![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Тема 3. Аналитическая геометрияСтр 1 из 5Следующая ⇒
1. Прямая линия на плоскости и в пространстве. Плоскость, исследование уравнения и построение в системе координат. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. 2. Кривые второго порядка: парабола, эллипс, гипербола. Кривые в полярной системе координат. Тема 4. Введение в математический анализ 1. Множества. Операции над ними. Понятие функции. Область определения, четность, периодичность, способы задания. Основные элементарные функции. 2. Числовые последовательности. Предел и свойства сходящихся последовательностей. Число 3. Бесконечно малые функции. Эквивалентные бесконечно малые, их использование при вычисление пределов. Первый замечательный предел. 4. Бесконечно большие, связь с бесконечно малыми. Раскрытие неопределенностей разных типов 5. Непрерывные функции. Односторонние пределы. Непрерывность в точке. Точки разрыва и их классификация. 6. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Задачи, приводящие к понятию производной: задача о вычислении мгновенной скорости и задача о составлении касательной к графику функции. Определение производной. Основные правила дифференцирования. Таблица производных. Теорема о производной обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Дифференцируемость функции. Теорема о связи непрерывной и дифференцируемой функции. Понятие дифференциала, его связь с производной. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Производные высших порядков. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Монотонность функции, признаки убывания и возрастания функции. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Исследование функций на экстремум с помощью производных первого и второго порядков. Точки перегиба. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ Тематика практических занятий 1. Элементы линейной алгебры. Методы решения систем линейных уравнений (правило Крамера, метод Гаусса). Схема решения произвольной системы линейных уравнений (080505 – 2 часа, 280202 – 2 часа). 2. Элементы векторной алгебры. Понятие вектора, линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов, его свойства. Векторное и смешанное произведения векторов (080505 – 2 часа, 280202 – 2 часа). 3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве (080505 – 4 часа, 280202 – 4 часа). 4. Введение в математический анализ (080505 – 2 часа, 280202 – 4 часа). Понятие производной. Дифференцирование сложной функции, функций, заданных неявно и параметрически. (80505 – 2 часа; 280202 – 4 часа). 5. Приложения производной. Правило Лопиталя. Исследование функций и построение графиков. (080505 – 2 часа, 280202 – 4 часа). КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Общие методические указания Студент выполняет вариант, совпадающий с двумя последними цифрами его учебного шифра. Например, согласно шифру 5311/12, студент выполняет вариант № 12. Если последние цифры шифра превосходят число 20, следует вычесть число, кратное 20. Например, 5311/26, соответствует вариант № 6, полученный при вычитании При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила: 1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной (ученической) тетради, на внешней обложке указать фамилию, имя, отчество, полный шифр, номер контрольной работы. 2. Работа выполняется чернилами (не красными) с полями для замечаний рецензента. 3. Решения задач должны быть подробными, без сокращения слов. Перед решением каждой задачи должно присутствовать ее условие. 4. Задачи располагать в порядке номеров, указанных в задании, не меняя этих номеров. Методические указания к выполнению контрольной работы № 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицей размера
Первый индекс Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк – ее порядком. Остальные матрицы называют прямоугольными. Две матрицы Диагональ квадратной матрицы, содержащая элементы Суммой
Произведением
Произведением
Заметим, что число столбцов матрицы По отношению к произведению двух матриц переместительный закон не выполняется, т.е.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой
Сумма нулевой матрицы
Единичной матрицей называется матрица вида
Пример. Вычислить 1) Решение. 1) 2) 3) Введем понятие определителя (или детерминанта) матрицы. Определителем матрицы порядка Применим данное определение к матрицам 2-го и 3-го порядков. Для матрицы
где Заметим, что понятие определителя имеет смысл только для квадратных матриц. В дальнейшем умение вычислять определители понадобится нам для решения систем линейных уравнений методом Крамера. Рассмотрим систему
Матрица
а матрица
называется расширенной матрицей системы. Если Числа Введем понятие ранга матрицы. В матрице Рангом матрицы называется порядок базисного минора (обозначение Проще всего находить ранг матрицы и ее базисный минор при помощи элементарных преобразований, к которым относятся: 1) замена строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками; 2) перестановка строк матрицы; 3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю; 4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля; 5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки; Важное значение имеет теорема: элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Матрицы, полученные в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными (пишут: Если при помощи нескольких последовательно выполненных элементарных преобразований перейти от матрицы
Матрицы, имеющие вид (4) называются треугольными. Пример. Найти ранг матрицы Решение.
Разберем преобразования матрицы 1) ко второй строке прибавим первую, умноженную на 2) разделим все элементы второй строки на 3) к третьей и четвертой строкам прибавим вторую, умноженную на 4) вычеркнем третью и четвертую строки, состоящие только из нулей. В результате данных преобразований остались две различные строки. В качестве базисного минора возьмем определитель Вопрос о совместности системы (1) полностью решается следующей теоремой: Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Пусть для системы тогда: 1) если 2) если
Рассмотрим далее некоторые методы решения систем линейных уравнений.
ПРАВИЛО КРАМЕРА. Если в системе (1)
где
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера (задача 1.1–1.20) Решение.
Вычислим определитель матрицы Так как
Таким образом, получили Проверка: Ответ: МЕТОД ГАУССА. Пусть задана система (1). Для того, чтобы решить систему (1) методом Гаусса, надо данную систему привести к треугольному виду, а затем обратным ходом последовательно вычислить неизвестные. На практике рациональнее преобразовывать не саму систему, а ее расширенную матрицу. Расширенную матрицу системы приводим с помощью элементарных преобразований к виду, когда все элементы, стоящие ниже главной диагонали равны нулю. Метод Гаусса является одним из универсальных методов нахождения решения системы линейных уравнений. Его универсальность заключается в том, что он позволяет установить не только совместность или несовместности системы, но и найти решение совместной системы. Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: Решение. Выпишем расширенную матрицу
Разберем преобразование матрицы 1) ко второй строке прибавим первую, умноженную на 2) сократим третью строку на 3) к третьей строке прибавим вторую, умноженную на 4) сократим третью строку на Мы видим, что Откуда получим: Ответ: Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-24; Просмотров: 426; Нарушение авторского права страницы