СХЕМА РЕШЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1)проверяем условие (если , то систем не имеет решения);

выбираем базисный минор порядка и записываем укороченную систему;

2) неизвестные назовем базисными, а свободными и выразим базисные неизвестные через свободные;

3) записываем общее решение системы.

Пример. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и одно частное решение

Однородная система всегда совместна, т.к. ее расширенная матрица получается добавлением к основной матрице нулевого столбца и, следовательно, всегда .

всегда является решением однородной системы (тривиальное решение).

Для существования нетривиального (ненулевого) решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы .

Найдем ранг матрицы .

Разберем преобразования матрицы :

1) ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , к четвертой строке прибавим первую, умноженную на ;

2) разделим элементы второй строки на , элементы третьей строки на , а элементы четвертой строки на 2;

3) из третьей и четвертой строк вычтем вторую строку.

Выберем в качестве базисного минора

Следовательно, и система имеет ненулевые решения.

Запишем укороченную систему

В качестве базисных неизвестных выберем и (т.к. в базисный минор выбраны 1-й и 2-й столбцы), тогда и – свободные неизвестные. Полагая , , находим и .

Подставим в первое уравнение системы и найдем :

Запишем общее решение системы

Из общего решения находим любое частное решение. Например, полагая , , получим , . Таким образом, частное решение системы имеет вид: , , , .

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Геометрическим вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор двумя большими латинскими буквами с общей чертой ( начало вектора, конец вектора) или одной малой (см. рис.)

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону. Число, равное длине вектора, называется его модулем.

Если заданы декартовы координаты вектора , то модуль вектора , обозначаемый символом , вычисляется по формуле: .

Если заданы две точки в декартовой системе координат и , где начало вектора, конец вектора, то координаты вектора вычисляются по формулам .

Операции алгебраического сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

1. Если , , то координаты вектора вычисляются по формулам .

2. Если и действительное число, то координаты вектора вычисляются по формулам .

Пример. Даны два вектора и .

Вычислить а) ; б) .

Решение.

а) ;

Скалярное произведение векторов, его свойства

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается или .

Обозначим через угол между векторами и . Тогда скалярное произведение выражается формулой

Если векторы и заданы декартовыми координатами , , то скалярное произведение вычисляется по формуле

Скалярное произведение векторов и равно нулю ( ) тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. В частности , если или .

Алгебраические свойства скалярного произведения:

2. , где константа;

3. .

С помощью скалярного произведения можно вычислить:

1. Модуль вектора : . Эта формула справедлива для любой системы координат. В частности, в декартовой системе координат данная формула примет вид , где .

2. Косинус угла между векторами и .

3. Проекцию вектора на вектор

Пример. Векторы и взаимно перпендикулярны и , . Найти .

Решение.

Пример. Вычислить косинус угла, образованного векторами и .

Решение.

Воспользуемся формулой .

;

Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом (или ) и определяемый тремя правилами:

1. , где угол между векторами и ;

2. вектор перпендикулярен к каждому из векторов и ;

3. вектор ориентирован так, что если смотреть с его конца на плоскость векторов и , то кратчайший поворот от к происходит против часовой стрелки
(см. рис.)

Алгебраические свойства векторного произведения:

1 ;