Управление линейными объектами по критерию А.А. Красовского

Так как для линейного объекта

(10)

dimX = n; dimU = m

функция Беллмана-Ляпунова S(X) описывается в квадратичной форме S(X)=XTPX с симметричной положительно определенной матрицей P, то критерий (1) можно представить в форме

, (11)

а уравнение (5*) поставить в соответствие матричное уравнение Ляпунова

PA + ATP = - Q. (12)

Заметим также, что уравнение (12) вытекает из матричного уравнения Риккати (31), если в него вместо матрицы Q подставить матрицу Q+PBR-1BTP.

Таким образом, решение задачи АКОР для объекта (10) по критерию (11) сводится к решению линейного матричного уравнения Ляпунова (12) и определяется следующими теоремами.

Теорема 1: если матрица А устойчива, то для любой положительно определенной матрицы Q существует единственное положительно определенное решение P+ уравнения (12).

Теорема 2: Пусть матрица А исходной системы (10) устойчива, Р+ - положительно определенное решение уравнения (12). Тогда управление минимизирующее функционал (11) с матрицами Q> 0, R> 0 на движение замкнутой системы, возбужденной произвольными начальными условиями X(0)=X0, определяется выражением

; , (13)

причем замкнутая система асимптотически устойчива, а функция является для нее функцией Ляпунова.

Из приведенных теорем следует, что метод синтеза оптимальных регуляторов по критерию обобщенной работы непосредственно применим только к устойчивым объектам управления. Это является существенным недостатком данного метода синтеза оптимальных систем. Для его устранения А.А. Красовским предложены различные модификации рассматриваемого метода, применимые к неустойчивым и нейтральным объектам. Они основаны на преобразовании исходных неустойчивых дифференциальных уравнений объекта в устойчивые с использованием так называемых способов регуляризации объектов управления.

Один из возможных способов регуляризации заключается в следующем. Пусть g > 0 – наибольшая вещественная часть неустойчивых полюсов исходного объекта (для нейтрального объекта g = 0) и пусть a > g. Поставим следующую задачу АКОР:

(14)

Данную задачу с использованием преобразования переменных

; (15)

можно свести к стандартной, ранее рассмотренной задаче АКОР. Действительно, умножением на описание объекта принимает вид

. (16)

На основе (15) находим производную

Отсюда выражаем

. (17)

Подстановкой (17) в (16), получаем описание объекта управления

(18)

в координатах (15).

В переменных (15) критерий качества (14) принимает форму

(19)

Таким образом, задача (14) преобразуется в эквивалентную задачу АКОР для объекта (18) по критерию качества (19).

Так как матрица (А-aЕ) устойчива, то в соответствии с теоремами 1, 2 решение указанной задачи (18), (19) дается выражениями:

; , (20)

. (21)

Осуществляя в (20) обратную замену переменных (15), получим решение исходной задачи (14) в виде

. (22)

Основные понятия адаптивного управления. Адаптивная система со стабилизацией частотной характеристики разомкнутого объекта.

Общие понятия об адаптивном управлении.Для математической формулировки и последующего решения задачи синтеза оптимальной системы уравнения необходимо располагать определенными сведениями об объекте управления в условиях работы системы. Объект управления должен быть математически описан, т.е. найдено его дифференциальное уравнение или какой-нибудь аналог уравнения. Также должно быть детерминированном или вероятном смысле известны свойства задающих и возмущающих воздействий. Наличие такой априорной информации позволяет синтезировать оптимальную и неоптимальную систему, но имеющую нужные показатели качества. Во многих реальных ситуациях информация о свойствах объекта управления и внешних воздействиях оказывается недостаточной для построения системы с необходимыми показателями качества.

Эта недостаточность может носить двоякий характер. В первом случае на этапе проектирования структуры и расчета параметров. УУ или некоторой его части могут оказаться полностью или частично не известными свойствами ОУ и внешних воздействий. Система управления в процессе функционирования сама должна автоматически восполнять недостающую информацию и по мере ее поступления изменять структуру и параметры УУ так, чтобы показатель качества или достигал экстремального значения, или соответствовал заданным ограничениям. После восстановления всей недостающей информацией при У неизменных в последующем свойствах ОУ и внешних воздействиях процесс изменения структуры и параметров УУ прекращается и система работает в обычном режиме.

Во втором случае имеются исходные сведения о свойствах ОУ и внешних воздействий, позволяющих синтезировать УУ. Однако в процессе работы системы эти свойства в силу различных причин могут изменяться, поэтому заранее достоверно прогнозировать характер изменения не удается. Эти изменения, если они происходят в достаточно большом диапазоне, могут привести к тому, что УУ, спроектированное в ориентации на некоторую начальную информацию, в новых условиях уже не обеспечит соответствие показателя качества существующим ограничениям. Качество может оказаться не экстремальным, т.е. в новых условиях система не будет оптимальной, или выйдет из требуемого диапазона.

Две перечисленные ситуации изменения свойств ОУ и внешних воздействий не исключают возможности существования третьей, в которой необходимая для синтеза УУ информация может быть как неизвестна на начальном этапе так и подвергаться непрогнозируемым изменениям в последующем. Однако независимо от конкретизации ситуации общим для всех отмеченных случаев является то, что система управления в процессе функционирования должна реагировать на изменение свойств ОУ и внешних воздействий и на основании результатов обработки соответствующей информации приспосабливаться к новым условиям путем изменения структуры и параметров УУ или некоторой его части так, чтобы показатель качества каждый раз достигал экстремального значения или находился в заданном диапазоне. Такие системы автоматического управления принято называть адаптивными, а процесс изменения структуры и параметров УУ, осуществляемый на основании информации о свойствах ОУ и внешних воздействий и обеспечивающий приспосабливаемость системы к изменяющимся условиям работы, адаптацией. Если адаптация обусловлена только отсутствием начальной информации о свойствах ОУ и внешних воздействий и после ее восполнении из-за неизменности этих свойств необходимое качество управления обеспечивается при неизменных структуре и параметрах УУ, адаптацию принято называть однократное. В остальных случаях коррекция управляющего устройства осуществляется каждый раз при изменении свойств ОУ или внешних воздействий и адаптация называется многократной.

СНС со стабилизацией амплитудно-частотных характеристик.При построении систем управления очень важно иметь возможность поддерживать свойства замкнутой системы неизменными в широком диапазоне изменения свойств ОУ. Свойства линейной замкнутой системы удобно оценивать по виду ее амплитудно-частотных характеристик или импульсной характеристики. Соответствующие системы, если эффект стабилизации обеспечивается рациональным изменением параметров УУ на основании получаемой в процессе работы системы информации об ОУ принято относить к СНС со стабилизацией качества управления. Характерным для таких систем является наличие модели, отражающей желаемые свойства замкнутой или разомкнутой системы.

Пусть проектируется система управления минимально фазовым ОУ, особенность которых состоит в возможности исследования их частотных свойств только по виду АЧХ.

Предусмотрим в структуре УУ корректирующие цепи с переменными параметрами, изменяющимися в процессе работы системы при изменении свойств ОУ. Число m таких параметров целесообразно выбрать равным числу переменных параметров в уравнении ОУ, хотя из соображений простоты технической реализуемости число m может быть уменьшено. Параметры корректирующих цепей следует изменять так, чтобы свойства проектируемой системы были тождественны свойствам модели при всех состояний ОУ. Для этого можно на m частотах измерить АЧХ разомкнутой системы и полученные результаты сравнить с аналогичными значениями модели. На основании результатов сопоставления изменяются параметры УУ в направлении устранения рассогласования. Схема реализации такого исхода изображена на рис. 1.

Основной контур включает в себя объект управления, характеризующийся медленно изменяющимися в системе параметрами. Эта " медленность" позволяет СУ вместе с неизменной частью УУ на интервалах времени, соизмеримых с длительностью переходных процессов, характеризовать передаточной функцией W0(p). В основной контур входит и корректирующее устройство, состоящее из m параллельно соединенных цепей с переменными коэффициентами ai (положит, сигналы с выходов интеграторов, подаваемые на умножители) и фильтрами Wi(p), . Выбор функций Wi(p) и диапазон изменения коэффициентов ai должны быть подчинены следующему достигаемому во всей области изменения параметров ОУ условию: (1) в котором левая часть представляет собой передаточную функций разомкнутой проектируемой системы. [WM(p)] - передаточная функция модели. Условие (1) считается приближенно достигнутым, если выпол. равенство (2) т.е. у проектируемой системы АЧХ совпадает с АЧХ модели на m частотах . Последние должны равномерно покрывать всю полосу пропускания модели. Чтобы (2) заведомо имели действительные решения относительно ai, в качестве фильтров Wi(p) выбирают узкополосные устройства, обладающие свойствами при , тогда из (2)следует (3)

Для выбора только положительных величин коэффициентов, что обеспечивает, однозначность решения (3) схемой предусмотрена система детекторов Д, которые пропускают лишь положительные входные сигналы и образуют на выходах нули при отрицательных входных сигналах. На вход системы для контроля за частотными свойствами помимо основного подается пробный сигнал , содержащий весь спектр частот .

Сигнал рассогласования подается на вход модели. Сигналы с выходов модели и системы преобразуются m узкополосными резонансными фильтрами с передаточными функциями , , настроенными на рабочие частоты , т.е. из всего спектра входных сигналов - пропускающими частоты» близкие к . Сигналы с выходов фильтров выпрямляются детекторами, так что для установившегося режима можем записать , (4) , (5) где амплитуда - гармоники спектра сигнала .

Сигналы (4) и (5) попарно вычитаются и подаются на входы интегралов с пер. функ. . Положительные сигналы с выходов интеграторов пропускаются детекторами представляют собой значения коэффициентов настройки корректирующих цепей, которые при условии подчинены уравнениям. . Последнее уравнение можно переписать в диф. форме ; , что с учетом (4) и (5) можно представить в виде

(6) где , .

Соотношения (6)являются уравнениями контура самонастройки и показывают, что при изменении свойств ОУ величины должны меняться до тех пор, пока не будут выполнены условия совпадения (2) АЧХ проектируемой системы и модели. Если выполняется условие при уравнения (6) становятся независимыми, так что , (7) Этим уравнением первого порядка соответствуют всегда устойчивые процессы, поэтому при любых начальных значениях коэффициентов в последующем установятся такие значения, при которых будет достигнут результат самонастройки (2), т.е. независимо от изменения свойств ОУ свойства всей системы будут соответствовать модели.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56