Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор . Принято обозначение смешанного произведения трех векторов (или ).

Геометрические свойства смешанного произведения:

1) модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и ;

2) векторы , и лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда .

Если векторы , и заданы декартовыми координатами: , , , то смешанное произведение вычисляется по формуле

.

 

Пример. Даны вершины тетраэдра , , , . Найти длину высоты, опущенную из вершины .

Решение.

.

Тогда

Откуда получим .

Вычислим (см. предыдущий пример).

Тогда

 

Кривые второго порядка

 

В декартовой системе координат общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

(6)

где не все коэффициенты , и одновременно равны нулю. Если , то уравнение определяет прямую линию.

В декартовой системе координат уравнение (6) примет один из следующих видов:

1) каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом ;

2) каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосями и ;

3) а) каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью ;

б) каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью ;

4) а) каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси .

б) каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси .

Используя каноническое уравнение кривой, легко построить график данной линии в декартовой системе координат.

 

Пример. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить вид кривой и построить ее график.

 

а)

.

Разделим обе части уравнения на 144: . Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью . Сделаем схематический чертеж.

 

б)

парабола с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси .

 

в) .

Преобразуем это уравнение, возведя обе части в квадрат

, , , .

Последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями , . Если решить данное уравнение относительно , получим

, .

В условии задачи дано второе из этих уравнений. Оно определяет не весь эллипс, а только ту его часть, для точек которой , т.е. половину эллипса, расположенную ниже оси .

 

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ

 

Всякое уравнение первой степени относительно и , т.е. уравнение вида

, (7)

где , и - постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Если в общем уравнении прямой , то разрешив его относительно , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

, (8)

где – тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси ; – ордината точки пересечения прямой с осью .

Уравнение (9)

является уравнением прямой, которая проходит через точку и имеет угловой коэффициент .

Если в общем уравнении прямой , то, разделив все члены на , получим уравнение прямой «в отрезках»

, (10)

где , - величины направленных отрезков, отсекаемых прямой на осях координат и , соответственно.

Уравнение

, (11)

является уравнением прямой, проходящей через две точки и .

Обозначим , координаты направляющего вектора прямой , тогда (10) примет вид

, (12)

где – точка на прямой. Уравнение (12) называется каноническим уравнением прямой. Введя параметр , из (11) получим параметрические уравнения прямой

где (13)

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

. (14)

Вектор - называется нормальным вектором прямой. Раскрывая в (14) скобки, получим общее уравнение прямой

.

Таким образом, в общем уравнении прямой, коэффициенты при и суть координаты нормального вектора прямой.

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и . Возможны следующие случаи их взаимного расположения:

1) прямые параллельны (в частности совпадают) тогда и только тогда, когда выполняется условие ;

2) прямые пересекаются в некоторой точке, тогда угол между ними находится по формуле ;

3) прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

 

Пример. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны декартовы координаты вершины острого угла и уравнение противолежащего катета . Составить уравнения двух других сторон этого треугольника.

Решение.

Найдем уравнение прилежащего катета. Так как , , то уравнение имеет вид . Угол между катетом и гипотенузой в равнобедренном треугольнике равен . Для нахождения уравнения гипотенузы воспользуемся формулой , из которой найдем угловой коэффициент прямой .

1. .

Тогда уравнение имеет вид

2. .

Тогда уравнение

Ответ: ,

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. АНОМАЛИЯ ТРЕХСТВОРЧАТОГО КЛАПАНА
2. БИЛЕТ 16. ПРОИЗВЕДЕНИЕ КАК ПРОДУКТ ЭСТЕТИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ АВТОРА. СОЗНАТЕЛЬНОЕ И БЕССОЗНАТЕЛЬНОЕ В ЛИТЕРАТУРНОМ ТВОРЧЕСТВЕ. КАТЕГОРИЯ АВТОРСТВА.
3. В каждом столбике, используя произведение найди частное.
4. В школе есть трехместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?
5. Векторы в пространстве. Векторное и смешанное произведения векторов и их свойства.
6. Двух-, трех-, четырехстопные размеры. Ямб и его разновидности. Хорей и его типы.
7. Записать выражение для векторов Е(r,t) и Н(r,t) в плоской монохроматической электромагнитной волне.
8. Из документов конференции руководителей трех союзных держав – Советского Союза, Соединенных Штатов Америки и
9. Из содержания норм гражданского процессуального права вытекает, что принцип состязательности следует рассматривать в трех аспектах.
10. Изменение векторов взаимоотношений спорта и физического воспитания, пути его интеграции
11. Импульсом тела называется физическая величина, измеряемая произведением массы тела на его скорость
12. индекс товарооборота есть произведение индекса цен (по Пааше) и физического объема