Тема 3. Аналитическая геометрия

Стр 1 из 5Следующая ⇒

1. Прямая линия на плоскости и в пространстве. Плоскость, исследование уравнения и построение в системе координат. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

2. Кривые второго порядка: парабола, эллипс, гипербола. Кривые в полярной системе координат.

Тема 4. Введение в математический анализ

1. Множества. Операции над ними. Понятие функции. Область определения, четность, периодичность, способы задания. Основные элементарные функции.

2. Числовые последовательности. Предел и свойства сходящихся последовательностей. Число . Второй замечательный предел. Предел функции в точке и в бесконечности.

3. Бесконечно малые функции. Эквивалентные бесконечно малые, их использование при вычисление пределов. Первый замечательный предел.

4. Бесконечно большие, связь с бесконечно малыми. Раскрытие неопределенностей разных типов .

5. Непрерывные функции. Односторонние пределы. Непрерывность в точке. Точки разрыва и их классификация.

6. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Задачи, приводящие к понятию производной: задача о вычислении мгновенной скорости и задача о составлении касательной к графику функции. Определение производной. Основные правила дифференцирования. Таблица производных. Теорема о производной обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

Дифференцируемость функции. Теорема о связи непрерывной и дифференцируемой функции. Понятие дифференциала, его связь с производной. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Производные высших порядков.

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Монотонность функции, признаки убывания и возрастания функции.

Точки экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточные признаки существования экстремума.

Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Исследование функций на экстремум с помощью производных первого и второго порядков. Точки перегиба. Исследование функций на выпуклость и вогнутость.

Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ

Тематика практических занятий

1. Элементы линейной алгебры. Методы решения систем линейных уравнений (правило Крамера, метод Гаусса). Схема решения произвольной системы линейных уравнений (080505 – 2 часа, 280202 – 2 часа).

2. Элементы векторной алгебры. Понятие вектора, линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов, его свойства. Векторное и смешанное произведения векторов (080505 – 2 часа, 280202 – 2 часа).

3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве (080505 – 4 часа, 280202 – 4 часа).

4. Введение в математический анализ (080505 – 2 часа, 280202 – 4 часа). Понятие производной. Дифференцирование сложной функции, функций, заданных неявно и параметрически. (80505 – 2 часа; 280202 – 4 часа).

5. Приложения производной. Правило Лопиталя. Исследование функций и построение графиков. (080505 – 2 часа, 280202 – 4 часа).

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Общие методические указания

Студент выполняет вариант, совпадающий с двумя последними цифрами его учебного шифра. Например, согласно шифру 5311/12, студент выполняет вариант № 12. Если последние цифры шифра превосходят число 20, следует вычесть число, кратное 20. Например, 5311/26, соответствует вариант № 6, полученный при вычитании или шифру 5311/53 соответствует № 13 .

При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:

1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной (ученической) тетради, на внешней обложке указать фамилию, имя, отчество, полный шифр, номер контрольной работы.

2. Работа выполняется чернилами (не красными) с полями для замечаний рецензента.

3. Решения задач должны быть подробными, без сокращения слов. Перед решением каждой задачи должно присутствовать ее условие.

4. Задачи располагать в порядке номеров, указанных в задании, не меняя этих номеров.

Методические указания к выполнению контрольной работы № 1

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Матрицей размера называется прямоугольная таблица, в которой в специальном порядке записаны элементов :

или .

Первый индекс является номером строки, а второй индекс номером столбца, на пересечении которых в матрице стоит элемент .

Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк – ее порядком. Остальные матрицы называют прямоугольными.

Две матрицы и считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы , ( ).

Диагональ квадратной матрицы, содержащая элементы , называется главной, а диагональ, которая содержит элементы , называется – побочной.

Суммой – матриц и называется матрица размера , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и :

, ( ).

Произведением матрицы на число (действительное или комплексное) называется матрица , которая получается из матрицы умножением всех элементов на :

, ( ).

Произведением – матрицы на – матрицу называется – матрица , элемент которой равен сумме произведений соответствующих элементов ой строки матрицы и го столбца матрицы :

, ( ).

Заметим, что число столбцов матрицы должно быть равно числу строк матрицы .

По отношению к произведению двух матриц переместительный закон не выполняется, т.е.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой

Сумма нулевой матрицы и произвольной матрицы дает матрицу :

Единичной матрицей называется матрица вида

Пример. Вычислить 1) 2) 3) , где ; .

Решение.

1) ,

2) ,

3) .

Введем понятие определителя (или детерминанта) матрицы. Определителем матрицы

порядка называется число , где определитель порядка , полученный из матрицы вычеркиванием первой строки и го столбца. Число называется дополнительным минором элемента .

Применим данное определение к матрицам 2-го и 3-го порядков. Для матрицы имеем

где , . Аналогично для матрицы
получим

Заметим, что понятие определителя имеет смысл только для квадратных матриц.

В дальнейшем умение вычислять определители понадобится нам для решения систем линейных уравнений методом Крамера.

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными :

(1)

Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы

, (2)

а матрица

(3)

называется расширенной матрицей системы.

Если , то система (1) называется однородной.

Числа называются решением системы линейных уравнений, если при подстановке вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Введем понятие ранга матрицы.

В матрице размером минор порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора (обозначение ).

Проще всего находить ранг матрицы и ее базисный минор при помощи элементарных преобразований, к которым относятся:

1) замена строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками;

2) перестановка строк матрицы;

3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки;

Важное значение имеет теорема: элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Матрицы, полученные в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными (пишут: ).

Если при помощи нескольких последовательно выполненных элементарных преобразований перейти от матрицы к некоторой другой матрице , то . Вычислив ранг мы тем самым будем знать и ранг . Оказывается, что от любой матрицы можно перейти к такой матрице , вычисление ранга которой не представляет затруднений; для этого следует добиться, чтобы в было достаточно много нулей

. (4)

Матрицы, имеющие вид (4) называются треугольными.

Пример. Найти ранг матрицы .

Решение.

Разберем преобразования матрицы :

1) ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , к четвертой строке прибавим первую, умноженную на ;

2) разделим все элементы второй строки на , третьей на , четвертой строки на ;

3) к третьей и четвертой строкам прибавим вторую, умноженную на ;

4) вычеркнем третью и четвертую строки, состоящие только из нулей.

В результате данных преобразований остались две различные строки.

В качестве базисного минора возьмем определитель . Его порядок равен двум, а определителей третьего порядка составить уже нельзя, следовательно, .

Вопрос о совместности системы (1) полностью решается следующей теоремой:

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Пусть для системы линейных уравнений с неизвестными выполнено условие совместности т.е.

тогда:

1) если , то система имеет единственное решение;

2) если , то система имеет бесконечно много решений, а именно, некоторым неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся неизвестных определятся уже единственным образом.

Рассмотрим далее некоторые методы решения систем линейных уравнений.

ПРАВИЛО КРАМЕРА.

Если в системе (1) и , то система (1) имеет единственное решение и

, (5)

где определитель, полученный из определителя матрицы заменой го столбца на столбец свободных членов. Формулы (5) носят названия формул Крамера.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера (задача 1.1–1.20)

Решение.

, , .

Вычислим определитель матрицы

Так как , то система совместна и имеет единственное решение. Вычислим , и :

Таким образом, получили

Проверка:

Ответ:

МЕТОД ГАУССА.

Пусть задана система (1). Для того, чтобы решить систему (1) методом Гаусса, надо данную систему привести к треугольному виду, а затем обратным ходом последовательно вычислить неизвестные.

На практике рациональнее преобразовывать не саму систему, а ее расширенную матрицу. Расширенную матрицу системы приводим с помощью элементарных преобразований к виду, когда все элементы, стоящие ниже главной диагонали равны нулю.

Метод Гаусса является одним из универсальных методов нахождения решения системы линейных уравнений. Его универсальность заключается в том, что он позволяет установить не только совместность или несовместности системы, но и найти решение совместной системы.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Выпишем расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду (4):

Разберем преобразование матрицы :

1) ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую;

2) сократим третью строку на ;

3) к третьей строке прибавим вторую, умноженную на ;

4) сократим третью строку на .

Мы видим, что , т.к. базисный минор . Число неизвестных . Следовательно, система совместна и имеет единственное решение. Найдем его методом Гаусса, для этого запишем систему, соответствующую преобразованной матрице (укороченная система):

Откуда получим: Проверка:

Ответ:

12 3 4 5 Следующая ⇒