Расчет параметров уравнения линейной множественной регрессии и их интерпретация.

ОТВЕТ

Параметры уравнения линейной множественной регрессии: Y’=a+b1·X1+b2·X2+...+bm·Xm (*) можно определить:

- методом наименьших квадратов, решив систему нормальных линейных уравнений:

(для решения данной системы можно воспользоваться, например, метод Гаусса (определителей));

- через b-коэффициенты (параметры уравнения регрессии в стандартных масштабах):

, j=1; m; .

Коэффициент регрессии bj при факторе Хj в уравнении (*)называют условно-чистым коэффициентом регрессии. Он измеряет среднее по совокупности отклонение признака-результата от его средней величины при отклонении признака-фактора Хj на единицу, при условии, что все прочие факторы модели не изменяются (зафиксированы на своих среднихуровнях).

Если не делать предположения о значениях прочих факторов, входящих в модель, то это означает, что каждый из них при изменении Хj может также изменяться (т.к. факторы (пусть и несильно) связаны между собой). Изменение прочих факторов модели вызовет изменение признака-результата. Таким образом, изменение признака-результата будет обусловлено изменением всех факторов модели, а не только интересующего нас фактора Х_j.

ВОПРОС 45

Коэффициенты множественной детерминации и корреляции..

ОТВЕТ

Коэффициенты множественной детерминации и корреляциихарактеризуют совместное влияние всех факторов на результат. Кроме того, они используются как показатели качества уравнения множественной регрессии.

Коэффициент множественной детерминации – это теоретический коэффициент детерминации - R²_y₍_x_1,...,_xm₎ для случая множественной регрессии. По аналогии с парной линейной регрессией он определяется, как отношение дисперсии признака-результата, объясненной уравнением множественной регрессии - d², к общей дисперсии признака-результата - s²_y. Область допустимых значений R²_{y(x1,..., xm)} от нуля до единицы. Данный показатель характеризует долю вариации признака-результата, объясненную уравнением регрессии (а, следовательно, и факторами включенными в данное уравнение), в общей вариации признака-результата.

Для линейного уравнения регрессии данный показатель может быть рассчитан через b-коэффициенты, как:

Коэффициент множественной корреляции - R_y₍_x_1,...,_xm₎ рассчитывается как корень из коэффициента множественной детерминации: .

Данный показатель аналогичен линейному парному коэффициенту корреляции - r_{x, y}, используемому в парном регрессионном анализе. Но в отличие от него R_y₍_x_1,...,_xm₎ может принимать значения только от нуля до единицы, следовательно, не может служить характеристикой направления связи. Чем плотнее фактические значения Y_i располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина R_y₍_x_1,...,_xm₎. Таким образом, при значении R_y₍_x_1,...,_xm₎ близкомк единице уравнение регрессии лучше описывает фактические данные, и факторы сильнее влияют на результат; при значении R_y₍_x_1,...,_xm₎ близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

ВОПРОС 46

Основные понятия теории индексов. Интерпретация индексов с точки зрения синтетической и аналитической теорий индексов.

ОТВЕТ

Название индекс происходит от латинского слова index – указатель, показатель.

Индекс это относительный показатель, характеризующий изменение величины простого или сложного явления во времени, в пространстве или по сравнению с любым эталоном (нормативом, планом, прогнозом).

Сложные явления - явления, состоящие из разнородных непосредственно несоизмеримых (несопоставимых) элементов. Простое явление состоит только из однородных элементов.

Рассмотрим пример сложного явления. Предприятие выпускает несколько видов продукции разного качества: стиральные машины, пылесосы, микроволновые печи. Объемы производства в натуральном выражении по отдельным видам продукции непосредственно несопоставимы. 50тыс. стиральных машин это не одно и то же, что 50 тыс. пылесосов или 50 тыс. микроволновых печей.

Показатель, изменение которого характеризует индекс, называется индексируемой величиной. Так в индексе цен индексируемой величиной является цена, в индексе физического объема индексируемой величиной является физический объем (объем выпуска в натуральном выражении).

Каждый индекс включает два вида данных:

- данные текущего уровня, уровня который сравнивается, обозначаемые добавлением «1» к символу соответствующего показателя;

- данные базисного уровня, уровня с которым происходит сравнение, обозначаемые добавлением «0» к символу соответствующего показателя.

В развитии индексной теории у нас в стране сложилось два направления: обобщающее (синтетическое) и аналитическое. Различие между этими направлениями обусловлено, прежде всего, различной интерпретацией индексов.

Общающее (синтетическое) направление трактует индекс как показатель среднего изменения уровня изучаемого явления, или как изменения уровня в целом по совокупности элементов.

Аналитическая теория трактует индексы, как показатели изменения уровня результативного показателя под влиянием изменения индексируемой величины (играющей роль фактора).

Результативный показатель - это более сложный (общий) показатель, в который индексируемая величина входит как фактор.

Так, величина индекса цен продукции, равная 1, 15, может быть истолкована в обобщающем значении как величина, указывающая на то, что цены на продукцию возросли в целом (в среднем) на 15% или в 1, 15 раза. В аналитическом значении данный индекс показывает, что в связи с изменением цен (индексируемой величины) стоимость продукции (результативный показатель) увеличилась на 15%.

ВОПРОС 47

Виды индексов.

ОТВЕТ

Индексы, характеризующие изменение явления во времени представляют собой индексы динамики; индексы, характеризующие изменение явления в пространстве – территориальные индексы, индексы, характеризующие изменение явления по сравнению с эталоном - индексы выполнения плана.

Индексы объемных и качественных показателей.

Объемные индексы служат для измерения изменения объемных показателей. Объемные показатели выражаются абсолютными величинами (например, объем выпуска продукции, численность работающих).

Качественные индексы служат для измерения изменения качественных показателей. Качественный показатель определяется в расчете на количественную единицу. Примером таких показателей могут служить: цена, себестоимость единицы продукции, трудоемкость единицы продукции, производительность труда и т.п.

По степени охвата элементов явления индексы делятся на индивидуальные и сводные индексы.

Индивидуальный индекс характеризует изменение отдельных элементов, входящих в состав сложного явления. Например, изменение объема выпуска телевизоров определенной марки, рост или падение цен на акции в некотором акционерном обществе и т.д. Индивидуальные индексы обозначаются i и снабжаются подстрочным знаком индексируемого показателя: i_q - индивидуальный индекс физического объема определенного вида продукции, i_p – индивидуальный индекс цен на определенный вид продукции и т.д.

Индивидуальные индексы рассчитываются как отношение текущего уровня индексируемой величины к базисному уровню индексируемой величины: .

Например: i_p =p¹/p⁰ - индивидуальный индекс цен, где p¹, p⁰ - цены единицы продукции текущего и базисного уровня; i_q =q¹/q⁰ - индивидуальный индекс физического объема продукции.

Сводный (общий) индекс характеризует изменение всех элементов сложного явления. Например, изменение физического объема продукции по предприятия в целом (предприятие выпускает разнокачественные товары); изменение цены по группе товаров (группа включает разнородные товары) и т.д.

Если индексы охватывают не все элементы явления, а лишь часть, то их называют групповыми или субиндексами (например, индексы продукции по отдельным отраслям промышленности).

Статистика применяет, главным образом, сводные и групповые индексы, которые и составляют особый прием исследования, именуемый индексным методом.

Сводный индекс обозначается буквой I и также сопровождается подстрочным знаком индексируемого показателя: например, Ip - сводный индекс цен; Iz - сводный индекс себестоимости.

Методика расчета сводных индексов сложнее, чем индивидуальных. Любые сводные индексы могут быть построены двумя способами: как агрегатные и как средние из индивидуальных.

ВОПРОС 48

Агрегатные индексы – основная форма индексов.

ОТВЕТ

Агрегатный индекс является основной формой индекса. «Агрегатным» он называется потому, что его числитель и знаменатель представляют собой набор – «агрегат» (от латинского aggregatus – складываемый, суммируемый) разнородных (т.е. непосредственно несопоставимых) элементов. Агрегатный индекс строится, как отношение сумм произведений двух величин: 1) индексируемой величины, 2) показателя-соизмерителя (веса индекса). Произведение индексируемой величины на вес индекса дает результативный показатель. Формула агрегатного индекса в общем виде:

где Х¹_j – сравниваемое (текущее) значение индексируемой величины у j-ого элемента, j=1; J,

Х⁰_j – базисное значение индексируемой величины у j–ого элемента;

w_j – показатель-соизмеритель (вес индекса) для j–ого элемента.

j – номер элемента, совокупность которых образует сложное явление (j=1; J).

Xj·wj – результативный показатель для j–ого элемента;

J- всего элементов в совокупности.

Весом индекса может быть показатель, относящийся к текущему, либо к базисному уровню.

Если в качестве весов брать значения признака-веса базисного уровня (w⁰), то формула агрегатного индекса примет вид:

Ее называют агрегатной формой индекса Ласпейреса (по имени ученого Э.Ласпейреса, предложившего ее впервые в 1864 г.).

Если в качестве весов брать значения признака-веса текущего уровня, то формула агрегатного индекса примет вид:

Ее называют агрегатной формой индекса Пааше (по имени ученого Г.Пааше, предложившего ее впервые в в 1874 г.).

Проблема выбора весов индексирования.

В качестве веса индексирования при построении индекса объемного показателя выступает качественный показатель. Рассмотрим построение агрегатного индекса физического объема. В данном весом индексирования может быть либо p- цена, либо z-себестоимость, либо t-трудоемкость единицы продукции и т.п. Эти «соизмерители» дадут соответственно результативные показатели: стоимости, общих затрат, затрат времени на производство продукции.

Если принять в качестве соизмерителя цену базисного периода (р⁰), то получим индекс физического объема Ласпейреса: .

Если принять в качестве соизмерителя цену отчетного периода (р¹), то получим индекс физического объема Пааше: .

Весом индексирования при построении индекса качественного показателя выступает объемный показатель. Рассмотрим построение агрегатного индекса цены за единицу продукции. В этом случае весом индекса будет физический объем выпуска - q. Результативный показателем при этом будет общая стоимость произведенной продукции.

Формула агрегатного индекса цен Ласпейреса:

Формула агрегатного индекса цен Пааше: .

Сводные индексы результативных показателей представляют собой отношение суммы результативных показателей текущего уровня к сумме результативных показателей базисного уровня. Если результативный показатель обозначить через f_j=xj·wj, то его индекс будет: .

Например, сводный индекс стоимости (I_s) (стоимость равна произведению физического объема выпуска на цену: s=q·p) строится как отношение суммарной стоимости текущего уровня к суммарной стоимости базисного уровня: .

Этот индекс показывает во сколько раз в среднем по совокупности возросла (уменьшилась) стоимость, текущего уровня по сравнению с базисным.

Значения агрегатных индексов, рассчитанные по формулам Ласпейреса и Пааше, редко совпадают. Для получения обобщенного показателя агрегатного индекса, дающего однозначное решение возможно:

1) Построить общий индекс на средних весах: .

2) Построить общий индекс как среднее геометрическое из индексов Ласпейреса и Пааше: .

Этот способ предложил Фишер и назвал данную формулу «идеальным индексом».

3) Выбрать (предпочти) какой-то один вариант построения взаимосвязанных индексов. Данный подход был избран отечественной статистикой, в которой изменение объемных показателей измеряется по формуле Ласпейреса, а изменение качественных показателей – по формуле Пааше. То есть сводный индекс физического объема (I_q) рассчитывают по формуле Ласпейреса, а сводный индекс цены (I_p) по формуле Пааше.

ВОПРОС 49

Средние (арифметические и гармонические) индексы на основе индивидуальных индексов. Их связь с агрегатными индексами.

ОТВЕТ

Сводный индекс может быть построен, как среднее взвешенное арифметическое или гармоническое из индивидуальных индексов. Это особенно важно тогда, когда данных для построения агрегатного индекса недостаточно. При этом значение среднего индекса должно совпадать со значением агрегатного индекса (Ласпейреса или Пааше). Весами усреднения выступают результативные показатели (либо базисного, либо текущего уровня).

Метод усреднения зависит от имеющейся в нашем распоряжении информации.

Если имеются данные об индивидуальных индексах (i_xj, j=1; J) и о значении результативного показателя базисного уровня (f⁰_j=x⁰_j·w⁰_j, j=1; J), то сводный индекс рассчитываем как среднее арифметическое взвешенное с весами равными данному результативному показателю. Такой индекс тождественен агрегатной форме индекса Ласпейреса:

Например, если даны индивидуальные индексы физического объема различных видов разнородной продукции (i_q₁, i_q₂,..., i_qJ), и стоимости базисного периода – p⁰_j·q⁰_j, j=1; J, то агрегатный индекс физического объема для этого набора продукции будет определен как среднее арифметическое с весами усреднения p⁰_j·q⁰_j :

Если имеются данные об индивидуальных индексах (i_xj, j=1; J) и о значении результативного показателя текущего уровня – (f¹_j=x¹_j·w¹_j, j=1; J), то сводный индекс рассчитываем как среднее гармоническое взвешенное с весами равными данному результативному показателю. Такой индекс тождественен агрегатной форме индекса Пааше:

Например, если даны индивидуальные индексы цен различных видов разнородной продукции (i_p₁, i_p₂,..., i_pJ) и стоимости текущего периода - p¹_j ·q¹_j, j=1; J, то агрегатный индекс цен для этого набора продукции будет определен как среднее гармоническое с весами усреднения p¹_j ·q¹_j:

Замечание: в качестве весов могут использоваться не только абсолютные значения результативного показателя, но и относительные - доли, проценты. Например, доля стоимости отдельного вида продукции в общей (суммарной) стоимости продукции предприятия.

ВОПРОС 50

Индексный метод анализа факторов в изменении сложного явления.

ОТВЕТ

Некоторые социально-экономические показатели находятся между собой в определенной (функциональной) связи, например, в виде произведения (либо отношения). В таком же соотношении должны находиться и статистические показатели, характеризующие изменение исходных социально-экономических показателей (т.е. индексы).

Если Z=X·Y, то Iz=Ix·Iy

Данное соотношение между индексами осуществимо, если веса индексирования для Ix и Iy берутся за разные периоды времени (или относятся к разным объектам), т.е. один из индексов должен быть построен по формуле Ласпейреса, а другой - по формуле Пааше: .

Например, общая стоимость продукции равна произведению цены за единицу продукции на физический объем выпуска: S=p·q. Тогда сводный индекс стоимости должен быть равен произведению сводного индекса цен на сводный индекс физического объема. Чтобы выполнялось данное условие необходимо, чтобы веса при построении индексов цен и физического объема относились к разным уровням. Обычно индекс цен вычисляется по формуле Пааше, а индекс физического объема по формуле Ласпейреса.

I_s=I^п_p·I^л_q = .

Индексный метод позволяет также представить абсолютное изменение результативного показателя (Dz), как результат влияния различных факторов (входящих в формулу его расчета).

Общее абсолютное изменение результативного показателя текущего уровня по сравнению с базисным определяется как разница между числителем и знаменателем в формуле сводного индекса данного результативного показателя:

Dz= .

Оно может быть разложено на составляющие: абсолютные изменения за счет отдельных факторов, входящих в его расчетную формулу (Dz^x, Dz^y).

Dz^x= ;

Dz^y= ;

Dz=Dz^x+Dz^y.

Например, абсолютный прирост стоимости продукции может быть представлен как: Ds= .

И разложен на:

1) абсолютный прирост стоимости за счет изменения цен:

D^ps= .

2) абсолютный прирост стоимости за счет изменения количества выпускаемой продукции: D^qs= .

Общее абсолютное изменение стоимости продукции равно алгебраической сумме изменений за счет каждого из факторов: Ds=D^ps+D^qs.

ВОПРОС 51

Индексы среднего уровня, постоянного и переменного состава, структурного сдвига.

ОТВЕТ

Индексы позволяют анализировать изменения не только агрегатов, но и их средних величин с помощью индексов переменного и постоянного состава и структурного сдвига. Если индексируемую величину обозначить через Х, а веса усреднения через f, то индекс средней величины можно записать так:

Данный индекс называют еще индексом переменного состава (Iпс), т.к. он характеризует изменение средней величины и за счет изменения значений усредняемого показателя Х и за счет изменения весов усреднения (т.е. структуры совокупности).

Если при расчете индекса средних величин использовать веса усреднения одного и того же уровня (либо текущего -f¹, либо базисного - f⁰), то влияние изменения структурного фактора на изменение средней величины будет устранено. Такой индекс называют индексом фиксированного (постоянного) состава – Iфс:

I_фспредставляет собой агрегатный индекс показателя Х. Он характеризует изменение только самого усредняемого признака при постоянстве структуры совокупности.

Если при расчете индекса средних величин использовать значения усредняемого признака Х одного и того же уровня (либо текущего - Х¹, либо базисного - Х⁰), то на изменение средних будет оказывать влияние только изменение весов, т.е. структуры совокупности. Этот индекс условно называют индексом структуры (или индексом структурного сдвига):

Индекс структуры показывает, в какой степени изменение средней величины индексируемого показателя произошло за счет изменения структуры (состава) совокупности.

Между индексами средней величины существует следующая взаимосвязь: I_п.с.=I_ф.с.·I_{стр.сдв.}

ВОПРОС 52

Понятие ряда динамики, его элементы. Виды рядов динамики.. Проблема сопоставимости рядов динамики.

ОТВЕТ

Данные, используемые в статистическом исследовании, могут быть 2-ух типов:

- пространственные статистические совокупности;

- временные статистические совокупности (временные ряды).

Временной ряд (time series), или ряд динамики – расположенные в хронологической последовательности числовые значения показателя (показателей), характеризующие изменение явления во времени. В каждом ряду динамики имеются 2 основных элемента:

1) Время (t) – это моменты или периоды времени, к которым относятся числовые значения показателя (показателей).

2) Уровень ряда (Y) – это числовое значение показателя, относящееся к определенному моменту или периоду времени.

Оформляется ряд динамики в виде таблицы.

t₀	t₁	...	t_N
Y₀	Y₁	...	Y_N

Длина ряда динамики определяется числом уровней (периодов или моментов времени). Длина приведенного выше ряда равна (N+1).

Виды рядов динамики.

· По виду показателя, являющегося уровнем динамического ряда, выделяют: ряды из абсолютных, средних или относительных показателей. Примером ряда из абсолютных показателей может служить временной ряд объемов выпуска продукции предприятием в стоимостном выражении. Средними величинами могут выражаться уровни, характеризующие динамику средней реальной заработной платы в промышленности. Относительными величинами характеризуется динамика доли городского и сельского населения.

· По времени, отраженному в динамических рядах, динамические ряды разделяются на моментные и интервальные (периодические):

Моментным называется ряд динамики, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные даты (моменты) времени. Уровни такого ряда показывают фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент времени. Примером моментного ряда могут служить данные о численности населения Российской Федерации на конец года.

Численность постоянного населения РФ (на конец года), млн.чел.


130, 6	138, 8	148, 2	148, 3	148, 0	147, 9	147, 6

Поскольку в каждом последовательном уровне содержится полностью или частично значение предыдущего уровня, суммировать уровни моментного ряда не следует, т.к. это приводит к повторному счету.

Интервальным (периодическим) рядом называется ряд динамики, уровни которого характеризуют размер явления за конкретный период времени (год, месяц и т.п.). Уровни такого ряда динамики относятся к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный период времени. Примером такого ряда могут служить данные о динамике добыче нефти в России:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 Следующая ⇒