Область допустимых значений у Кр и Тр от нуля до плюс бесконечности.

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10

· Темп прироста – Тпр_i показывает, на сколько процентов уровень текущего периода (момента) времени больше (или меньше) базисного уровня. Базисный темп прироста равен:

Tпр^б_i= .

Цепной темп прироста равен:

Tпр^ц_i= .

Область допустимых значений Тпр от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Если уровень ряда принимает разнознаковые значения (например, результат деятельности предприятия – прибыль (убыток)), то применять Кр, Тр и Тпр нельзя, т.к. теряется смысл этих относительных показателей.

· Абсолютное значение одного процента прироста – A_i рассчитывается как отношение абсолютного цепного прироста к цепному темпу прироста за тот же период времени:

Используется для правильной оценки значения полученного темпа прироста. А_i показывает какое абсолютное значение скрывается за относительным показателем 1% прироста.

· Пункты роста – Р_i применяются, когда сравнение производится с достаточно отдаленным периодом времени. Пункт роста представляет собой разность базисных темпов роста (прироста) смежных периодов. В отличие от темпов прироста, которые нельзя ни складывать, ни умножать, пункты роста можно складывать, в результате чего получим базовый темп прироста последнего периода.

P_i=Tp^б_i-Tp^б_i_-1= .

=Тпр^б_N.

ВОПРОС 54

Средние характеристики ряда динамики.

ОТВЕТ

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяют средние показатели динамики: средний уровень ряда и средние показатели изменения уровней ряда.

Метод расчета среднего уровня ряда динамики зависит от вида временного ряда.

Для интервального рядасредний уровеньрассчитывается по формуле простого среднего арифметического: (для ряда Y₀, Y₁, ..., Y_N).

Средний уровень моментного ряда определяется по формуле среднего хронологического. Для моментных рядов с равноотстоящими уровнями средний уровень моментного ряда будет равен простому среднему хронологическому:

где (Y₀+Y₁)/2 - средний уровень за период времени между моментами t₀и t₁; (Y₁+Y₂)/2 – средний уровень за период между моментами t₁и t₂ и т.д.

Средний уровень ряда за весь рассматриваемый промежуток времени (t0-tN) определяется как простое среднее арифметическое из средних, исчисленных за отдельные периоды между датами (всего их будет N).

Средний уровень моментного ряда с неравноотстоящими уровнями определяется по формуле среднего хронологического взвешенного c весами (T_i) равными продолжительность промежутков времени между моментами i и (i+1):

При определении средних уровней временного ряда нужно иметь в виду, что средняя будет достаточно надежной характеристикой ряда динамики, если она характеризует период с более или менее стабильными уровнями развития. Если же за исследуемый период можно выделить этапы, в течение которых условия развития существенно менялись, то пользоваться общей средней не всегда целесообразно, а предпочтение нужно отдать средним, рассчитанным по отдельным этапам.

Средние показатели изменения уровней ряда рассчитываются усреднением цепных показателей динамики.

1) Средний абсолютный прирост (убыль) рассчитывается как простая средняя арифметическая из показателей абсолютных цепных приростов:

Значение среднего абсолютного прироста показывает насколько в среднем изменяется уровень ряда за единичный промежуток времени.

2) Средний относительный прирост (коэффициент роста) вычисляется по формуле среднего геометрического из показателей цепных коэффициентов роста и показывает во сколько раз в среднем изменяется уровень ряда за единичный промежуток времени.

3) Средний темп роста представляет собой средний относительный прирост (коэффициент роста), выраженный в процентах: .

4) Средний темп прироста показывает на сколько процентов в среднем за единичный промежуток времени изменяется уровень ряда. Рассчитывается он на основе среднего темпа роста, вычитанием из последнего 100%:

Если уровни ряда динамики снижаются, то средний темп роста будет меньше 100%, а средний темп прироста будет отрицательной величиной.

Для практического применения средний темп роста, рассчитанный по данным о конечном и начальном уровнях временного ряда, можно использовать только в случае более или менее равномерного изменения уровней. В случае сильной колеблемости уровней ряда использование средней геометрической может дать искаженное выражение средней интенсивности изменения их уровней. В таких случаях предлагается средний коэффициент роста рассчитывать как параболический средний темп роста, или средний геометрический темп роста ряда, выровненного по показательной функции и т.д.

ВОПРОС 55

Анализ закономерностей изменения уровней ряда динамики..

ОТВЕТ

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества факторов, различных по характеру и силе воздействия:

1) Факторов эволюционного характера, которые оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики основную тенденцию. Более или менее гладкая траектория, используемая для описания основной тенденции, называется трендом. Отклонения от тренда представляют колебания уровней динамического ряда.

2) Факторов осциллятивного характера, воздействие которых периодическое. Влияние факторов осциллятивного характера вызывает циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания. Сезонные колебания – периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период равный годовому промежутку.

3) Факторов нерегулярного воздействия, вызывающие нерегулярные колебания, которые делятся на: а) спорадически наступающие изменения, вызванные, например, войной, экологической катастрофой; б) случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа относительно слабых второстепенных факторов.

Таким образом, можно выделить 4 основные компоненты в уровне ряда динамики: Т- тренд; К – циклические или конъюнктурные колебания; S- сезонные колебания; Е- случайные колебания. Тогда уровень ряда можно представить как функцию от этих компонент: Y=f(T, K, S, E).

В зависимости от взаимосвязи между этими компонентами может быть построена либо аддитивная модель: Y=T+K+S+E, либо мультипликативная модель: Y=T·K·S·E ряда динамики.

ВОПРОС 56

Выравнивание ряда динамики. Методы механического выравнивания.

ОТВЕТ

Выявление основной тенденции развития (основной закономерности изменения уровней ряда) называется в статистике выравниванием временного ряда, а методы выявления основной тенденции – методами выравнивания. При этом предполагается, что через время можно выразить влияние всех основных факторов на уровень ряда.

Методы выравнивания делятся на механические (без использования количественной модели) и аналитические (с использованием аналитической модели).

1. Методы механического (эмпирического ) выравнивания включают:

1.1) Графический способ. Подбор кривой, лучше всего описывающей основную тенденцию в изменении уровней ряда.

1.2) Укрупнение интервалов динамического ряда. Данный метод основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда (одновременно уменьшается количество интервалов). Для каждого образованного таким образом периода рассчитывается свой показатель уровня ряда: либо простым суммированием уровней первоначального ряда; либо их усреднением. При вычислении этих показателей отклонения в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимопогашаются, сглаживаются и более четко обнаруживается действие основных факторов. Сравнивая их за различные (укрупненные) интервалы времени можно выявить направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

t₀	t₁	t₂	t₃	t₄	t₅	....	t_n-2	t_n-1	t_n
Y₀	Y₁	Y₂	Y₃	Y₄	Y₅	...	Y_N-2	Y_N-1	Y_N
t₀-t₂	t₃-t₅	...	t_N-2-t_N
_0-2=(Y₀+Y₁+Y₂)/3	_3-5=(Y₃+Y₄+Y₅)/3	...	_(N-2)-N=(Y_N-2+Y_N-1+Y_N)/3

1.3) Метод скользящей средней. Для определения скользящей средней формируют укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней - (L). Каждый последующий интервал получаем, сдвигаясь на один уровень влево. Первоначальный интервал будет включать уровни Y₀, Y₁, ...Y_L второй – Y₁, Y₂, ...Y_L+1 и т.д. Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице. По сформированным укрупненным интервалам определяем среднее значение. Полученная средняя относится к середине укрупненного интервала. Поэтому при сглаживании скользящей средней технически удобнее укрупненный интервал составлять из нечетного числа уровней ряда. При использовании приема скользящей средней сглаженный ряд сокращается по сравнению с исходным рядом на число уровней, равное (L-1), т.е. происходит потрея информации. Вместе с тем, чем продолжительнее интервал сглаживания, тем сильнее усреднение, а потому выявляемая тенденция развития получается более плавной. Чаще всего интервал сглаживания берут равным 3, 5, 7 уровням.

1.4) Метод экспоненциального сглаживания.

Данный метод учитывает с помощью взвешивания степень устаревания данных. Чем «старше» наблюдение, тем оно меньше должно оказывать влияние на величину скользящей средней. Влияние прошлых наблюдений должно затухать по мере удаления от периодаа, для которого определяется средняя. Поставленная задача решается с помощью специальной системы весов, распределенных по экспоненциальному закону (веса убывают по мере удаления наблюдения в прошлое).

Экспоненциальная средняя имеет вид: (*),

Q_i – экспоненциальная средняя (сглаженное значение уровня ряда) за период i, i=1; N;

a - коэффициент, характеризующий вес текущего наблюдения при расчете экспоненциальной средней (параметр сглаживания) 0< a£ 1. (1-a) – фактор затухания.

Таким образом, экспоненциальная средняя формируется под влиянием всех предшествующих уровней ряда от его начала и до периода i включительно. Формула (*) является рекуррентной. Последовательно раскрыв в ней содержание Q_i_-1 получим:

Здесь Y₀ является уровнем ряда в начальный период времени, т.е. величиной, характеризующей некоторые начальные условия.

ВОПРОС 57

Аналитическое выравнивание динамических рядов.

ОТВЕТ

Аналитическое выравнивание – описание основной тенденции количественной моделью. Это более эффективный метод выравнивания.

При аналитическом выравнивании фактические уровни ряда динамики заменяются уровнями, вычисленными по определенной функции времени: Y^*=f(t), где Y^* - выровненные уровни ряда (вычисленные по функции времени t). Данную функцию называют трендом.

Наиболее часто используемые виды функции в аналитическом выравнивании:

· линейная Y^*=a+b·t,

где a- уровень ряда за период времени t=0;

b- средний абсолютный прирост уровня ряда за единичный промежуток времени.

· показательная Y^*=a·b^t,

где a- уровень ряда за период (в момент) времени t=0;

b- средний коэффициент роста за единичный промежуток времени.

· параболическая Y^*=a+b·t+с·t²,

где c- квадратический параметр, равный половине ускорения.

Выбор вида функции при аналитическом выравнивании.

Выбор вида функции (f) должен быть основан на содержательном анализе сущности развития данного явления. Можно опираться на результаты предыдущих исследований в данной области. На практике для этих целей прибегают к графическому изображению уровней динамического ряда (линейная диаграмма), а также к графическому изображению сглаженных уровней, в которых случайные волны и колебания в некоторой степени оказываются погашенными.

Используют также и специфический для временных данных подход - метод конечных разностей, который основан на свойствах различных кривых, применяемых при выравнивании (обязательным условием применения данного подхода является равенство интервалов между уровнями ряда).

Разностями первого порядка называются разности текущего и предыдущего уровней ряда динамики (цепной абсолютный прирост): D¹_i=Y_i-Y_i= DY^ц_i.

Разностями второго порядка называются разности между текущим и предыдущим значениями конечных разностей первого порядка: D²_i= D¹_i - D¹_i-1=Y_i-Y_i-1-(Y_i-1-Y_i-2)=Y_i-2Y_i-1+Y_i-2.

Разностями j-ого порядка называются разности между текущим и предыдущим значениями конечных разностей (j-1)–ого порядка: D^j_i= D^j-1_i - D^j-1_i-1.

Если разности первого порядка примерно приблизительно равны друг другу для всех i=1; (N-1), то общая тенденция выражается линейным уравнением Y^*=а+b·t.

Если разности второго порядка оказываются приблизительно равны между собой для всех i=1; N-2, то общая тенденция выражается параболой второго порядка: Y^*=a+b·t+c·t².

Если постоянны разности j–ого порядка, то для описания основной тенденции используют полином j–ого порядка: .

При выборе вида функции времени можно использовать и другие показатели. Например, если примерно постоянными оказываются темпы роста (коэффициенты роста), то для выравнивания применяется показательная функция: Y^*=a·b^t.

Расчет параметров уравнения тренда.

Расчет параметров при аналитическом выравнивании чаще всего производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом поиск параметров для линейного уравнения тренда можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю. То есть вводится новая условная переменная времени t^у_i, такая, что å t^у_i =0.

При нечетном числе уровней ряда динамики для получения å t^у_i=0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (значению t^у_i, соответствующему данному уровню присваивается ноль). Значения переменной времени t^у_i, расположенные левее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1 –2 –3...), а, расположенные правее этого уровня – натуральными числами со знаком плюс (+1, +2, +3...). Например:

T_i
t^у_i	-3	-2	-1
Y_i

Если число уровней ряда четное, условные переменные времени левой половины ряда (до середины) нумеруются: –1, -3, -5..., а, правой половины: +1, +3, +5 и.т.д. При этом å t^у_i будет равна 0. Например:

T
t^у_i	-5	-3	-1
Y

Система нормальных уравнений (соответствующих МНК) преобразуется к виду:

Отсюда параметры уравнения рассчитываются по формулам:

! Данный подход можно использовать, если уровни ряда - равноотстоящие.

ВОПРОС 58

Анализ сезонных колебаний.

ОТВЕТ

Динамический ряд с сезонными колебаниями называют сезонным рядом.

Для измерения сезонных колебаний статистикой предложены следующие методы: а) метод абсолютных разностей; б) метод относительных разностей; в) построение индексов сезонности. Эти методы предполагают, что данные приведены не менее чем за три года.

Пусть имеется сезонный ряд динамики Y_ij, где i – номер сезона (i=1; I, I –число сезонов в году); j- номер года (j=1; m, m- число лет в ряде динамики):

1 год сезоны:

...

j год сезоны:

...

m год сезоны:

...

Y₁₁

...

Y_i1

...

Y_I1

...

Y_1j

...

Y_ij

...

Y_Ij

...

Y_1m

...

Y_im

...

Y_Im

Ряд содержит I·m уровней.

Метод абсолютных разностей предполагает определение для каждого сезона (месяца, квартала, декады) средней разности между фактическим (Y_ij) и выровненным (аналитическим или эмпирическим способом) (Y^*_ij) уровнями: Sa[i]=å _j=1^m(Y_ij-Y^*_ij)/m, где i – номер сезона (i=1; I); j – номер года; m- число лет, за которые приведены данные в динамическом ряду. Учитывают сезонность прибавлением i-ого абсолютного отклонения к выровненному уровню, относящемуся к i-ой единице времени внутри года.

Метод относительных отклонений предполагает определение для каждого сезона средней относительной разности между фактическим (Y_ij) и выровненным (аналитическим или эмпирическим способом) (Y^*_ij) уровнями: Sо[i]=1/m·å _j₌₁^m((Y_ij- Y^*_ij )/ Y^*_ij ). Учитывают сезонность умножением выровненного уровня, относящегося к i-ому сезону, на (1+So[i]).

Индекс сезонности может быть рассчитан разными способами.

Для рядов, в которых практически отсутствует повышающийся или понижающийся тренд, i-ый индекс сезонности может быть рассчитан как отношение среднего уровня, соответствующего i-ому сезону, к общему среднему уровню ряда динамики: Is[i]= , где i- номер сезона; I·m – число элементов в ряду динамики.

Для рядов динамики с ярко выраженной основной тенденцией, индекс сезонности для i-ого сезона определяется как среднее отношение фактического уровня к выровненному (относящихся к i-ому сезону):

Is[i]=1/m·å (Y_ij/Y^*_ij).

Учитывается сезонность умножением i-ого индекса сезонности на выровненный уровень, относящийся к i-ому сезону.

Рассмотрим измерение сезонных колебаний на примере. Пусть за последние 12 кварталов товарооборот некоторого предприятия с учетом инфляции составил:

Год

Квартал

Товарооборот (млн.руб.)

В предположении существования аддитивной модели временного ряда определим значение показателя сезонности для каждого квартала.

При построении аддитивной модели: Y=T+S в качестве показателей сезонности (S) используют абсолютные разности Sa[i].

Для нашего примера число лет m=3; число сезонов I=4; число элементов ряда 12. Выровняем исходный ряд динамики методом скользящей средней, т.е. найдем значения Y^*. При этом возьмем период усреднения равный 3.

Y^*₂=(12+18+22)/3=17, 3. Y^*₃=(18+22+17)/3=19 и т.д. Результаты выравнивания представлены в таблице:

Кв.(i)
t
Y
Y^*	-	17, 3		23, 7	32, 7		41, 3	43, 3	-
Y-Y^*	-	0, 7	-3	-2, 7	-2, 7	-1	1, 7	2, 7	-

Рассчитаем абсолютные разности для каждого квартала (i) как средние из разностей Y-Y^* (5 строчка в таблице):

S[1]=(-2, 7+(-1))/2= -1, 85;

S[2]=(0, 7+4+1, 7)/3=2, 13;

S[3]=(3+1+2, 7)/3 =2, 23;

S[4]=(-3+(-2, 7))/2=-2, 85.

Для наглядного представления сезонных колебаний (сезонной волны) исчисленные показатели сезонности могут изображаться графически в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладываются номера единиц времени внутри года. По оси ординат – значение показателя сезонности. Для удобства анализа относительных показателей сезонности проводят прямую параллельную оси абсцисс, проходящую через уровень равный:

- единице для показателя индекса сезонности;

- нулю для показателя абсолютной разности.

Для рассмотренного выше примера построим график сезонной волны (рис.16).

Рис. 16. График сезонной волны.

Сезонная компонента может быть использована для исключения влияния сезонных колебаний при построении тренда. Тогда из фактических уровней исключаются сезонные составляющие (вычитанием Sa, либо делением на Is). По скорректированным таким образом данным строится уравнение тренда. Затем полученные аналитическим выравниванием уровни опять корректируются на сезонную составляющую (прибавлением Sa, либо умножением на Is).

ВОПРОС 59

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910