ТЕМА 4. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ

ВЕЛИЧИНЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Абсолютные показатели выражают уровни и размеры явлений. Их значение - дают исходную базу для оценки состояния явлений, для разработки планов, прогнозов и т.д. Через них отражается национальное богатство, производительные силы и т.д.

Абсолютные величины выражаются именованными числами. Можно выделить следующие единицы измерения:

- натуральные – количество, вес, длина;

- обобщающие – условно-натуральные, условно-стоимостные.

Достоинство обобщающих единиц измерения – разные виды явлений пересчитываются с помощью выбранного соизмерителя (например, бензин, молоко консервы пересчитывают на условную единицу). Наиболее распространенным обобщением является стоимостное, соизмерителем в данном случае выступает цена.

Относительные величины выражают меру сравнения, сопоставления, развития и т.д. в результате деления одной абсолютной величины на другую. Величину, стоящую в знаменателе, называют базисной величиной или базой сравнения.

Относительные величины выражаются в:

- коэффициентах (разах), если база сравнения принимается за единицу;

- процентах, если база сравнения принимается за 100;

- промилле, если база сравнения принимается за 1000.

Относительные величины можно подразделить на 7 видов.

1. Относительная величина динамики (темп роста). Характеризует изменение явления во времени.

, (4.1)

где - отчетный период, который нас интересует,

- базисный период, с которым сравнивают.

2. Относительная величина выполнения плана. Показывает во сколько раз перевыполнен (недовыполнен) план.

, (4.2)

где - плановое задание на отчетный период.

3. Относительная величина планового задания. Показывает во сколько раз запланировано увеличить (уменьшить) уровень базисного периода.

(4.3)

- базисный период, с которым сравнивают.

- плановое задание на следующий за базисным период.

Между этими тремя величинами существует взаимосвязь

4. Относительная величина структуры. Характеризует удельный вес отдельной части в общей совокупности. Определяется делением отдельной части совокупности на всю совокупность. Эти величины позволяют оценить состав населения, посевной площади и т.д. Сравнение относительных величин структуры в динамике позволяют выявлять структурные сдвиги.

5. Относительная величина координации. Выражает соотношение разных частей одной и той же совокупности. Определяется делением численности одной группы на численность другой группы. Служат для установления пропорций.

6. Относительная величина интенсивности. Характеризует объем развития явления в определенной среде. Определяется соотношением двух разноименных, но связанных между собой величин (например, производительность труда, плотность населения и т.д.), могут быть именованными числами.

7. Относительная величина сравнения. Выражает результат соотношения одного вида величин, относящихся к разным объектам или территориям (например, потребление алкогольных напитков на душу населения по разным странам).

 

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1.

Планом развития предприятия предусматривалось снижение себестоимости на 3% в отчетном периоде по сравнению с базисным. Фактически за этот период себестоимость не изменилась. Вычислить относительную величину выполнения плана.

Задача решается на основе взаимосвязи относительных величин:

Так как себестоимость в отчетном периоде по сравнению с базисным не изменилась, то относительная величина динамики ( ) равна 1 или 100%. Относительная величина планового задания ( ) отражает как планируется изменить существующий уровень явления, т.е. в нашем примере она составляет 97% (т.к. по условию планируется снижение на 3% относительно базисных 100%) или 0, 97 раз.

Таким образом, или 103, 09%, т.е. установленный по плану на отчетный период размер себестоимости, был фактически превышен на 3, 09%.

 

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

 

Задача 1.

За отчетный период предприятие на производственные нужды израсходовало следующее количество топлива:

Виды топлива	Количество израсходованного топлива	Средние калорийные эквиваленты перевода в условное топливо
Моторное и дизельное топливо, т Мазут топочный, т Уголь донецкий, т Газ природн., тыс. куб. м Торф, т		1, 43 1, 37 0, 90 1, 20 0, 40

По имеющимся данным определите общее количество потребленного в отчетном периоде топлива в пересчете на условное.

 

Задача 2.

За отчетный период предприятие выпустило тетрадей: 12-листовых – 50 000 шт., 24-листовых – 20 000 шт., 60-листовых – 10 000 шт., 96-листовых – 5 000 шт.

Определить общий выпуск тетрадей в условно-натуральном виде (в пересчете на 12-листовые).

 

Задача 3.

Численность населения Иркутской области характеризуется следующими данными:

Численность населения	2000 г.	2010 г.
Все население, тыс. человек	2644, 0	2502, 7
в т.ч. городское	2105, 6	1972, 2
сельское	538, 4	530, 5

Территория Иркутской области – 774, 8 тыс. кв. км.

Население Красноярского края в 2010 г. – 2893, 9 тыс. человек.

Вычислить все возможные виды относительных величин, указав их вид.

 

Задача 4.

В 2010 году сотрудникам предприятия обещали повысить заработную плату на 15 % по сравнению с предыдущим годом, однако фактически зарплата снизилась на 5%.

Определить, на сколько процентов было не выполнено обещание.

 

Задача 5.

Высшее учебное заведение запланировало повысить в 2008 году коммерческий набор студентов на 5% по сравнению с предыдущим годом. План по приему студентов был перевыполнен на 2%.

Определить на сколько процентов изменилась численность студентов в 2008 г. по равнению с 2007 г.

 

Задача 6.

Имеются следующие основные показатели рекламной деятельности двух СМИ.

Показатели	Печатные СМИ	Электронные СМИ, 2007 г.
2006 г.	2007г.
по плану	факт.
Заключено договоров на рекламу			3 501
Выручка от реализации продукции, тыс. руб	10 011, 8	13 500	12 826, 3	13 874, 6
в т.ч. от реализации рекламных услуг	5 568, 3	6 500	6 642, 7	8 999, 8

Исчислить все возможные относительные показатели. Сделать выводы.

 

Задача 7.

Известны следующие сведения о договорах на предоставление услуг по рекламе, заключаемых с рекламными агентствами и представителями СМИ.

Показатели, млн руб.	2006 г.	2007 г.
Заключено договоров – всего	683, 8	1388, 2
в т. ч. на рекламирование
продовольственных товаров	35, 6	112, 7
непродовольственных товаров	199, 3	469, 8
продукции производственно-технического назначения	45, 2	153, 1
услуг – всего	393, 0	566, 8
из них:
операций с недвижимостью	18, 3	32, 7
услуг автосервиса	10, 4	28, 2
туристических услуг	6, 3	30, 5

Проанализировать динамику и структурные изменения рекламного портфеля.

 

 

Задача 8.

В 2010-2011 учебном году в вузе обучалось 500 иностранных студентов. Руководство вузу запланировало увеличить численность таких студентов в следующем учебном году на 5%. Величина выполнение плана составила 103, 8%. Рассчитать численность иностранных студентов вуза в 2011-2012 учебном году.

 

 

ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

Задание 1.

Относительные величины структуры:

1) характеризуют состав явления и показывают, какой удельный вес в общем итоге составляет каждая его часть;

2) характеризуют соотношение отдельных составных частей явления.

 

Задание 2.

Относительные величины координации:

1) характеризуют состав явления и показывают, какой удельный вес в общем итоге составляет каждая его часть;

2) характеризуют соотношение отдельных частей явления

3) характеризуют пропорции в совокупности.

 

Задание 3.

Укажите относительные величины динамики:

1) планом предусматривалось увеличить продукцию химического комбината в 1, 2 раза;

2) в 2010 г. предусматривалось довести производство минеральных удобрений завода области до 9 млн. тонн.

 

Задание 4.

База сравнения (основание) – это:

1) величина, которая сравнивается;

2) величина, с которой сравнивают;

3) величина, получаемая в результате сравнения.

 

Задание 5.

Показатели обеспеченности населения учреждениями здравоохранения – это относительная величина:

1) координации;

2) динамики;

3) структуры;

4) интенсивности.

 

Задание 6.

Производительность труда в 2009 г. на заводе составила 4260 руб. Планом на 2010 г. предусматривался уровень производительности труда 4800 руб., фактически он составил 5070 руб. Определить относительную величину планового задания.

1) 119%; 2) 112, 7%; 3) 105, 6%; 4) 88, 7%.

 

 

Задание 7.

Произведено томатного соуса 200 тыс. банок весом 600 г. определить производство в условных банках, если за условную банку принимается банка весом 400 г.

1) 133, 3; 2) 300; 3) 1200; 4) 400.

 

ТЕМА 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Средняя величина представляют сводную, обобщенную характеристику статистической совокупности. Она одним числом характеризует все явление, абстрагируясь от случайности индивидуальных значений, и показывает, какой размер этого явления приходится на единицу совокупности.

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием осредняемого показателя и исходными данными.

1. Средняя арифметическая. Это наиболее распространенный на практике вид средней. При исчислении средней арифметической сумма всех значений признаков делится на их число.

В зависимости от частоты повторения признака, возможны два способа расчета средней арифметической:

а) средняя арифметическая простая, не учитывает повторяемость признака и применяется в двух случаях:

- если данные не сгруппированы,

- если данные сгруппированы, но частоты равны.

(5.1)

б) средняя арифметическая взвешенная, применяется в том случае, если данные сгруппированы и частоты неравны.

(5.2)

В интервальном ряду распределения расчет среднего значения предполагает проведение следующих процедур:

1) нтервальный ряд превращается в дискретный, переходом от двух границ к центру интервала (исчисляется как средняя арифметическая простая из крайних границ);

2) открытые интервалы закрываются по условной длине, равной длине соседнего интервала.

Далее расчет осуществляется, как в дискретном ряду.

При осреднении относительных величин используется средняя арифметическая, если в исходных данных имеется значение осредняемого показателя и знаменатель исходного соотношения (носитель характеризуемого признака, т.е. частота исходного показателя) по единицам осреднения, например, при нахождении средней заработной платы (Зар. плата = Фонд оплаты / Численность работников), должна быть известна заработная плата и численность работников по каждой единице осреднения (например, организации), чтобы воспользоваться средней арифметической.

2. Средняя гармоническая. Применяется в том случае, если в исходных данных нет частот, а вместо них имеются «мнимые частоты», выражающие произведение признака на отсутствующие частоты.

(5.3)

где - «мнимые частоты».

Если мнимые веса равны, то средняя гармоническая взвешенная становится простой: (5.4)

Кроме этих средних на практике при анализе динамических рядов пользуются средней хронологической и средней геометрической.

Помимо средней арифметической величины на практике широко используются структурные средние (величины положения). В первую очередь структурными средними называют моду и медиану.

Мода – наиболее распространенное значение признака, т.е. это варианта с наибольшей частотой, по которой определяют моду в дискретном ряду распределения.

В интервальном ряду сначала по наибольшей частоте определяется модальный интервал, а далее расчет проводится по формуле.

, (5.5)

где

- нижнее значение модального интервала;

- длина модального интервала;

- частоты, соответственно, модального интервала, предмодального и послемодального.

Медиана – это значение признака, которое делит ранжированный ряд значений признака пополам, т.е. у половины единиц в совокупности значения признака меньше медианы, а у другой половины - больше. В дискретном ряду распределения медиана находится по накопленным частотам, т.е. медиана - это та варианта, накопленные частоты которой достигают половины суммы всех частот. Накопленные частоты равны сумме самой частоты и всех предыдущих.

В интервальном ряду по накопленным частотам находят медианный интервал, а само значение медианы определяется по формуле.

, (5.6)

где

- нижнее значение медианного интервала;

- длина медианного интервала;

- частоты, накопленные до медианного интервала;

- частота медианного интервала.

Также используются квинтили (т.е. варианты, разбивающие ряд распределения на 5 равных частей), децили (на 10 частей) и другие структурные средние, формулы расчета которых строятся по аналогии с формулой медианы.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1.

Имеется распределение студентов по количеству явок на практически занятия.

Группы по количеству явок на практические занятия	Количество студентов
2 – 6, 5
6, 5 – 11
11 – 15, 5
15, 5 – 20
Итого

На основе этих данных определить:

1) Среднее количество явок на занятия по группе;

2) Модальное количество явок;

3) Медиану по количеству явок;

4) Верхнюю и нижнюю квинтиль по количеству явок.

Решение.

1) Так исходная информация представлена в виде вариационного ряда распределения с неравными частотами (вариантами являются количество явок, а частотами – количество студентов), для исчисления средней применяется средняя арифметическая взвешенная.

Так ряд распределения интервальный, необходимо предварительно исчислить центры каждого интервала. Промежуточные расчеты представим в таблице.

Группы по количеству явок на практические занятия x	Количество студентов   f	Центры интервалов x	Произведение вариант на частоты xf	Кумулятивные частоты   fнак
2 – 6, 5		4, 25 (	12, 75 (4, 25*3)
6, 5 – 11		8, 75	52, 5	9 (3+6)
11 – 15, 5		13, 25		21 (9+12)
15, 5 – 20		17, 75	159, 75	30 (21+9)
Итого		×		×

Далее центры интервалов необходимо умножить на соответствующие им частоты (колонку 3 умножить на колонку 2), результаты внесем в колонку 4. Рассчитанную в итоге сумму подставим в формулу.

Таким образом, в среднем студенты группы посетили почти 13 занятий.

2) В интервальном ряду распределения мода исчисляется по формуле:

В третьем интервале сосредоточено наибольшее количество студентов, таким образом, мода будет исчисляться в интервале от 11 до 15, 5 занятий. Подставим соответствующие значения в формулу:

Таким образом, наибольшее число студентов посетили в течении семестра 14 занятий.

3) Для исчисления медианы в ряду распределения необходимо накопить частоты. Кумулятивные (накопленные) частоты запишем в колонке 5 расчетной таблицы. Медиана находится в третьем интервале, так к нему накапливается 15 (половина) всех частот. В интервальном ряду распределения медиана исчисляется по формуле:

Подставим значения в формулу:

Таким образом, половина студентов группы посетило менее 13 занятий в семестре, а другая половина – более.

4) Квинтили разделяют ранжированный ряд значений на 5 равных частей. Таким образом, первая квинтиль отделяет первые 20% студентов группы (с самым небольшим посещением), а последняя отделяет 80% студентов группы (или 20% с самым частым посещением занятий). Интервалы, в которых исчисляются показатели, определяются по накопленным частотам (смотри колонку 5 расчетной таблицы). Первая (нижняя) квинтиль находится во втором интервале, т.к. к нему накапливаются первые 20% студентов (или 6 человек). Четвертая (верхняя) квинтиль находится в последнем интервале, т.к. к нему накапливается 80% студентов (24 человека). Построение формул квинтилей аналогично построению формул медианы.

Таким образом, 25% студентов от общей численности группы посетило в течении семестра менее 8 занятий, с другой стороны 25% студентов посетило более 17 занятий в течении семестра.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

 

Задача 1.

Результаты сдачи экзамена группы студентов следующие:

3 2 4 5 4 4 3 4 5 3

2 5 3 4 5 4 5 4 3 5

4 3 5 4 3

Определить:

1) средний балл (указать способ расчета используемой средней величины);

2) моду;

3) медиану.

Ответ: 1) 3, 84; 2) 4; 3) 4.

 

 

Задача 2.

Качество продукции предприятия характеризуется следующими данными:

Вид продукции	Удельный вес бракованной продукции, %	Стоимость бракованной продукции, руб.
К-1	1, 3
К-2	0, 8
К-3	3, 2

Определить средний процент брака по всему предприятию, указав вид средней.

 

Задача 3.

Определить средний процент выполнения плана по 3 предприятиям сферы обращения. Указать вид средней.

№ п/п	Фактический объем производства услуг, тыс. рублей	Выполнение плана, %

 

Задача 4.

Известно распределение населения Иркутской области по величине денежных доходов в 2009 г.

Группы по величине денежного дохода, руб.	Численность населения, тыс. чел.
до 4 000	287, 8
4 000-6 000	360, 4
6 000-8 000	327, 9
8 000-10 000	285, 3
10 000-15 000	503, 0
15 000-25 000	460, 5
свыше 25 000	277, 8
Итого	2502, 7

Исчислить:

1) среднее значение при­знака, используя упрощенные способы расчета средней величины;

2) моду;

3) медиану;

4) децили. Сделать выводы.

 

 

Задача 5.

По трем рекламным агентствам известны следующие данные за отчетный месяц:

Рекламное агентство
Численность работников
Выручка от реализации рекламных услуг, тыс. руб	619, 9	482, 6	853, 3
Доля выручки от реализации рекламных услуг, %	79, 8	73, 3	97, 2
Заключено договоров в расчете на одного работника

Определите по всем рекламным агентствам в целом за отчетный месяц:

1) среднюю численность работников;

2) долю выручки от реализации рекламных услуг;

3) среднее количество заключенных договоров в расчете на одного работника.

Какую формулу Вы использовали при вычислении каждой средней?

 

Задача 6.

В параллели пятых классов была проведена контрольная работа по ма­тематике. Результаты контрольной работы представлены в таблице.

Оценка	Количество учеников в классах
5а	5б	5в
Итого

Определить:

1. Среднюю оценку в каждом классе. В каком случае при расчете можно использовать простой способ расчета, а в каком взвешенный?

2. Модальную оценку в каждом классе.

 

Задача 7.

Для социологического обследования уровня жизни населения была сформирована выборочная совокупность жителей города. Распределение этой совокупности по численному составу семьи представлено в таблице (см. на следующей странице).

Определить по данному распределению:

1) среднее число членов семьи;

2) моду;

3) медиану.

 

Численность членов семьи	Удельный вес респон­дентов, % к итогу
	11, 4
	20, 9
	22, 8
	24, 1
	12, 2
	8, 6

 

Задача 8.

Имеются следующие данные 5%-го механического выборочного обследования студентов вуза.

Затраты времени на дорогу до института, час.	Численность студентов, чел.
до 0, 25
0, 25 - 0, 5
0, 5 - 1
1 - 1, 5
свыше 1, 5
Итого

На основании полученных данных рассчитать:

1) среднее значение тремя способами.

2) моду;

3) медиану;

4) квартили.

Результаты интерпретировать.

 

Задача 9.

Известно распределение сотрудников по заработной плате и полу.

Группы по заработ­ной плате, тыс. руб	Кол-во женщин	Кол-во мужчин
до 7
7 - 10
10 - 15
15 - 20
свыше 20
Итого

Определить по группе мужчин, группе женщин и по всем сотрудникам в целом следующие показатели:

1) среднюю заработную плату;

2) моду;

3) медиану.

Сделать выводы.

 

Задача 10.

Известно распределение испытуемых по скорости решения тестовой задачи.

Скорость решения, сек	Количество испытуемых
30-39
40-49
50-59
60-69
Итого

Определить:

1) среднее время решения;

2) моду;

3) децили.

Ответ: 1) 51, 25; 2) 52, 64; 3) 40, 69; 43, 46; 46, 23; 49; 51, 9; 53, 6; 56; 58; 63.

 

 

ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

Задание 1.

Среднее значение представляет собой:

1) самое распространенное зна­чение;

2) центральное значение в ранжированном ряду значений;

3) сводное, обобщенное значение;

4) стан­дартное значение.

 

Задание 2.

Средняя арифметическая взвешенная применяется, когда данные представлены в виде:

1) несгруппированных значений;

2) дискретных рядов распределения;

3) интервальных рядов распределения;

4) рядов динамики.

 

Задание 3.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда:

1) известен общий объем признака, но неизвестно количество единиц, обладающих этим признаком;

2) известно количество единиц, обладающих осредняемым признаком, но не известен общий объем признака;

3) известны общий объем признака и количество единиц, обладающих этим признаком.

Задание 4.

Величина средней арифметической взвешенной зависит от:

1) размера вариант;

2) размера частот;

3) соотношения между частотами.

 

Задание 5.

Отметить формулы средней гармонической:

1)

2)

3)

4)

 

Задание 6.

Отметить равенство, выражающее основное понятие средней:

1)

2)

3)

4)

 

Задание 7.

Овощей реализовано на 1 200 руб., фруктов на 2 000 руб. Цена 1 кг овощей 5 руб., фруктов 10 руб. Определить среднюю цену реализации продукции.

1) 7, 5 руб.; 2) 8, 1 руб.; 3) 7, 3 руб.

 

Задание 8.

Имеются данные о распределении рабочих двух предприятий по заработной плате:

Заработная плата, тыс. руб.	Уд. вес рабочих на предприятии, % к итогу
№ 1	№ 2
до 10
10-14
14-18
18 и выше
Итого

Средняя заработная плата рабочих выше:

1) на предприятии №1; 2) на предприятии №2.

Мода больше:

3) на предприятии №1; 4) на предприятии №2.

 

Задание 9.

В бригаде 7 человек, имеющих стаж работы соответственно 2, 5, 4, 6, 7, 8, 10 лет. Определить медиану по стажу работы.

1) 6; 2) 7; 3) 6, 5.

 

Задание 10.

Средний возраст трех молодых человек составляет 19 лет. Если возраст каждого увеличить на 10, то среднее значение будет:

1) 19; 2) 29; 3) 190; 4) результат неизвестен.

 

 

ТЕМА 6. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Вариацией называют отклонение индивидуальных величин друг от друга и от своей средней величины. Значение вариации состоит в том, что она учитывает индивидуальные особенности и случайные факторы, на фоне которых выявляются закономерности и различия при одинаковых средних.

Для оценки вариации используются следующие показатели.

1. Размах вариации. Это разница между крайними значениями признака в совокупности.

(6.1)

Простота расчета этого показателя обуславливает его широкое приме­нение на практике, но недостатком является охват только крайних значе­ний, т.е. внутренняя вариация не учитывается.

2. Среднее линейное отклонение. Это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений индивидуальных величин от средних. Среднее линейное отклонение полнее характеризует колеблемость признака.

для несгруппированных данных (6.2)

для сгруппированных данных. (6.3)

3. Дисперсия. Дисперсией называют средний квадрат отклонений вариант от их средней величины. Дисперсия учитывает всякую направленность отклоне­ний, чаще всего используется для оценки надежности средней: чем меньше дисперсия, тем средняя надежнее.

Для несгруппированных значений (6.4)

 

Для сгруппированных значений (6.5)

При необходимости расчет дисперсии можно осуществлять не по основной формуле, а упрощенным способам. Дисперсию можно рассчитать как разность между средней квадрата и квадратом средней.

для несгруппированных данных; (6.6)

для сгруппированных данных (6.7)

 

4. Среднее квадратическое отклонение. Представляет собой среднее квадратическое отклонение значений признака от их средней величины. Исчисляется как корень квадратный из дисперсии:

(6.8)

Достоинства те же, что у дисперсии, но в отличие от нее приобретает единицы измерения и легко интерпретируется.

4. Коэффициент вариации. Это относительный показатель отклонений, выражается, как правило, в %. Чаще всего определяется отношением среднего квадратического откло­нения к средней величине.

(6.9)

Этот показатель пригоден для сравнений вариаций различных призна­ков по одной или разным совокупностям, по его величине судят о харак­тере однородности совокупности: при коэффициенте вариации меньше 33% можно сделать вывод, что совокупность однородна.

В тех случаях, когда исследователя интересует не значение признака, а его наличие или отсутствие (альтернативная вариация), имеется лишь два взаимоисключающих друг друга варианта. Обозначим наличие признака через единицу, а его отсутствие через нуль, соответственно долю единиц, обладающих признаком, обозначим через , а долю единиц, не обладающих этим признаком через . Рассчитаем среднее значение альтернативного признака и его дисперсию, подставив принятые обозначения в формулы средней и дисперсии. Таким образом, получаем, что дисперсия альтернативного признака (дисперсия доли) - это произведение доли единиц, обладающих признаком на долю единиц, не обладающих этим признаком:

. (6.10)

Вариацию можно проследить не только по всей совокупности, но и по отдельным группам этой совокупности, а также между группами. Таким образом, можно исчислить три дисперсии.

1) Общая дисперсия. Характеризует степень отклонения индивидуальных величин от общей средней по всей совокупности.

, (6.11)

где

- средняя по всей совокупности (общая средняя).

2) Средняя групповая дисперсия. Характеризует среднюю степень колеблемости индивидуальных величин внутри группы от групповых средних. Она исчисляется по методу средней арифметической из внутригрупповых дисперсий.

, (6.12)

где

- внутригрупповая дисперсия: (6.13)

- численность или доля каждой группы;

- средняя по каждой группе (внутригрупповая средняя).

 

3) Межгрупповая дисперсия. Характеризует степень колеблемости групповых средних от общей средней.

(6.14)

Эти три дисперсии взаимосвязаны в правило сложения дисперсий.

(6.15)

Для дальнейшей характеристики меры разброса значений признака, используются показатели асимметрии и эксцесса.

Коэффициент асимметрии рассчитывается по формуле:

(6.16)

где

- среднее квадратическое отклонение;

- момент третьего порядка, исчисляется:

для негруппированных данных (6.17)

для сгруппированных данных (6.18)

 

Английский статистик К.Пирсон предложил другой показатель асим­метрии распределения:

(6.19)

где

- среднее значение признака;

- модальное значение признака.

Если значение коэффициента асимметрии равно нулю, то распределение симметрично относительно собственной ­оси. В этом случае значения средней, моды и медианы совпадают. Если значение коэффициента положительно, то распределение смещено влево относительно собственной оси. В этом случае среднее значение признака превышает модальное. Если значение коэффициента асимметрии отрица­тельно, то распределение смещено вправо, а среднее значение признака меньше модального.

Показатель асимметрии по Пирсону зависит более от степени асим­метрии в средней части ряда распределения, а показатель асимметрии, ос­нованный на моменте третьего порядка – от асимметрии крайних значений признака.

С помощью момента четвертого порядка характеризуется свойство ря­дов распределения, называемое эксцессом. Эксцесс интерпретируется как «крутизна» распределения. Коэффициент эксцесса исчисляется следую­щим образом:

, (6.20)

где

- момент четвертого порядка, исчисляется:

для негруппированных данных (6.21)

для сгруппированных данных (6.22)

Термин эксцесс («излишество») применяется по сравнению с нормаль­ным распределением. Таким образом, если значение коэффициента экс­цесса больше нуля, то распределение можно характеризовать как более «крутое», с выраженным слабо варьирующим «ядром». Если значение ко­эффициента отрицательное, то распределение имеет более пологую форму по сравнению с нормальным распределением.

 

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ПО РАЗДЕЛАМ, ТЕМАМ
2. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ
3. III. КУЛЬТУРА КАК СИСТЕМА ЦЕННОСТЕЙ
4. III. Тема: Последний император
5. IV. КУЛЬТУРА КАК ЗНАКОВО–СИМВОЛИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
6. V. Понятия моделирующая система и вторичная моделирующая система
7. V2: Тема 7.1 Обзор строения головного мозга. Основание головного мозга. Выход черепных нервов (ЧН). Стадии развития. Продолговатый мозг, мост.
8. V2: Тема 7.2 Ромбовидная ямка. Мозжечок.
9. V2: Тема 7.3 Средний мозг. Промежуточный мозг.
10. V2: Тема 7.5 Плащ. Центры первой и второй сигнальных систем. Функциональные системы головного мозга.
11. XI. Учебно-теоретическая конференция. Тема 11. Расследование деяний, совершаемых лицами с дефектами психики и организованными преступными группами
12. XVIII. Семинар. Тема 23 и 24. Судебные прения. Последнее слово подсудимого. Приговор.