. С(А+В)=СА+CВ

5. А и В – квадратные, тогда det(A∙ B)= detA∙ detB

Определители 2, 3 порядка

Опр.: Определителем квадратной матрицы 2 порядка называется число, равное:

Det A=▲ = а_11*а₂₂-а_12*а_{21 =} .

Опр.: Определителем 3 порядка называют число, равное:

Det A= =a₁₁ ∙ a₂₂ ∙ a₃₃ + a₂₁ ∙ a₃₂ ∙ a₁₃ + a₁₂ ∙ a₂₃ ∙ a₃₁ – a₁₂ ∙ a₂₂ ∙ a₃₁ – a₁₁ ∙ a₃₂ ∙ a₂₃–a₁₂ ∙ a₂₁ ∙ a_33.

Опр.: Минором элемента определителя a_ij называют определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки или того столбца, на которой находится данный элемент. Обозначение - (M_ij).

Опр.: Алгебраическим дополнением элемента a_i_j называется его минор, взятый со знаком (-1)ⁱ⁺^j

A_ij= (-1)ⁱ⁺^j∙ M_ij.

Свойства:

1. Определитель не изменяется при замене всех его строк соответствующими столбцами (транспонирование).

2. При перестановке 2 столбцов или строк определитель меняет знак.

3. Определитель с двумя одинаковыми столбцами или строками равен нулю.

Det A= = 0

Если определитель будет иметь 2 одинаковых строки или столбца, то, переставив их местами, получим то же, но по сойству 2 при этом определитель меняет знак => Det A = (-DetA) => det A =0.

4. Множитель общий для элементов некоторой строки или столбца можно вынести за знак определителя.

5. Определитель, содержащий нулевую строку или столбец, равен нулю.

6. Если в определителе есть сумма, то определитель равен сумме двух определителей:

7. Величина определителя не изменится, если элементам любого столбца или строки прибавить элементы другого столбца или строки, предварительно умноженные на какое-либо число.

Лекция 2

Th: Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца

Определитель равен сумме произведений какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Аналогично доказывается разложение определения по другим строкам или столбцам.

Пример:

Замечание: Сумма произведения элементов строки или столбца на алгебраические дополнения другой строки или столбца равна 0.

Определители n-го порядка.

Рассмотрим n элементов. Число всевозможных перестановок равно n-факториал.

Опр. Если в перестановке элемент с большим номером стоит раньше чем элемент с меньшим номером, то эти элементы образуют инверсию.

Пример: рассмотрим перестановку (2, 1, 4, 3, 7, 6, 5)

Число инверсий – (2, 1, 4, 3, 7, 6, 5) = 2 инв.+1 инв.+0 инв. + 1 инв. +0 инв. + 1 инв. = 5 инверсий.

Определение: Перестановка, содержащая нечетное количество инверсий, называется нечетной. Перестановка, содержащая четное количество инверсий, называется четной.

Определение: Определителем n-го порядка называется число, обозначаемое символом , и равное сумме всех n! произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки, т.е. , взятых со знаком +, если перестановка i, j, r – четная и со знаком -, если перестановка - нечетная.

Для определителя 2-го порядка:

- перестановка четная (1, 2) – (+)

- перестановка нечетная (2, 1) - (-)

Но на практике обычно определители высоких порядков обычно вычисляют по теореме о разложении определителя по элементам строки или столбца, т.е справедлива формула - формула разложения определителя по i-той строке.

Обратная матрица.

Дана квадратная матрица

Опр.: Квадратная матрица называется неособенной, если определитель этой матрицы не равен нулю, в противном случае матрица называется особенной.

Матрица A^-1 называется обратной матрице А, если А^-1*А=А*А^-1=Е.

Th: Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой матрицы был не равен нулю.

Доказательство:

(необходимость).

Дано: матрица А имеет обратную матрицу А^-1.

Доказать: detA 0.

Так как матрица А имеет А^-1

А^-1*А=А*А^-1=Е (по опр.)

Рассмотрим правую часть А*А^-1=Е

Det A *detA^-1=det E (по свойству 5 умножения матриц)

Но det E =1 =>

det A *det A^-1=1 0 detA 0.

(достаточность).

Дано: detA 0.

Доказать: А^-1- существует.

Рассмотрим вспомогательную матрицу С, которая составлена следующим образом: элементы матрицы А транспонируются (строки заменяются столбцами) и для всех элементов транспонированной матрицы А находим алгебраические дополнения, которое и составляют С.

(по теореме о разложении определителя по элементам строки или столбца)

И так как по условию

или (*), (по свойствам умножения матриц на число)

Аналогично находим, что

C*A=det A*E

(**)

(*), (**) , но

А^-1*А=А*А^-1=Е, следовательно

- формула для нахождения обратной матрицы.

Пример:

Векторная алгебра.

Опр.: Векторной величиной называется всякая величина, обладающая направлением.

Скалярной величиной называется всякая величина, не обладающая направлением.

Например, сила, действующая на материальную точку, есть векторная величина. Скорость материальной точки – векторная величина. Температура тела – скалярная величина, так как с этой величиной не связано никакое направление. Масса и плотность тела – тоже скалярные величины.

Опр.: Вектор - направленный отрезок.

А В, А - начало вектора.

В - конец вектора.

Длина вектора – его модуль, обозначается или . Начало вектора называется точкой приложения. Нулевой вектор – вектор, начало и конец которого совпадают, его направление не определено.

Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице.

Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Нулевой вектор коллинеарен с любым вектором.

Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и длины, называются равными.

Два вектора, имеющие равные модули, и противоположные по направлению, называются противоположными.

Действия над векторами.

Опр. Суммой векторов a и b называется вектор с, полученный следующим образом:

OM=OL+LM, c=a+b, т.е. с равен сумме векторов a и b – правило треугольника.

Свойства:

1. +(- )=0

2. + = + - свойство переместительности.

Правило параллелограмма:

Если слагаемые a и b не коллинеарны, то сумму векторов a и b можно найти следующим способом: из любой точки строим векторы a = ОА и b=OB и достраиваем до параллелограмма OACB. Вектор с=ОС и есть сумма a и b.

Вычитание векторов:

Вычесть вектор a ₁(вычитаемое) из вектора a₂ (уменьшаемое) значит найти новый вектор x (разность), который в сумме с вектором a ₁даст вектор a_2.

Умножение вектора на число.

Произведение на скаляр ≠ 0= , называется , направлен в ту же сторону,

что и вектор , если и направленный в противоположную сторону, если и имеющий длину .

Свойства умножения вектора на число:

1. , є R.

2. , є R.

3.

Проекция вектора на ось n.

В пространстве заданы вектор и ось n. Пусть А₁ - проекция точки А на ось n, В₁ – проекция точки В на ось n.

В

А

n

А₁В₁

Алгебраической проекцией на ось n называется величина направленного отрезка (моуль) А₁В₁, взятого со знаком «+», если направления совпадают, и со знаком «-», если не совпадают. Проекция на n обозначается пр._n .

Очевидно, что если угол - острый, т.е. направление вектора А₁В₁совпадает с направлением оси n, то пр._n = , а если - тупой, т.е. направление А₁В₁противоположно n, то пр._n =- .

Th: (о проекциях).

Th1: пр = cos

1. - острый угол.

В

А С

n

А₁ В₁

пр_n = cos

2. - тупой угол.

В

А

С

n

В₁ А₁

3. = , , но, с другой стороны,

, следовательно,

Th2:

(1) , (т.е. направлены в одну сторону), то

(2) , то есть и направлены в противоположные стороны.

Th3:

+

M₁M₂ M₃

, но по чертежу , следовательно,

Линейные операции над векторами в координатной форме.

Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Радиус-вектором т. М называется вектор , точка приложения которого совпадает с началом координат.

Z

_M

_z

_x o _y Y

X

- радиус-вектор т. М.

Координаты вектора называются проекции вектора на координатные оси и обозначаются

Обозначим через углы, образуемые вектором с координатными осями. Косинусы этих углов называются направляющим косинусами вектора, т.е. - направляющие косинусы вектора , тогда

, тогда

( - квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда).

Координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам:

Линейное пространство

Рассмотрим множество и множество R действительных чисел.

Введем в V операцию сложения и умножения элементов множества V на действительные числа:

1. x+y=z, x, y, z V

2. x∙ α =z, х V, α R, z V.

Также потребуем, чтобы операция сложения и умножения на число удовлетворяли следующим аксиомам:

(1) x+y=y+x

(2) (x+y)+z=x+(y+z)

(3) Существует нулевой элемент, который в сумме с любым элементом дает тот же элемент

(4) Существует противоположный элемент: x+(-x)=0, x

(5) 1∙ x=x, x

(6) α (β ∙ x)=(α ∙ β )x, α, β

(7)

(8)

В случае, когда заданы операция сложения и умножения на число и выполнены 8 аксиом, говорят, что задано линейное пространство (V)

Примеры:

1. Множество векторов в этом случае множество векторов являющихся линейным пространством

2. Множество всех матриц размерностью - линейное пространство

Аналитическая геометрия

Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости задается точкой О – полюсом, лучом ОР – полярной осью и единицей масштаба. Будем считать положительным поворотом вокруг т. О - поворот против часовой стрелки.

Рассмотрим произвольную т. М; - полярный радиус; угол на который надо повернуть луч ОР, чтобы он совпал с ОМ, обозначим через и назовем полярным углом.

Полярными координатами т. М называются ее полярный радиус и полярный угол .

Наряду с введенной полярной системой координат рассмотрим прямоугольную декардову систему координат такую, чтобы полюс совпадал с началом координат, а полярная ось – с положительной полуосью ОХ.

Тогда, если М(х, у) – декардовы координаты, а М( ) – полярные координаты, то

- выражение декардовых координат через полярные координаты;

- выражение полярных координат через декардовы координаты.

Пример:

Рассмотрим уравнение окружности:

- уравнение окружности в полярной системе координат.

Формулы преобразования системы координат

Параллельный перенос

Рассмотрим декардову прямоугольную систему координат и в ней т. М(х, у);

Перенесем начало координат в т. О(a, b); тогда координаты т.М в новой системе координат будут M(x’, y’), и тогда x=x'+a, y=y’+b – формулы перехода от новых координат к старым; x'=x-a, y'=y-b – формулы перехода от новых координат к старым.

Поворот осей координат

- формулы поворота осей координат.

Нормальное уравнение прямой

Дано: прямая l , , p – расстояние от 0 до l, n – единичный вектор

Возьмем точку

- радиус вектор

- нормальное уравнение прямой в векторной форме

Запишем в координатной форме:

то вектор имеет координаты

- нормальное уравнение прямой в координатной форме;

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Умножим первое уравнение на μ (нормирующий множитель) так, чтобы уравнение стало нормальным, то есть

Возведем обе части 2-х предыдущих равенств в квадрат и сложим, получим

- формула для вычисления нормирующего множителя

, так как μ и С имеют противоположные знаки, следовательно множитель μ противоположен знаку С.

Лекция 7

Угол между двумя прямыми

и - угловой коэффициент

так как - внешний угол, то

Уравнение пучка прямых

Дано: две пересекающиеся прямые 1: , пусть т. М₀(x₀, y₀) точка пересечения, тогда (*)

Первое уравнение умножим на , второе – на и сложим:

- это уравнение определяет прямую Покажем, что она проходит через точку М₀(x₀, y₀):

- см. (*).

Таким образом, - уравнение пучка прямых.

Разделим обе части на :

уравнение пучка прямых -

Нормальное уравнение прямой

Дано: плоскость Р, , p – расстояние от 0 до P, n – единичный вектор

Возьмем точку

- радиус вектор

- нормальное уравнение плоскости в векторной форме

Запишем в координатной форме:

- нормальное уравнение плоскости в координатной форме;

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:

Умножим первое уравнение на μ (нормирующий множитель) так, чтобы уравнение стало нормальным, то есть

Возведем обе части 3-х предыдущих равенств в квадрат и сложим, получим

- формула для вычисления нормирующего множителя

, так как μ и D имеют противоположные знаки, следовательно множитель μ противоположен знаку D.

Лекция 7

Прямая в пространстве

Уравнение пучка плоскостей

Совокупность плоскостей, проходящих через одну и туже прямую, называется пучком плоскостей.

Даны две пересекающиеся плоскости:

Пересечение – прямая l;

Умножим второе уравнение на и сложим с первым уравнением;

(*)

Покажем, что это уравнение определяет плоскость; для этого возьмем т. , принадлежащую линии пересечения двух плоскостей и покажем что (*) проходит через прямую ;

(см. (**)), следовательно, - уравнение пучка плоскостей в пространстве.

Совокупность прямых в пространстве, проходящих через одну точку, называется связкой.

Кривые второго порядка

Алгебраические уравнения второй степени относительно декартовой системы координат вида Ах²+2Вху+Су²+Dх+Еу+F=0 представляют собой кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Эллипс

Опр.: Эллипс - геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до 2 данных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная и равна 2а.

y M(x, y)

r₂ r₁

F₂(-c, 0) 0 x F₁(c, 0) x

Исследование формы эллипса

т.к. х и у входят в уравнение в четных степенях, то график симметричен относительно осей координат.

A₁, A₂, B₁, B₂ – вершины эллипса;

A₁A₂=2a – большая ось эллипса, a - большая полуось;

В₁В₂=2b – малая ось, b – малая полуось;

- фокусное расстояние.

Гипербола

Опр.: Гипербола – геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до 2 данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна 2a.

М(х, у)

r₂r₁