Формировка простейшей вариационной задачи классического вариационного исчисления. Вывод уравнение Эйлера.

Стр 1 из 6Следующая ⇒

Основные понятия вариационного исчисления: функционал, непрерывный функционал, линейный функционал, вариация функционала.

Задача синтеза оптимальных систем в конечном счете сводится к отысканию вектора U(t) управления, обеспечивающего экстремальное (т. е. минимальное или максимальное) значение некоторого критерия качества – некоторого функционала. Как известно, методы отыскание экстремальных значений функционалов составляют основу вариационного исчисления.

1. Переменная величина V называется функционалом, зависящим от функции x(t) V = V[x(t)], если каждой функции из некоторого класса соответствует значение V, т. е. функции x(t) соответствует число V.

Пример 1: .

Набору функций e^-^t^/^T¹, e^-^t^/^T₂, …, e^-^t^/^T_n будут соответствовать числа , …, _.

Пример2: функционал зависит не только от функции , но и ее производной x(t). Известно, что длина кривой x(t) сое диняющей на плоскости x, t точки t=0, x=0 и t=1, x=1 будет равна интегралу ; x^’(t)=

2. Приращением или вариацией x аргумента x(t) функционала V[x(t)] называется разность между двумя функциями , причем x(t), x₁(t) .

3. Функционал V[x(t)] называется непрерывным, если малому изменению x(t) cоответствует малое изменение функционала V[x(t)].

3a) Функционал V[x(t)] непрерывен при x₀(t) в смысле близости k-го порядка, ес ли для любого можно подобрать такое , что |V[x(t)-V[x₀(t)]| при , , - - - - - - - .

4. Линейным функционалом называется функционал L[x(t)], удовлетворяющий условиям: L[C*x(t)] =C*L[x(t)], где С - произвольная постоянная, и L[x₁(t)+x₂(t)]=L[x₁(t)]+L[x₂(t)]

Примером является

5. Если приращение функционала DV = V[x(t)+dx]-V[x(t)] можно представить в виде DV=L[x(t), dx]+B(x(t), dx)*r(x+dx, x), где L[x(t), dx] – линейный по отношению к dx функционал, и B(x(t), dx)®0 при r(x+dx, x)®0, то линейная по отношению dx часть приращения функционала, т.е. L[x(t), dx], называется вариацией функционала и обозначается dV.

6. Теорема. Если функционал V[x(t)], имеющий вариацию, достигает минимума при x₀(t), где x₀(t) – внутренняя точка области определения функционала, то dV = 0.

Если dV¹ 0, то при достаточно малом расстоянии r(x+dx, x) знак правой части совпадает со знаком dV, но dV меняет знак при изменении знака dx вследствие линейности, следовательно, при достаточно малом r(x+dx, x) и знак DV изменяется при изменении знака dx, т.е. при x₀(t) не достигается ни макс, ни мин. Т.о., необходимым условием экстремума функционала явл. dV=0.

Основные понятия вариационного исчисления: функционал, сильный и слабый экстремум функционала, условия экстремума.

Переменная величина V называется функционалом, зависящим от функции x(t) V = V[x(t)], если каждой функции из некоторого класса соответствует значение V, т. е. функции x(t) соответствует число V.Пример: ; Набору функций e^-^t^/^T¹, e^-^t^/^T₂, …, e^-^t^/^T_n будут соответствовать числа , …, _.

Функции, обеспечивающие экстремум функционала, называются экстремалями.

По определению функционал V[x(t)] достигает на кривой x₀(t) минимума, если его значение на любой, достаточно близкой к х₀(t) кривой не меньше, чем V[x₀(t)], т.е. DV = V[x(t)] - V[x₀(t)] = 0. Говоря о максимуме или минимуме функционала, мы подразумеваем наибольшее или наименьшее значение функционала по отношению к его значениям на близких кривых, но близость кривых может быть понимаема различно. Так например, если значение функционала на некоторой кривой меньше, чем на всех других допустимых кривых, близких в смысле близости нулевого порядка, то говорят, что на этой кривой достигается сильный минимум.

Если же на кривой х₀(t) достигается минимум по отношению к более узкому классу (множеству) кривых, для которых не только модуль разности мал, но мал также и , т.е. имеет место близость первого порядка, то минимум называется слабым.

Подчеркнем, что сильный минимум является одновременно и слабым, но не наоборот. Необходимо отметить, что в сформулированной простейшей задаче вариационного исчисления определяется слабый минимум. И вообще для классического вариационного исчисления характерно в основном исследование задач на слабый экстремум функционалов. Условия сильного экстремума устанавливает принцип максимума Л.С. Понтрягина.

Если приращение функционала DV = V[x(t)+dx]-V[x(t)] можно представить в виде DV=L[x(t), dx]+B(x(t), dx)*r(x+dx, x), где L[x(t), dx] – линейный по отношению к dx функционал, и B(x(t), dx)®0 при r(x+dx, x)®0, то линейная по отношению dx часть приращения функционала, т.е. L[x(t), dx], называется вариацией функционала и обозначается dV.

Теорема. Если функционал V[x(t)], имеющий вариацию, достигает минимума при x₀(t), где x₀(t) – внутренняя точка области определения функционала, то dV = 0.

Если dV¹ 0, то при достаточно малом расстоянии r(x+dx, x) знак правой части совпадает со знаком dV, но dV меняет знак при изменении знака dx вследствие линейности, следовательно, при достаточно малом r(x+dx, x) и знак DV изменяется при изменении знака dx, т.е. при x₀(t) не достигается ни максимум, ни минимум. Таким образом, необходимым условием экстремума функционала является dV=0.

Введенное понятие вариации функционала, как главной линейной части приращения, известное также как сильного дифференциала (диф. Фреше) функционала, относительно сложно вычислить. В связи с этим появилось понятие слабого дифференциала (дифференциала Гато) , где функция a*h(t) есть вариация аргумента x(t) и принадлежит тому же классу функций, что и x(t); a - параметр.Доказана теорема, что если существует сильный дифференциал функционала, то существует и слабый дифференциал (но не наоборот), причем в этом случае дифференциалы совпадают.

Уравнение Эйлера – Пуассона

Простейшую вариационную задачу можно обобщить на случай, когда подынтегральная функция содержит производные высших порядков и функционал имеет вид

. (1)

Здесь функция F предлагает (n+2) раза дифференцируемой по всем аргументам, а граничные условия заданы в форме

(2)

т.е. в граничных точках заданы значения не только функции, но и ее производных до порядка (n-1) включительно (всего 2n условий).

Решение задачи J = min ищется в классе C₂_n[t₀, t₁] гладких 2n раз дифференцируемых функций. Методика получения необходимого условия минимума функционала остается прежней: находится первая вариация критерия и приравнивается к нулю, что после преобразований приводит к уравнению

, (3)

которые называются уравнением Эйлера-Пуассона и представляет в общем случае нелинейное дифференциальное уравнение 2n-порядка.

Его решение x(t, c₁, c₂, …, c₂_n) содержит 2n постоянных интегрирования. Последние находятся на основании такого же количества граничных условий (2).

Дадим вывод уравнения (3), ограничившись для простоты выкладок случаем, когда функционал зависит от производной не старше второго порядка:

. (4)

Предположим, что экстремум достигается на функции x(t), и прибавим к ней вариацию такую, что на концах при t=t₀ и t=t₁ как обращаются в нуль.

Определим вариацию функционала

. (5)

Преобразуем теперь выражение (5), пользуясь формулой интегрирования по частям, причем третий член вариации будем интегрировать по частям дважды:

(6)

. (7)

Вследствие условий на концах участка все неинтегральные члены обращаются в нуль, и, следовательно, на основе (5) - (7) получаем

. (8)

Поскольку необходимым условием экстремума является равенство нулю первой вариации функционала, а вариация произвольна, то из равенства и леммы Лагранжа (основной леммы вариационного исчисления) следует уравнение (3).

В этом случае имеет место следующий аналог условия Лагранжа, позволяющий отличить максимум от минимума функционала (1): если функция x(t) доставляет минимум (максимум) функционалу, необходимо, чтобы ).

ОТВЕТЫ ПО НЕКЛАССИЧЕСКОМУ ВАРИАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ АКОР

Основные понятия адаптивного управления. Адаптивная система со стабилизацией частотной характеристики разомкнутого объекта.

Общие понятия об адаптивном управлении. Для математической формулировки и последующего решения задачи синтеза оптимальной системы уравнения необходимо располагать определенными сведениями об объекте управления в условиях работы системы. Объект управления должен быть математически описан, т.е. найдено его дифференциальное уравнение или какой-нибудь аналог уравнения. Также должно быть детерминированном или вероятном смысле известны свойства задающих и возмущающих воздействий. Наличие такой априорной информации позволяет синтезировать оптимальную и неоптимальную систему, но имеющую нужные показатели качества. Во многих реальных ситуациях информация о свойствах объекта управления и внешних воздействиях оказывается недостаточной для построения системы с необходимыми показателями качества.

Эта недостаточность может носить двоякий характер. В первом случае на этапе проектирования структуры и расчета параметров. УУ или некоторой его части могут оказаться полностью или частично не известными свойствами ОУ и внешних воздействий. Система управления в процессе функционирования сама должна автоматически восполнять недостающую информацию и по мере ее поступления изменять структуру и параметры УУ так, чтобы показатель качества или достигал экстремального значения, или соответствовал заданным ограничениям. После восстановления всей недостающей информацией при У неизменных в последующем свойствах ОУ и внешних воздействиях процесс изменения структуры и параметров УУ прекращается и система работает в обычном режиме.

Во втором случае имеются исходные сведения о свойствах ОУ и внешних воздействий, позволяющих синтезировать УУ. Однако в процессе работы системы эти свойства в силу различных причин могут изменяться, поэтому заранее достоверно прогнозировать характер изменения не удается. Эти изменения, если они происходят в достаточно большом диапазоне, могут привести к тому, что УУ, спроектированное в ориентации на некоторую начальную информацию, в новых условиях уже не обеспечит соответствие показателя качества существующим ограничениям. Качество может оказаться не экстремальным, т.е. в новых условиях система не будет оптимальной, или выйдет из требуемого диапазона.

Две перечисленные ситуации изменения свойств ОУ и внешних воздействий не исключают возможности существования третьей, в которой необходимая для синтеза УУ информация может быть как неизвестна на начальном этапе так и подвергаться непрогнозируемым изменениям в последующем. Однако независимо от конкретизации ситуации общим для всех отмеченных случаев является то, что система управления в процессе функционирования должна реагировать на изменение свойств ОУ и внешних воздействий и на основании результатов обработки соответствующей информации приспосабливаться к новым условиям путем изменения структуры и параметров УУ или некоторой его части так, чтобы показатель качества каждый раз достигал экстремального значения или находился в заданном диапазоне. Такие системы автоматического управления принято называть адаптивными, а процесс изменения структуры и параметров УУ, осуществляемый на основании информации о свойствах ОУ и внешних воздействий и обеспечивающий приспосабливаемость системы к изменяющимся условиям работы, адаптацией. Если адаптация обусловлена только отсутствием начальной информации о свойствах ОУ и внешних воздействий и после ее восполнении из-за неизменности этих свойств необходимое качество управления обеспечивается при неизменных структуре и параметрах УУ, адаптацию принято называть однократное. В остальных случаях коррекция управляющего устройства осуществляется каждый раз при изменении свойств ОУ или внешних воздействий и адаптация называется многократной.

СНС со стабилизацией амплитудно-частотных характеристик. При построении систем управления очень важно иметь возможность поддерживать свойства замкнутой системы неизменными в широком диапазоне изменения свойств ОУ. Свойства линейной замкнутой системы удобно оценивать по виду ее амплитудно-частотных характеристик или импульсной характеристики. Соответствующие системы, если эффект стабилизации обеспечивается рациональным изменением параметров УУ на основании получаемой в процессе работы системы информации об ОУ принято относить к СНС со стабилизацией качества управления. Характерным для таких систем является наличие модели, отражающей желаемые свойства замкнутой или разомкнутой системы.

Пусть проектируется система управления минимально фазовым ОУ, особенность которых состоит в возможности исследования их частотных свойств только по виду АЧХ.

Предусмотрим в структуре УУ корректирующие цепи с переменными параметрами, изменяющимися в процессе работы системы при изменении свойств ОУ. Число m таких параметров целесообразно выбрать равным числу переменных параметров в уравнении ОУ, хотя из соображений простоты технической реализуемости число m может быть уменьшено. Параметры корректирующих цепей следует изменять так, чтобы свойства проектируемой системы были тождественны свойствам модели при всех состояний ОУ. Для этого можно на m частотах измерить АЧХ разомкнутой системы и полученные результаты сравнить с аналогичными значениями модели. На основании результатов сопоставления изменяются параметры УУ в направлении устранения рассогласования. Схема реализации такого исхода изображена на рис. 1.

Основной контур включает в себя объект управления, характеризующийся медленно изменяющимися в системе параметрами. Эта " медленность" позволяет СУ вместе с неизменной частью УУ на интервалах времени, соизмеримых с длительностью переходных процессов, характеризовать передаточной функцией W0(p). В основной контур входит и корректирующее устройство, состоящее из m параллельно соединенных цепей с переменными коэффициентами ai (положит, сигналы с выходов интеграторов, подаваемые на умножители) и фильтрами Wi(p), . Выбор функций Wi(p) и диапазон изменения коэффициентов ai должны быть подчинены следующему достигаемому во всей области изменения параметров ОУ условию: (1) в котором левая часть представляет собой передаточную функций разомкнутой проектируемой системы. [WM(p)] - передаточная функция модели. Условие (1) считается приближенно достигнутым, если выпол. равенство (2) т.е. у проектируемой системы АЧХ совпадает с АЧХ модели на m частотах . Последние должны равномерно покрывать всю полосу пропускания модели. Чтобы (2) заведомо имели действительные решения относительно ai, в качестве фильтров Wi(p) выбирают узкополосные устройства, обладающие свойствами при , тогда из (2)следует (3)

Для выбора только положительных величин коэффициентов, что обеспечивает, однозначность решения (3) схемой предусмотрена система детекторов Д, которые пропускают лишь положительные входные сигналы и образуют на выходах нули при отрицательных входных сигналах. На вход системы для контроля за частотными свойствами помимо основного подается пробный сигнал , содержащий весь спектр частот .

Сигнал рассогласования подается на вход модели. Сигналы с выходов модели и системы преобразуются m узкополосными резонансными фильтрами с передаточными функциями , , настроенными на рабочие частоты , т.е. из всего спектра входных сигналов - пропускающими частоты» близкие к . Сигналы с выходов фильтров выпрямляются детекторами, так что для установившегося режима можем записать , (4) , (5) где амплитуда - гармоники спектра сигнала .

Сигналы (4) и (5) попарно вычитаются и подаются на входы интегралов с пер. функ. . Положительные сигналы с выходов интеграторов пропускаются детекторами представляют собой значения коэффициентов настройки корректирующих цепей, которые при условии подчинены уравнениям. . Последнее уравнение можно переписать в диф. форме ; , что с учетом (4) и (5) можно представить в виде

(6) где , .

Соотношения (6)являются уравнениями контура самонастройки и показывают, что при изменении свойств ОУ величины должны меняться до тех пор, пока не будут выполнены условия совпадения (2) АЧХ проектируемой системы и модели. Если выполняется условие при уравнения (6) становятся независимыми, так что , (7) Этим уравнением первого порядка соответствуют всегда устойчивые процессы, поэтому при любых начальных значениях коэффициентов в последующем установятся такие значения, при которых будет достигнут результат самонастройки (2), т.е. независимо от изменения свойств ОУ свойства всей системы будут соответствовать модели.

Пример 1: .

Набору функций e^-^t^/^T¹, e^-^t^/^T₂, …, e^-^t^/^T_n будут соответствовать числа , …, _.

Примером является

Функции, обеспечивающие экстремум функционала, называются экстремалями.

Если dV¹ 0, то при достаточно малом расстоянии r(x+dx, x) знак правой части совпадает со знаком dV, но dV меняет знак при изменении знака dx вследствие линейности, следовательно, при достаточно малом r(x+dx, x) и знак DV изменяется при изменении знака dx, т.е. при x₀(t) не достигается ни максимум, ни минимум. Таким образом, необходимым условием экстремума функционала является dV=0.

Формировка простейшей вариационной задачи классического вариационного исчисления. Вывод уравнение Эйлера.

12 3 4 5 6 Следующая ⇒