Прямая и плоскость в пространстве

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

Плоскость в декартовой системе координат может быть задана следующими уравнениями:

1. Общее уравнение плоскости

Кроме того,

уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно вектору .

2. Уравнение плоскости «в отрезках»

где - величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях , и , соответственно.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки , ,

Прямая в пространстве задается:

1) общими уравнениями в пространстве в

где , таким образом, прямая задана как линия пересечения двух плоскостей.

2) каноническими уравнениями в

где – точка, принадлежащая прямой, а – направляющий вектор.

3) параметрическими уравнениями

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей координаты вектора нормали , имеет вид

Найдем координаты вектора нормали. – данная точка, – точка, лежащая на нашей прямой, – координаты направляющего вектора прямой. Тогда

Запишем уравнение искомой плоскости

Варианты заданий для контрольной работы № 1

Элементы линейной алгебры

1. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее двумя методами: 1) Крамера; 2) Гаусса.

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

1.11. 1.12.

1.13. 1.14.

1.15. 1.16.

1.17. 1.18.

1.19. 1.20.

2. Найти общее и одно частное решение однородной системы линейных уравнений.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15. 2.16.

2.17. 2.18.

2.19. 2.20.

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

3. Даны координаты вершин пирамиды .

1) Найти модуль вектора

2) Найти площадь грани

3) Найти длину высоты, опущенной из вершины

4) Найти косинус угла между векторами и

5) Записать уравнение плоскости

6) Записать уравнение высоты, опущенной из вершины на грань

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

4. В соответствии с вариантом выполнить задание.

4.1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин:

4.2. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма и точка пересечения его диагоналей . Составить уравнения двух других сторон параллелограмма.

4.3. Даны вершины треугольника и точка пересечения его высот . Составить уравнения сторон треугольника.

4.4. Даны вершины треугольника: Найти длины его высот.

4.5. Составить уравнения сторон квадрата, если известны одна из вершин и точка пересечения диагоналей .

4.6. Даны уравнения сторон прямоугольника и одна из его вершин . Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

4.7. Даны уравнения сторон параллелограмма и уравнение одной из его диагоналей Найти координаты вершин этого параллелограмма.

4.8. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух других его сторон и уравнение одной из его диагоналей

4.9. Составить уравнения сторон треугольника, если заданы две его вершины и точка пересечения медиан

4.10. Даны вершины треугольника: Составить уравнения его высот.

4.11. Даны две смежные вершины квадрата Составить уравнения его сторон.

4.12. Составить уравнения сторон и высот треугольника с вершинами в точках:

4.13. Даны две стороны прямоугольника и уравнение его диагонали . Составить уравнения двух других сторон.

4.14. Составить уравнения сторон и высот треугольника с вершинами в точках:

4.15. Три последовательные вершины параллелограмма имеют координаты: Составить уравнения диагоналей этого параллелограмма.

4.16. Составить уравнения сторон и найти внутренние углы треугольника с вершинами в точках:

4.17. Дан треугольник с вершинами в точках: Составить уравнения его высот и медиан.

4.18. Даны вершины треугольника и точка пересечения его медиан Составить уравнения сторон этого треугольника.

4.19. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения его двух сторон и одна из его диагоналей .

4.20. Найти точку пересечения высот треугольника с вершинами в точках:

5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить вид кривой и построить ее график.

5.1. 5.2.

5.3. 5.4.

5.5. 5.6.

5.7. 5.8.

5.9. 5.10.

5.11. 5.12.

5.13. 5.14.

5.15. 5.16.

5.17. 5.18.

5.19. 5.20.

Методические указания к выполнению контрольной работы №2

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Предел функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любого можно указать такое число , что для всех , отличных от и удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Если есть предел функции при стремящемся к то пишут

или при .

Число называется пределом функции в точке слева (пишут ), если стремится к пределу при , стремящемся к числу так, что принимает только значения, меньшие . Если принимает только значения, большие , то пишут и называют пределом функции в точке справа.

При вычислении пределов функций используются следующие теоремы:

Если каждая из функций и имеет конечный предел при , то сумма, разность и произведение этих функций также имеет конечный предел, причем

Если, кроме того, , то и частное имеет конечный предел, причем .

Следствие:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

, где .

2. Если и − натуральное число, то

Кроме того, при вычислении пределов нужно обратить внимание на то, что элементарные функции непрерывны там, где они определены, т.е.

. (1)

Пример. Найти .

Решение.

Однако, бывают случаи, когда теоремы о пределах суммы, частного и произведения неприменимы, т.к. при вычислении пределов получаются неопределенности .

Для вычисления таких пределов функцию заменяют функцией , принимающей в окрестности точки те же значения, что и и определенной в точке . Пределы таких функций равны, т.е.

Рассмотрим простейшие приемы раскрытия неопределенностей и нахождения пределов функций.

Неопределенность .

Рассмотрим предел дробно-рациональной функции, когда при и числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю.

Пример. Найти .

Решение.

Непосредственный переход к пределу по формуле (1), дает неопределенность , т.е. функция в точке неопределена. Для решения задачи поступим следующим образом, разделим числитель и знаменатель дроби на , получим

Тогда .

Сформулируем правило.

Для того, чтобы найти предел дробно-рациональной функции в случае, когда при и числитель, и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на и перейти к пределу в полученном выражении. Если и после этого неопределенность сохраняется, то надо произвести повторное деление на .

Пусть − дробь, содержащая иррациональные выражения.

Пример. Найти. .

Решение.

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение . Тогда

Пример. Найти

Решение.

Правило. Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения, в случае, когда пределы числителя и знаменателя дроби равны нулю, надо освободиться от имеющихся иррациональностей, после этого сделать необходимые упрощения (приведение подобных членов, сокращение одинаковых множителей и т. п.) и перейти к пределу при в полученном выражении.

Замечание. В этом случае используются формулы сокращенного умножения

Неопределенность вида .

Рассмотрим предел при отношения двух многочленов

В данном случае теорема о пределе дроби неприменима, т.к. пределы числителя и знаменателя не существуют.

Преобразуем дробь следующим образом:

Очевидно, что

Тогда

Правило. Чтобы вычислить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные бесконечности, надо числитель и знаменатель дроби разделить на в наибольшей степени, встречающейся в членах дроби, а затем прейти к пределу.

Пример. Найти

Решение.

Пример. Найти

Решение.

Пример. Найти .

Решение.

Пусть − дробь, содержащая иррациональности. При имеем неопределенность , которую раскрывают по правилу, указанному в предыдущем пункте, т.е. делят числитель и знаменатель дроби на в высшей степени, а затем переходят к пределу при .

Пример. Найти .

Решение.

Первый замечательный предел

Для раскрытия неопределенности от функций, содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции используют первый замечательный предел

и следствия из него

Примеры.

Замечание. В этом примере использована формула тригонометрии

Второй замечательный предел

Для раскрытия неопределенностей вида используют предел

Пример. Найти .

Решение.

Очевидно, что

Таким образом, имеем неопределенность . Воспользуемся вторым замечательным пределом, для этого преобразуем сначала выражение, стоящее в скобках, а именно, добавим и вычтем единицу

Теперь показатель степени домножим и разделим на дробь ,

получим .

Перейдем к пределу при

так как

Непрерывность функций

Определение 1. Функция с областью определения называется непрерывной в точке , если выполнены следующие условия:

1) функция определена в точке , т.е. ;

2) существует ;

Условие пункта 2 эквивалентно существованию равных односторонних пределов функции в точке , т.е.

Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 1− 3, то точка называется точкой разрыва функции .

При исследовании функции на непрерывность пользуются следующей теоремой:

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Определение 2. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала , где , то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Следовательно, функция может иметь разрыв в точках, где она меняет способ своего задания или не определена.

Существуют следующие виды точек разрыва.

1. Если в точке

существует конечный

предел функции , но он не равен значению

функции в этой точке, т.е.

то такая точка называется точкой

разрыва I рода (устранимый разрыв).

2. Точка называется точкой разрыва I рода

(точка скачка) функции

, если

в этой точке существуют конечные

односторонние пределы функции

но они не равны между собой.

3.Точка называется точкой разрыва II рода или точкой бесконечного разрыва, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке равен бесконечности .

Пример. Исследовать функции на непрерывность, найти точки разрыва и определить их тип:

а)

Данная функция определена на всей числовой оси. Она задана двумя различными формулами для интервалов и и может иметь разрыв в точке , где меняется способ ее задания. Найдем односторонние пределы в точке :

так как слева от точки функция

так как справа от точки функция .

Таким образом, в точке функция имеет конечные односторонние пределы, но они не равны между собой . Следовательно, - точка разрыва I рода (точка скачка). Во всех остальных точках числовой оси данная функция непрерывна, так как формулы, которыми она задана определяют элементарные непрерывные функции. Построим график этой функции.

б)

Функция определена для всех значений кроме и . Эта функция элементарная, значит, она непрерывна во всей области своего определения . В точках и функция имеет разрывы, так как нарушается первое условие непрерывности. Чтобы определить характер разрыва в этих точках, найдем односторонние пределы