Уравнение прямой на плоскости

Линии определены уравнением Ax+By+С=0, где являются прямыми.

Дано прямая l,

 

 

Написать уравнение прямой.

Возьмём точку на l – произвольная точка и рассмотрим вектор

- уравнение прямой, проходящей через данную точку. Раскроем скобки:

- общее уравнение прямой

- уравнение прямой в отрезках

Нормальное уравнение прямой

Дано: прямая l , , p – расстояние от 0 до l, n – единичный вектор

 

Возьмем точку

- радиус вектор

- нормальное уравнение прямой в векторной форме

Запишем в координатной форме:

,

то вектор имеет координаты

- нормальное уравнение прямой в координатной форме;

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Умножим первое уравнение на μ (нормирующий множитель) так, чтобы уравнение стало нормальным, то есть

Возведем обе части 2-х предыдущих равенств в квадрат и сложим, получим

- формула для вычисления нормирующего множителя

, так как μ и С имеют противоположные знаки, следовательно множитель μ противоположен знаку С.

Лекция 7

 

Расстояние от точки до прямой

Дано: прямая l задана нормальным уравнением в векторной форме Требуется найти расстояние от точки до прямой.

Возможны 2 случая:

1. т. М₀ и начало координат лежат по разные стороны от прямой

2. т. М₀ и начало координат лежат по одну сторону от прямой

Рассмотрим 1 случай.

соединим и 0 - радиус вектор точки М₀

Опустим из точки перпендикуляр на l, обозначим точкой K(x, y)

- расстояние от точки до прямой. Соединим точку О с точкой K, получим - радиус-вектор точки К.

Из треугольника ОМ₀К видно, что

с одной стороны, а с другой стороны

, а так как точка К принадлежит l, значит, координаты ее радиус вектора координаты удовлетворяют уравнению подставляем и получаем по свойству скалярного произведения , отсюда - расстояние от точки до прямой

Во втором случае - общий случай

- расстояние от точки до прямой в координатной форме.

- отклонение точки от прямой

Если Δ > 0, то и 0 лежат по разные стороны от прямой

Если Δ < 0, то по одну сторону от прямой

Вывод.: чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно уравнение привести к нормальному виду и подставить вместо х и у координаты заданной точки.

Пр.: 12х+15у+9=0

 

Каноническое уравнение прямой.

Параметрическое уравнение прямой.

Дано: прямая l, такая что , , - направляющий вектор прямой l, возьмем произвольную точку M на прямой l и рассмотрим , так как , то и коллинеарные, следовательно их коэффициенты пропорциональны.

- каноническое уравнение прямой

- параметрическое уравнение прямой, t – параметр.

Уравнение прямой проходящей через две заданные точки

Дано: прямая l, и Возьмем точку и рассмотрим два вектора и - эти вектора коллинеарны, следовательно коэффициенты пропорциональны

- уравнение прямой проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

- угловой коэффициент

-уравнение прямой с угловым коэффициентом

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Возьмем (1), и т.к. точка , то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой: (2), из (2) вычтем (1), получаем: - уравнение прямой, проходящей через заданную точку.

 

 

Угол между двумя прямыми

и - угловой коэффициент

так как - внешний угол, то

 

Условие параллельности двух прямых

=0 -условие параллельности прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

- условие перпендикулярности двух прямых

Уравнение пучка прямых

Дано: две пересекающиеся прямые 1: , пусть т. М₀ (x₀, y₀) точка пересечения, тогда (*)

Первое уравнение умножим на , второе – на и сложим:

- это уравнение определяет прямую Покажем, что она проходит через точку М₀ (x₀, y₀):

- см. (*).

Таким образом, - уравнение пучка прямых.

Разделим обе части на :

уравнение пучка прямых -

Уравнение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей нормальный вектор

Дано: плоскость Р,

 

 

Написать уравнение прямой.

Возьмём точку произвольная точка и рассмотрим вектор

; раскроем скобки

- уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей нормальный вектор. Раскроем скобки:

- общее уравнение плоскости

- уравнение плоскости в отрезках

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Адсорбционное уравнение Гиббса
2. Блуждание точки по плоскости (двумерное броуновское движение одной точки)
3. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
4. Вибрирующие рамы располагают как в горизонтальной, так и в наклонной плоскости.
5. Влагалище прямой мышцы живота.
6. Вопрос 1. Для прямой призмы число боковых сторон будет равно?
7. Вопрос 6 .Интерференция поляризованного света. Вращение плоскости поляризации.
8. Вопрос. Идеальный газ. Уравнение идеального газа. Газовые законы.
9. Геометрическая интерпретация комплексного числа на комплексной плоскости.
10. Денежные агрегаты. Уравнение обмена Фишера.
11. Деньги и денежные агрегаты. Уравнение обмена. Спрос и предложение на рынке денег.
12. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Основное уравнение гидростатики.