Структура управления оптимального по быстродействию, определение моментов переключения.

Объект управления описывается системой

(1)

На управление наложены ограничения:

(2)

Требуется найти допустимое управление , которое за минимально возможное время Т переводит объект из заданного начального состояния в конечное состояние Х(Т)=ХТ.

Оптимизируемый функционал, в задача максимального быстродействия имеет вид

(3)

т.е. при оптимизации системы управления по быстродействию в интегральном функционале берется .

Поэтому функция Гамильтона в этом случае

(4)

Так как , максимум Н реализуется одновременно с максимумом функции

(5)

Согласно основной теореме принципа максимума в задаче, в которой T не фиксировано, должно выполняться условие

(6)

Таким образом, для оптимальности по быстродействию необходимо:

1) существование ненулевой, непрерывной векторной функции составляющие которой удовлетворяют системе

(7)

2) чтобы функция при каждом значении достигала максимума по ;

3) чтобы при выполнялось соотношение (6).

Основная задача определения оптимальных по быстродействию алгоритмов управления в разомкнутых системах состоит в нахождении моментов переключения реле . так как на основании теоремы об " " интервалах управление является релейным с числом интервалов не более , на которых и имеет место переключений реле.

Определение моментов переключения в общем случае является сложной задачей.

Моменты переключения зависят от следующих факторов:

1) от векторов начального и конечного состояния объекта и ;

2) от наличия ограничений координат вектора состояния;

3) от величины допустимого управления

4) от параметров и характеристик объекта;

5) от наличия возмущающего воздействия.

Рассмотрим способ вычисления моментов переключения на примере одномерного линейного объекта с неизменными во времени параметрами при отсутствии ограничений на базовые координаты и отсутствии возмущений.

Пусть дифференциальное уравнение объекта управления имеет вид

(8)

где , а корни характеристического уравнения являются вещественными и отрицательными.

Требуется за минимальное время перевести объект из заданного начального состояния в заданное конечное состояние .

Согласно теории об " " интервалах оптимальное управление для объекта, описываемого уравнением (8) будет содержать чередующихся по знаку интервалов управления. Для определения моментов переключения применим способ стыкования управляемой координаты и всех её производных до включительно. Этот способ основан на том, что состояние системы в конце каждого интервала играет роль начальных условий для движения на следующем интервале. Когда объект описывается уравнением типа (8), координата и ее производные до -гo порядка при изменении знака управления остаются непрерывными. В этом случае стыкование в моменты переключения управления сводятся к приравниванию значений координаты и ее производных, полученных из решений уравнения (8) на двух соседних интервалах.

Если объект описывается уравнением, которое содержит в правой части производные от управляющего воздействия, некоторые производные от координаты Х претерпевают разрыв в моменты переключения. Тогда при стыковании решений на соседних интервалах необходимо учитывать условия скачков.

Решение (8) относительно управляемой координаты Х при различных вещественных корнях характеристического уравнения имеет вид

(9)

где - корни характеристического уравнения,

(частное решение уравнения 8), а постоянные зависят от начальных условий.

Пусть на первом интервале управления . Тогда, так как при переходе от одного интервала управления к другому изменяется знак управляющего воздействия, изменение координаты Х во времени на отдельных интервалах управления определяется выражениями

(10)

где в последнем выражении будет знак " +", если - четно, и знак " -", если - нечётно.

Состыкуем решения в моменты nepeключения для чего приравняем значения координаты Х, получаемые из решения (10) на двух соседних интервалах. Добавим также условия в начальной и конечной точках. В результате получаем уравнений:

(11)

Описанную процедуру надо повторить для производных , принятых в рассматриваемом случае в качестве фазовых координат системы. Неизвестными в этой системе уравнений являются постоянные интегрирования и моментов переключения (включая момент окончания процесса Т). Исключив из системы уравнений постоянные , получим систему из алгебраических трансцендентных уравнений относительно моментов времени . Таким образом, задача отыскания оптимального управления и оптимальной траектории для линейного объекта сведена к решению нелинейной алгебраической системы из уравнений. Эта система уравнений может быть решена аналитически только для простейших объектов управления. В общем случае она решается численными методами, такими как метод перебора всех возможных значений корней с некоторым шагом, метод последовательных приближений с выбором шага по методу градиента или Ньютона.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 Следующая ⇒