Структура управления оптимального по быстродействию, определение моментов переключения.
Объект управления описывается системой
(1)
На управление наложены ограничения:
(2)
Требуется найти допустимое управление
, которое за минимально возможное время Т переводит объект из заданного начального состояния
в конечное состояние Х(Т)=ХТ.
Оптимизируемый функционал, в задача максимального быстродействия имеет вид
(3)
т.е. при оптимизации системы управления по быстродействию в интегральном функционале берется
.
Поэтому функция Гамильтона в этом случае
(4)
Так как
, максимум Н реализуется одновременно с максимумом функции
(5)
Согласно основной теореме принципа максимума в задаче, в которой T не фиксировано, должно выполняться условие
(6)
Таким образом, для оптимальности по быстродействию необходимо:
1) существование ненулевой, непрерывной векторной функции
составляющие которой удовлетворяют системе
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/4333870812005.files/image535.gif)
(7)
2) чтобы функция
при каждом значении
достигала максимума по
;
3) чтобы при
выполнялось соотношение (6).
Основная задача определения оптимальных по быстродействию алгоритмов управления в разомкнутых системах состоит в нахождении моментов переключения реле
. так как на основании теоремы об "
" интервалах управление является релейным с числом интервалов не более
, на которых
и имеет место
переключений реле.
Определение моментов переключения
в общем случае является сложной задачей.
Моменты переключения зависят от следующих факторов:
1) от векторов начального и конечного состояния объекта
и
;
2) от наличия ограничений координат
вектора состояния;
3) от величины допустимого управления ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/4333870812005.files/image603.gif)
4) от параметров и характеристик объекта;
5) от наличия возмущающего воздействия.
Рассмотрим способ вычисления моментов переключения на примере одномерного линейного объекта с неизменными во времени параметрами при отсутствии ограничений на базовые координаты и отсутствии возмущений.
Пусть дифференциальное уравнение объекта управления имеет вид
(8)
где
, а корни характеристического уравнения являются вещественными и отрицательными.
Требуется за минимальное время перевести объект из заданного начального состояния
в заданное конечное состояние
.
Согласно теории об "
" интервалах оптимальное управление для объекта, описываемого уравнением (8) будет содержать
чередующихся по знаку интервалов управления. Для определения моментов переключения
применим способ стыкования управляемой координаты
и всех её производных до
включительно. Этот способ основан на том, что состояние системы в конце каждого интервала играет роль начальных условий для движения на следующем интервале. Когда объект описывается уравнением типа (8), координата
и ее производные до
-гo порядка при изменении знака управления
остаются непрерывными. В этом случае стыкование в моменты переключения управления сводятся к приравниванию значений координаты
и ее производных, полученных из решений уравнения (8) на двух соседних интервалах.
Если объект описывается уравнением, которое содержит в правой части производные от управляющего воздействия, некоторые производные от координаты Х претерпевают разрыв в моменты переключения. Тогда при стыковании решений на соседних интервалах необходимо учитывать условия скачков.
Решение (8) относительно управляемой координаты Х при различных вещественных корнях характеристического уравнения имеет вид
(9)
где
- корни характеристического уравнения,
(частное решение уравнения 8), а постоянные
зависят от начальных условий.
Пусть на первом интервале управления
. Тогда, так как при переходе от одного интервала управления к другому изменяется знак управляющего воздействия, изменение координаты Х во времени на отдельных интервалах управления определяется выражениями
(10)
где в последнем выражении будет знак " +", если
- четно, и знак " -", если
- нечётно.
Состыкуем решения в моменты nepeключения
для чего приравняем значения координаты Х, получаемые из решения (10) на двух соседних интервалах. Добавим также условия в начальной и конечной точках. В результате получаем
уравнений:
(11)
Описанную процедуру надо повторить для производных
, принятых в рассматриваемом случае в качестве фазовых координат системы. Неизвестными в этой системе уравнений являются
постоянные интегрирования
и
моментов переключения (включая момент окончания процесса Т). Исключив из системы уравнений постоянные
, получим систему из
алгебраических трансцендентных уравнений относительно моментов времени
. Таким образом, задача отыскания оптимального управления и оптимальной траектории для линейного объекта сведена к решению нелинейной алгебраической системы из
уравнений. Эта система уравнений может быть решена аналитически только для простейших объектов управления. В общем случае она решается численными методами, такими как метод перебора всех возможных значений корней с некоторым шагом, метод последовательных приближений с выбором шага по методу градиента или Ньютона.
Популярное: