УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ

Пример 2.11. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, наудачу извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Считаем, что шары извлекаются поочередно. Пусть

А = {первый шар – белый}, В = {второй шар – белый}, тогда АВ – {оба шара – белые}.

По теореме умножения вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В|А). Согласно классическому определению вероятности Р(А)=3/10, Р(В|А)=2/9.Следовательно, Р(АВ)= (3/10) × (2/9).

Пример 2.12. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0.6, вторым – 0.8. Найти вероятность того, что в мишени будет две пробоины.

Решение. Введем в рассмотрение события, вероятности которых известны:

А = {поражение мишени первым стрелком},

В = {поражение мишени вторым стрелком}.

Интересующее нас событие выразим через эти события. Для того, чтобы имело место событие С={две пробоины в мишени}, надо, чтобы произошли вместе события А и В, т.е. С=АВ.

Естественно считать события А и В независимыми, поэтому

Р(С)=Р(А) × Р(В)=0.6× 0.8.

ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ СОБЫТИЙ

Теорема 2.1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема 2.2. Для любого события А вероятность противоположного события А выражается равенством

Р(`А) = 1 – Р(А)

Теорема 2.3 . Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А)+ Р(В) – Р(АВ).

Теорема сложения обобщается на любое конечное число событий следующим образом:

(2.3)

Если события А₁, А₂, ..., А_ппопарно несовместные, то формула (2.3) принимает вид:

Замечание. При решении задач с использованием формулы (2.3) приходится производить громоздкие вычисления, поэтому часто выгоднее перейти к противоположным событиям, т.е. вместо вероятности суммы событий А₁+А₂+...+А_п находить вероятность произведения противоположного события . Очевидно, что эти два события противоположны, поэтому

(2.4)

Пример 2.13. В условиях примера 2 предыдущего пункта найти вероятность появления хотя бы одной пробоины.

Решение. Данное событие есть сумма событий А и В, причем эти события совместные, поэтому вероятность интересующего нас события равна Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Ранее было найдено, что Р(АВ)=0.48, следовательно, Р(А + В) = 0.6 + 0.8 – 0.48 = 0.92.

Пример 2.14. Устройство содержит четыре независимо работающих элемента и сохраняет работоспособность, если работает хотя бы один из элементов. Вероятности безотказной работы элементов в течение определенного срока соответственно равны 0.9, 0.8, 0.7 и 0.6. Найти вероятность безотказной работы устройства.

Решение. Пусть события А₁ А₂, А₃и А₄означают безотказную работу соответственно первого, второго, третьего и четвертого элементов. Событие А={безотказная работа устройства} есть сумма событий: А=А₁+А₂+А₃+А₄.События А₁ А₂, А₃и А₄совместные, поэтому вероятность Р(А)надо вычислять по формуле (2.3). Чтобы упростить вычисления, воспользуемся формулой (2.4):

.

Так как события А₁ А₂, А₃и А₄независимые, то противоположные события также независимы, поэтому

= (1 – 0.9)(1 – 0.8)(1 – 0.7)(1 – 0.6) = 0.0024; и

Р(А) = 1 – 0.0024 = 0.9976.

Пример 2.15. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятности попадания в мишень при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0.2, 0.5, 0.4. Найти вероятность того, что будет ровно два попадания в мишень.

Решение. Событие А={ровно два попадания в мишень} выражается через события А₁={попадание при первом выстреле}, А₂={попадание при втором выстреле), А₃={попадание при третьем выстреле} следующим образом:

Отсюда, учитывая несовместность суммируемых произведений событий и независимость событий А₁, А₂, А₃, находим

Пример 2.16. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом: в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, во второй 10 белых, 8 черных и 6 красных. Из обеих урн наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара одного цвета.

Решение. Введем в рассмотрение следующие события:

В₁={извлечение белого шара из первой урны},

В₂={извлечение белого шара из второй урны},

С₁={извлечение черного шара из первой урны},

С₂={извлечение черного шара из второй урны},

D₁={извлечение красного шара из первой урны},

D₂={извлечение красного шара из второй урны}.

Выразим событие А= {извлечение шаров одного цвета} через эти события:

А= В₁ В₂+ С₁ С₂+ D₁ D₂

Следовательно,

Р(А) = Р(В₁)Р(В₂) + Р(С₁)Р(С₂) + Р(D₁)P(D₂).

Вероятности событий В, С, D найдем из классического определения: Р(В₁)=5/24, Р(В₂)=10/24, Р(С₁)=11/24, Р(С₂)=8/24, Р(D₁)=8/24, P(D₂)=6/24.

Таким образом, получаем

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Пусть А – некоторое событие, которое может появиться совместно с одним из ряда попарно несовместных событий Н₁, Н₂, …, Н_n образующих полную группу ( ). Будем называть события Н гипотезами.

Теорема 2.4 . Вероятность события А, которое может произойти вместе с одной из гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n, равна сумме парных произведений вероятностей этих гипотез на соответствующие им условные вероятности события А:

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 2.17. Первый станок производит 25%, второй – 35%, третий – 40% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие окажется бракованным.

Решение. Введем гипотезы:

Н₁={взятое изделие изготовлено на первом станке},

Н₂={взятое изделие изготовлено на втором станке},

Н₃={взятое изделие изготовлено на третьем станке}.

События Н₁, Н₂и Н₃ несовместные, образуют полную группу, и событие А ={взятое изделие – брак} происходит вместе с одним из них, следовательно, они действительно могут быть взяты в качестве гипотез для события А. Согласно формуле полной вероятности

По условию задачи

Р(Н₁)= 0.25, Р(Н₂)=0.35, Р(Н₃)=0.40, =0.05,

=0.04, =0.02,

следовательно, Р(А)= 0.25 • 0.05 + 0.35 • 0.04 + 0.40 • 0.02 = 0.0345.

Замечание. Вероятности характеризуют возможность осуществления некоторых условий , а возможность появления А при этих условиях.

ФОРМУЛА БАЙЕСА

Пусть событие А может произойти совместно с одной из гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n. Если до проведения опыта были известны вероятности гипотез , а в результате опыта произошло событие А, то условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

Пример 2.18. Первый станок производит 20%, а второй 80% всех деталей. Брак в их производстве составляет соответственно 4% и 2%. Взятая наугад деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на первом станке.

Решение. Введем две гипотезы для события А={взятая деталь оказалась бракованной}:

Н₁={взятая деталь изготовлена на первом станке},

Н₂={взятая деталь изготовлена на втором станке}.

Из условия задачи известно: Р(Н₁)= 0.2, Р(Н₂)=0.8, =0.04, =0.02.. По формуле Байеса находим

Замечание. Формула Байеса указывает путь использования новых экспериментальных данных для коррекции априорных (доопытных) вероятностных представлений об исследуемом объекте.

2.10. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ.
ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

Пусть производится ряд испытаний, в каждом из которых с определенной вероятностью р может произойти событие А. Если вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов предыдущих испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Если при этом вероятность события А в каждом испытании одна и та же, то последовательность испытаний называют схемой Бернулли. Вероятность того, что в п испытаниях по схеме Бернулли событие А произойдет т раз в любой последовательности, вычисляется по формуле Бернулли:

где

Значение m = m₀ появлений события А в п испытаниях, при котором вероятность принимает наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом успехов и определяется из неравенств:

np – q £ m₀£ np + p.

Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если np + p не является целым числом, то наивероятнейшее число одно и равно m₀ . Если np + p – целое число, то имеется два наивероятнейших числа m₀ : np – q и np + p.

Пример 2.19. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.6. Найти вероятность двух попаданий при трех выстрелах.

Решение. Имеем дело с тремя независимыми испытаниями, в каждом из которых с вероятностью p=0.6 может произойти событие А={попадание в цель}. Вероятность двух попаданий (в любой последовательности) при трех выстрелах находим по формуле Бернулли:

Пример 2.20. Испытывается 15 одинаковых изделий. Вероятность того, что изделие выдержит испытание, равна 0.9. Найти наивероятнейшее число изделий, выдержавших испытание.

Решение. По условию имеем: Подставим эти данные в неравенства для m₀:

15× 0.9–0.1 £ m₀< 15× 0.9+ 0.9 => 13.4 < m₀ < 14.4.

Отсюда следует, что m₀=14.