Угол между двумя прямыми в пространстве

Даны 2 прямые в пространстве, заданные каноническими уравнениями прямых в пространстве, следовательно, известны их направляющие векторы;

За угол между двумя прямыми в пространстве принимается угол между их направляющими векторами:

Условие параллельности: так как прямые параллельны, их направляющие векторы коллинеарны, следовательно, - условие параллельности прямых;

Условие перпендикулярности: если прямые перпендикулярны, то их направляющие векторы тоже перпендикулярны, следовательно, - условие перпендикулярности прямых в пространстве

 

Угол между прямой и плоскостью

Дано: плоскость P, под

- направляющий вектор прямой;

– угол между и

Условие параллельности прямой и плоскости: , т.е.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: , т.е.

 

Угол между двумя плоскостями

Дано: Р₁ и Р₂ – две плоскости;

- нормальный вектор плоскости Р₁

- нормальный вектор плоскости Р₂

Две плоскости, пересекаясь, образуют 4 двухгранных угла, равных попарно. Один из них равен углу между нормальными векторами. Обозначая один из этих углов через , имеем:

Выбирая знак «+», получаем , выбирая знак « - «, получаем

 

Условие параллельности 2-х плоскостей

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны:

, следовательно, их координаты пропорциональны:

Условие перпендикулярности 2-х плоскостей

Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы перпендикулярны:

, следовательно,

 

Кривые второго порядка

Алгебраические уравнения второй степени относительно декартовой системы координат вида Ах²+2Вху+Су²+Dх+Еу+F=0 представляют собой кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Эллипс

Опр.: Эллипс - геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до 2 данных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная и равна 2а.

 

y

y M(x, y)

r₂ r₁

F₂(-c, 0) 0 x F₁(c, 0) x

 

Исследование формы эллипса

т.к. х и у входят в уравнение в четных степенях, то график симметричен относительно осей координат.

.

A₁, A₂, B₁, B₂ – вершины эллипса;

A₁A₂=2a – большая ось эллипса, a - большая полуось;

В₁В₂=2b – малая ось, b – малая полуось;

- фокусное расстояние.

 

Эксцентриситет эллипса и его влияние на форму

Опр.: Эксцентриситет- отношение фокусного расстояния к большой оси .

=

Директриса эллипса и фокальный радиус

Директриса эллипса – это прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и отстающие от центра на расстояние

т.к. < 1, то , расстояние между директрисами ;

уравнение директрис

-а а

 

 

Гипербола

Опр.: Гипербола – геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до 2 данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна 2a.

у

М(х, у)

r₂ r₁

F₂(-c, 0) F₁(c, 0) х

 

 

Исследование формы гиперболы

Т.к. х и у входят в уравнение в четных степенях, то график симметричен относительно координатных осей.

A₁, A₂ – вершины гиперболы

2а – действительная ось гиперболы

а – действительная полуось

2b – мнимая ось гиперболы

b – мнимая полуось

 

Асимптоты гиперболы

Опр.: Прямая l называется асимптотой кривой с, если расстояние от точек кривой до прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точек по кривой.

Покажем, что прямые являются асимптотами гиперболы.

 

Эксцентриситет гиперболы, фокальные радиусы гиперболы

Опр.: Эксцентриситет гиперболы – отношение фокусного расстояния к действительной оси.

Парабола

Опр. Парабола – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки - фокуса и от данной прямой - директрисы.

 

y

N M(x, y)

B( ) 0 x F( )

 

Пусть p - расстояние от фокуса до директрисы, т.е. BF=p, тогда, если ось ординат проходит через середину BF, то т.F имеет координаты ( ), а т.B( ).

Обозначим FM=r, a NM=d

Т.к. y входит в уравнение в четной степени, то график функции симметричен относительно OX.

Если х=0, у=0

Если

p> 0, ветви вправо

p< 0, ветви влево

- уравнение параболы

 

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться:

Популярное:

1. II. Международные экономические отношения . . 49
2. II. НАЦИОНАЛЬНАЯ ОХРАНА И МЕЖДУНАРОДНАЯ ОХРАНА КУЛЬТУРНОГО И ПРИРОДНОГО НАСЛЕДИЯ
3. IV. Постановления Пленума Верховного Суда РФ и ведомственные нормативные акты в системе регулирования уголовно-процессуальной деятельности
4. IV. РАБОТА МЕЖДУНАРОДНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ
5. Lex mercatoria в практике международного коммерческого арбитража.
6. X МЕЖДУНАРОДНЫЙ КУЛЬТУРНО-ЗРЕЛИЩНЫЙ СПОРТИВНЫЙ
7. XVIII Международная научно-практическая конференция
8. А1. С какого времени действует Уголовный кодекс Республики Беларусь 1999 г.?
9. Абсолютно твердое тело - система материальных точек, расстояние между которыми не изменяются в данной задаче. Абсолютно твердое тело обладает только поступательными и вращательными степенями свободы.
10. Адм-ная и уголовная отв-сть за земельные правонарушения
11. Акустические волны. Связь между давлением, плотностью, скоростью и смещением частиц воздуха в волне. Интенсивность акустической волны.
12. Атака двумя, контратака двумя и повторная атака двумя и тремя ударами.