Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Общая схема исследования функции



1. Найти область определения функции, исследовать ее поведение на границах области определения.

2. Найти точки разрыва и установить их характер с помощью односторонних пределов.

3. Исследовать периодичность, четность (нечетность), найти точки пересечения графика с осями координат.

4. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

5. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

6. Найти асимптоты графика.

7. Построить график, используя результаты исследования.

Задача 4. Провести полное исследование и построить график функции

.

1. Найдем область определения . из условия , , , следовательно,

 

2. , – точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

, ,

, .

Отсюда следует, что и – точки разрыва второго рода, и – вертикальные асимптоты.

3. Для установления симметрии графика функции найдем = – , это означает, что – нечетная функция, и ее график симметричен относительно начала координат. Достаточно провести ее исследование для . Очевидно, что функция не является периодической. Точка О (0, 0) является единственной точкой пересечения с осями координат, т.к. .

4. Первая производная: ,

Критические точки найдем из условий , .

а) , , , .

Решая биквадратное уравнение, найдем .

б) , , , .

Таким образом, критические точки функции: , , а точки не входят в область определения, следовательно, не являются критическими точками. Проверим критические точки на экстремум по первому признаку.

, при , , при

Так как производная меняет знак при переходе через критическую точку, то в точке функция имеет минимум. Составим таблицу.

 

(0, 1) (1; 2.05) 2, 05 (2, 05, )
не сущ. (min) 3, 4
не сущ. +

5. Найдем . Критические точки второго рода найдем из условия , , ; при , откуда . Так как не входят в область определения функции, то единственная критическая точка. Проверим знак второй производной при переходе через точку при ,

при . меняет знак с ”+” на “-“, значит, - точка перегиба, и график меняет вогнутость на выпуклость при переходе через критическую точку. Итак, в (0, 1) функция выпукла, а в – вогнута.

6. Найдем асимптоты. Наклонные асимптоты имеют вид: ;

= ,

, ,

отсюда уравнение наклонной асимптоты . Горизонтальные асимптоты отсутствуют, а вертикальные были найдены в п. 2.

7. По результатам исследования построим график. Так как функция нечетная, то можно построить график для и отобразить его симметрично начала координат.

 
 

Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 2

 

Введение в анализ

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

1.1. а) б) в)

г) д)

1.2. а) б) в)

г) д)

1.3. а) б) в)

г) д)

1.4. а) б) в)

г) д)

1.5. а) б) в)

г) д)

1.6. а) б) в)

г) д)

1.7. а) б) в)

г) д)

1.8. а) б) в)

г) д)

1.9. а) б) в)

г) д)

1.10. а) б) в)

г) д)

1.11. а) б) в)

г) д)

1.12. а) б) в)

г) д)

1.13. а) б) в)

г) д)

1.14. а) б) в)

г) д)

1.15. а) б) в)

г) д)

1.16. а) б) в)

г) д)

1.17. а) б) в)

г) д)

1.18. а) б) в)

г) д)

1.19. а) б) в)

г) д)

1.20. а) б) в)

г) д)

Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

 

2.1. а) б) ; в) ;

 

2.2. а) б) ; в) ;

 

2.3. а) б) ; в) ;

 

2.4. а) б) ; в) ;

 

2.5. а) б) ; в) ;

 

2.6. а) б) ; в) ;

 

2.7. а) б) ; в) ;

 

2.8. а) б) ; в) ;

 

2.9. а) б) ; в) ;

 

2.10. а) б) ; в) ;

 

2.11. а) б) ; в) ;

 

2.12. а) б) ; в) ;

2.13. а) б) ; в) ;

 

2.14. а) б) ; в) ;

 

2.15. а) б) в) ;

2.16. а) б) ; в) ;

 

2.17. а) б) ; в) ;

 

2.18. а) б) ; в) ;

 

2.19. а) б) ; в) ;

 

2.20. а) б) ; в) ;

 

Производная функции и ее приложения

1. Найти первую производную для указанных функций.

2. Функция задана параметрически. Найти y'x, y''xx.

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на замкнутом отрезке.

4. Вычислить пределы, применив правило Лопиталя.

5. Исследовать функции по полной схеме и построить графики.

6. Вычислить приближенно значение выражения с помощью дифференциала.

 

 

Вариант 1

1. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 2

1. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 3

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 4

1. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 5

1. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 6

1. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 7

1. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 8

1. a) ; б) ; в);

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 9

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 10

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

 

 

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 11

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 12

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

 

 

Вариант 13

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 14

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 15

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 16

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 17

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

 

Вариант 18

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 19

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

2. ; 3. ;

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 20

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

 

 

2. ; 3. a) ; б)

4. a) ; б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Литература обязательная

1. Арефьев К. П., Ивлев Е. Т., Тарбокова Т. В. Системы линейных уравнений: учебное пособие. – Томск: Изд. ТПУ, 1996.

2. Высшая математика. Часть I. Учебное пособие / К. П. Арефьев,
А. И. Нагорнова, Е. И. Подберезина, Г. П. Столярова, А. Н. Харлова. – Томск: Изд-во ТПУ, 2004. – 188 с.

3. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.

4. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в примерах и задачах. Часть I. – М.: Высшая школа, 1980.

5. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1985.

6. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Часть I. – М., 1971.

7. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1. – М.: Наука, 1985. – 429 с.

8. Сборник задач по математике для ВТУЗов / под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. Часть I. – М.: Наука, 1981. – С. 9–10.

9. Краткий курс высшей математики. Том 1 / В. Е. Шнейдер и др. – М.: Высшая школа, 1978.

 

 

МАТЕМАТИКА

Часть I

Рабочая программа, методические указания и
варианты заданий контрольных работ № 1 и № 2

 

 

Составители:

Оксана Николаевна Ефремова

Евгения Александровна Молдованова

Светлана Владимировна Рожкова

Валентина Ивановна Рожкова

Галина Михайловна Матвеенко

Галина Аиповна Никольская

 

 

Под общей редакцией Э. М. Кондаковой

 

Рецензент: К. П. Арефьев, д. ф.-м. н., профессор каф. ВМ ЕНМФ

 

 

Подписано к печати __.__.200_. Формат 60х84/16. Бумага «Классика». Печать RISO. Усл.печ.л. 4, 19. Уч.-изд.л. 3, 79. Заказ. Тираж экз.
Томский политехнический университет Система менеджмента качества Томского политехнического университета сертифицирована NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001: 2000
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.

 


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-24; Просмотров: 657; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.171 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь