Применение классического вариационного исчисления к задаче оптимального управления, уравнения Эйлера - Лагранжа в канонической форме.

Вспомним теперь формулировку задачи оптимального управления с закрепленными концами. Объект управления описывается уравнениями .

Требуется найти вектор управляющих воздействий u(t) и соответствующую фазовую траекторию x(t) при условии, что X(t₀) = X₀, X(t_k) = X_k и функционал принимает экстремальное значение.

Очевидно, что сформулированная задача по существу является вариационной задачей и отличается от обычной вариационной задачи на условный экстремум только тем, что в нее входят два вида функций: функция X(t), характеризующая состояние системы, и функция управления U(t).Это отличие не принципиально и легко показать, что задача оптимального управления, удовлетворяющая основным положениям классического вариационного исчисления (отсутствие ограничений на фазовые координаты и управляющие воздействия, непрерывность и дифференцируемость управляющих воздействий), является общей задачей Лагранжа. Действительно, интеграл (9) можно рассматривать как функционал, зависящий от n+m функций x₁, …, x_n, u₁, …, u_n.

Эти функции связаны дифференциальными уравнениями объекта (8), которые можно записать в виде уравнений связи

. (10)

Следовательно, для решения задачи оптимального управления, которая удовлетворяет основным положениям классического вариационного исчисления, можно использовать метод неопределенных множителей Лагранжа и записать необходимое условие экстремума функционала (9) при наличии ограничения (10) в виде уравнения Эйлера – Лагранжа. Согласно методу неопределенных множителей введем вспомогательный функционал

(11) где (12)

есть функция Лагранжа. Тогда уравнение Эйлера-Лагранжа будут иметь вид

(13)

В дальнейшем будем использовать, так называемую каноническую форму записи уравнений Эйлера-Лагранжа. Такая форма записи уравнения Эйлера-Лагранжа имеется в вариационном исчислении мы рассмотрим ее применительно к задачам оптимального управления.

Введем функцию, называемую гамильтонианом (функция Гамильтона).

(14)

(l₀=-1) и сравним ее с функцией Лагранжа (12). Выразим вспомогательную функцию L через гамильтониан H:

(15)

(т.е. к функции H добавлено слагаемое, которое отличает ее от функции L).

Запишем необходимое условие экстремума (уравнения Эйлера-Лагранжа) с использованием функции H. Для частных производных, которые входят в уравнения Эйлера-Лагранжа (13) согласно (15) имеем (16) подставим найденные выражения в (13), получим уравнения Эйлера-Лагранжа в канонической форме:

(16)

Здесь уравнения (17а) являются уравнениями объекта (8). Уравнения (17б), записанные относительно вспомогательных переменных , образуют так называемую сопряженную к (17а) систему. Они согласно (14) имеют вид:

Уравнения (17в) являются алгебраическими. Действительно

Заметим, что значения функции, удовлетворяющие условию в виде (17в), называются стационарными значениями функции, а точки пространства аргументов, в которых эти условия выполняются - стационарными точками (стационарными называются точки, в которых производная функции равна нулю). Следовательно, оптимальное управление есть стационарная точка функции Гамильтона.

Уравнения (19) позволяют определить управление в виде функции . (20)

Подставив (20) в (17а и б), получим систему дифференциальных уравнений:

(21) X(t₀)=X₀, X(t_k)=X_k.

Общее решение такой системы, как известно, зависит от 2n параметров (начальных условий) поскольку управление найдено как функция (X и l). В задаче с закрепленными концами n параметров задано на левом конце фазовой траектории (X(t₀)=X₀), и n параметров на правом конце (X(t_k)=X_k). Такая задача называется краевой.

Таким образом решение задачи оптимального управления оказалось сведенным к решению краевой задачи для систем дифференциальных уравнений. Уравнений Эйлера-Лагранжа решения системы (17) не обязательно дают оптимальное управление, но только такие решения могут претендовать на роль оптимального управления. С помощью уравнений Э-Л обычно удается найти оптимальное управление и оптимальную траекторию системы, поскольку существование и характер экстремума функционала в конкретной задаче оптимального управления, как правило, известно заранее.

ОТВЕТЫ ПО НЕКЛАССИЧЕСКОМУ ВАРИАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. 38. Состав, свойства и применение калийных удобрений.
2. II. Дифференциальные уравнения
3. Абсолютно твердое тело - система материальных точек, расстояние между которыми не изменяются в данной задаче. Абсолютно твердое тело обладает только поступательными и вращательными степенями свободы.
4. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Арифметические операции с комплексными числами в алгебраической форме.
5. Алгоритмы нахождения оптимального пути
6. Билет № 14. Применение эластичности в микроанализе
7. Боевое применение танков Т-34
8. Вид управления оптимального по быстродействию, теорема об n-интервалах.
9. Виды корректурных знаков и их применение в тексте
10. Виды управления,социальное управление, механизм управления.
11. Вопрос 430. Международные правовые нормы как часть правовой системы Российской Федерации. Применение международных договоров и соглашений в работе адвоката.
12. Вопрос 439. Конституция как акт прямого действия. Применение судами Конституции при осуществлении правосудия.