II. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Понятие об особых решениях.

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородное уравнение.

Линейное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли и в полных дифференциалах.

III. Числовые ряды

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.

Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

IV. Функциональные ряды

Основные понятия. Область сходимости.

Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

V. Степенные ряды

Теорема Абеля. Свойства степенных рядов.

Разложение функций в степенные ряды.

Ряды Тейлора и Маклорена.

Применение рядов к приближенным вычислениям.

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ

Тематика практических занятий

1. Интегральное исчисление функции одной переменной
(080505 – 6 часов, 280202 – 6 часов).

2. Дифференциальные уравнения I порядка (080505 – 4 часа,
280202 – 6 часов).

3. Числовые ряды и функциональные ряды степенные ряды
(280202 – 6 часов, 080505 – 6 часов).

Контрольные работы

Общие методические указания

Студент выполняет контрольную работу по варианту, номер которого совпадает с последними цифрами его учебного шифра. Например, если личный шифр студента 21443-14, то это значит, что в контрольной работе
№ 5 Вы должны выполнить задания 1 - 14, 2 - 14, 3 - 14 и т. д.

Если последние цифры шифра превосходят число 20, следует вычесть число, кратное 20. Например, 5311/26, соответствует вариант № 6, полученный при вычитании или шифру 5311/53 соответствует
№ 13 .

Методические указания для выполнения контрольной работы № 3

Неопределенный интеграл

Определение 1. Пусть функция определена на некотором интервале и для всех существует такая функция , что . Тогда называется первообразной для на .

Например, одной из первообразных функций для функции будет . Первообразная не единственна, т. к. = + = , = , а поэтому , также являются первообразными для .

Теорема.Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на интервале , отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое, т.е. если и – некоторые первообразные, т. е. = и = то – .

Следствие. Прибавляя к какой-либо первообразной для данной функции , определенной на промежутке , всевозможные постоянные , мы получим все первообразные для функции .

Определение 2. Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

При этом называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования.

Согласно определению неопределенного интеграла можно написать:

, где , постоянная может принимать любое значение и называется произвольной постоянной.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

(1)

(2)

Замечание. В формулах (1) и (2) знаки и уничтожают друга. В этом смысле интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными математическими операциями.

Свойства линейности неопределенного интеграла.

3. , где постоянная .

4. .

5. Свойство инвариантности формул интегрирования.

Если , , то , (3)

т. е. любая формула интегрирования не изменяет свой вид, если вместо независимой переменной подставить любую дифференцируемую функцию . Поэтому таблицу интегралов от сложной функции запишем в виде:

Таблица интегралов

Полезно помнить таблицу дифференциалов:

Отметим несколько преобразований, полезных для отыскания первообразных:

1. , где ;

2. , ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

 

и вообще: . Эту формулу называют подведением множителя под знак дифференциала. Используя таблицу интегралов и эти формулы, найдем некоторые интегралы.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Д5. Применение уравнения Лагранжа
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СТАВКИ В ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЕ
3. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка и уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
4. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
5. Дифференциальные уравнения высших порядков.
6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.
7. Дифференциальные уравнения и их решение
8. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Основное уравнение гидростатики.
9. Дифференциальные уравнения электромеханической системы.
10. Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы
11. ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА