Общая схема исследования функции

1. Найти область определения функции, исследовать ее поведение на границах области определения.

2. Найти точки разрыва и установить их характер с помощью односторонних пределов.

3. Исследовать периодичность, четность (нечетность), найти точки пересечения графика с осями координат.

4. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

5. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

6. Найти асимптоты графика.

7. Построить график, используя результаты исследования.

Задача 4. Провести полное исследование и построить график функции

.

1. Найдем область определения . из условия , , , следовательно,

 

2. , – точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

, ,

, .

Отсюда следует, что и – точки разрыва второго рода, и – вертикальные асимптоты.

3. Для установления симметрии графика функции найдем = – , это означает, что – нечетная функция, и ее график симметричен относительно начала координат. Достаточно провести ее исследование для . Очевидно, что функция не является периодической. Точка О (0, 0) является единственной точкой пересечения с осями координат, т.к. .

4. Первая производная: ,

Критические точки найдем из условий , .

а) , , , .

Решая биквадратное уравнение, найдем .

б) , , , .

Таким образом, критические точки функции: , , а точки не входят в область определения, следовательно, не являются критическими точками. Проверим критические точки на экстремум по первому признаку.

, при , , при

Так как производная меняет знак при переходе через критическую точку, то в точке функция имеет минимум. Составим таблицу.

 

		(0, 1)		(1; 2.05)	2, 05	(2, 05, )
			не сущ.		(min) 3, 4
		–	не сущ.	–		+

5. Найдем . Критические точки второго рода найдем из условия , , ; при , откуда . Так как не входят в область определения функции, то единственная критическая точка. Проверим знак второй производной при переходе через точку при ,

при . меняет знак с ”+” на “-“, значит, - точка перегиба, и график меняет вогнутость на выпуклость при переходе через критическую точку. Итак, в (0, 1) функция выпукла, а в – вогнута.

6. Найдем асимптоты. Наклонные асимптоты имеют вид: ;

= ,

, ,

отсюда уравнение наклонной асимптоты . Горизонтальные асимптоты отсутствуют, а вертикальные были найдены в п. 2.

7. По результатам исследования построим график. Так как функция нечетная, то можно построить график для и отобразить его симметрично начала координат.

Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 2

 

Введение в анализ

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

1.1. а) б) в)

г) д)

1.2. а) б) в)

г) д)

1.3. а) б) в)

г) д)

1.4. а) б) в)

г) д)

1.5. а) б) в)

г) д)

1.6. а) б) в)

г) д)

1.7. а) б) в)

г) д)

1.8. а) б) в)

г) д)

1.9. а) б) в)

г) д)

1.10. а) б) в)

г) д)

1.11. а) б) в)

г) д)

1.12. а) б) в)

г) д)

1.13. а) б) в)

г) д)

1.14. а) б) в)

г) д)

1.15. а) б) в)

г) д)

1.16. а) б) в)

г) д)

1.17. а) б) в)

г) д)

1.18. а) б) в)

г) д)

1.19. а) б) в)

г) д)

1.20. а) б) в)

г) д)

Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

 

2.1. а) б) ; в) ;

 

2.2. а) б) ; в) ;

 

2.3. а) б) ; в) ;

 

2.4. а) б) ; в) ;

 

2.5. а) б) ; в) ;

 

2.6. а) б) ; в) ;

 

2.7. а) б) ; в) ;

 

2.8. а) б) ; в) ;

 

2.9. а) б) ; в) ;

 

2.10. а) б) ; в) ;

 

2.11. а) б) ; в) ;

 

2.12. а) б) ; в) ;

2.13. а) б) ; в) ;

 

2.14. а) б) ; в) ;

 

2.15. а) б) в) ;

2.16. а) б) ; в) ;

 

2.17. а) б) ; в) ;

 

2.18. а) б) ; в) ;

 

2.19. а) б) ; в) ;

 

2.20. а) б) ; в) ;

 

Производная функции и ее приложения

1. Найти первую производную для указанных функций.

2. Функция задана параметрически. Найти y'_x, y''_xx.

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на замкнутом отрезке.

4. Вычислить пределы, применив правило Лопиталя.

5. Исследовать функции по полной схеме и построить графики.

6. Вычислить приближенно значение выражения с помощью дифференциала.

 

 

Вариант 1

1. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 2

1. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 3

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 4

1. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 5

1. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 6

1. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 7

1. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 8

1. a) ; б) ; в);

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 9

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 10

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

 

 

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 11

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 12

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

 

 

Вариант 13

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 14

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 15

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 16

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 17

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

 

Вариант 18

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 19

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 20

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

 

 

2. ; 3. a) ; б)

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Литература обязательная

1. Арефьев К. П., Ивлев Е. Т., Тарбокова Т. В. Системы линейных уравнений: учебное пособие. – Томск: Изд. ТПУ, 1996.

2. Высшая математика. Часть I. Учебное пособие / К. П. Арефьев,
А. И. Нагорнова, Е. И. Подберезина, Г. П. Столярова, А. Н. Харлова. – Томск: Изд-во ТПУ, 2004. – 188 с.

3. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.

4. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в примерах и задачах. Часть I. – М.: Высшая школа, 1980.

5. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1985.

6. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Часть I. – М., 1971.

7. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1. – М.: Наука, 1985. – 429 с.

8. Сборник задач по математике для ВТУЗов / под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. Часть I. – М.: Наука, 1981. – С. 9–10.

9. Краткий курс высшей математики. Том 1 / В. Е. Шнейдер и др. – М.: Высшая школа, 1978.

 

 

МАТЕМАТИКА

Часть I

Рабочая программа, методические указания и
варианты заданий контрольных работ № 1 и № 2

 

 

Составители:

Оксана Николаевна Ефремова

Евгения Александровна Молдованова

Светлана Владимировна Рожкова

Валентина Ивановна Рожкова

Галина Михайловна Матвеенко

Галина Аиповна Никольская

 

 

Под общей редакцией Э. М. Кондаковой

 

Рецензент: К. П. Арефьев, д. ф.-м. н., профессор каф. ВМ ЕНМФ

 

 

Подписано к печати __.__.200_. Формат 60х84/16. Бумага «Классика». Печать RISO. Усл.печ.л. 4, 19. Уч.-изд.л. 3, 79. Заказ. Тираж экз.
	Томский политехнический университет Система менеджмента качества Томского политехнического университета сертифицирована NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001: 2000
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться:

Популярное:

1. A Схема затяжки болтов ГБЦ; болты 5 и 7 длиннее остальных и устанавливаются в свои места
2. Hекоторые стандартные функции
3. I. Интегральное исчисление функции одной переменной
4. I. Общая характеристика искусства Возрождения. Периодизация.
5. I. Спинной мозг: строение и функции
6. II. Методология исследования культуры в современных культурологических концепциях.
7. II. Ценности и функции культуры. Человек как творец и продукт культуры.
8. III. 41. Стратегия и функции управления.
9. IV. Основные направления исследования
10. SWOT-анализ объекта исследования, группировка ключевых факторов повышения уровня жизни населения
11. V1: Культурология как наука. Понятие, сущность, формы и функции культуры.
12. А. Общая стратегия отделения