ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Законом распределения дискретной случайной величины называется задаваемое в любой форме соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Пусть возможными значениями случайной величины X являются . В результате испытания случайная величина примет одно из этих значений, т.е. произойдет одно событие из полной группы попарно несовместных событий.

Пусть также известны вероятности этих событий:

Закон распределения случайной величины X может быть записан в виде таблицы, которую называют рядом распределения дискретной случайной величины:

X	x1	x2	…	x3
p	p1	p2	…	p3

 

Для ряда распределения имеет место равенство (условие нормировки).

Пример 3.1. Найти закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений «орла» при двух бросаниях монеты.

Решение. Возможные значения случайной величины: 0, 1, 2. Вероятности этих значений находим по формуле Бернулли:

Записываем ряд распределения:

X
p	0.25	0.50	0.25

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Функция распределения является универсальной формой задания закона распределения как дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), определенная на всей числовой оси следующим образом:

F(x)= Р(Х < х),

т.е. F(x) есть вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x.

Функцию распределения можно представить графически. Для дискретной случайной величины график имеет ступенчатый вид. Построим, например, график функции распределения случайной величины, заданной следующим рядом (Рисунок 3.1):

 

X
p	0.3	0.5	0.2

 

Рисунок 3.1. График функции распределения дискретной случайной величины

Скачки функции происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. В точках разрыва функция F(x)непрерывна слева.

График функции распределения непрерывной случайной величины представляет собой непрерывную кривую (Рисунок 3.2).

x

 

Рисунок 3.2. Функция распределения непрерывной случайной величины

 

Функция распределения обладает следующими очевидными свойствами:

1) , 2) , 3) , 4) при .

ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ

 

Будем называть событие, состоящее в том, что случайная величина X принимает значение х, принадлежащее некоторому полузамкнутому интервалу a£ х < b, попаданием случайной величины на интервал [a, b).

Теорема 3.1. Вероятность попадания случайной величины на интервал [a, b)равна приращению функции распределения на этом интервале:

(3.1)

Если уменьшать интервал [a, b), полагая, что , то в пределе формула (3.1) вместо вероятности попадания на интервал дает вероятность попадания в точку, т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение a:

(3.2)

Если функция распределения имеет разрыв в точке a, то предел (3.2) равен значению скачка функции F(x)в точке х=a, т.е. вероятности того, что случайная величина примет значение a (Рисунок 3.3, а). Если же случайная величина непрерывна, т.е. непрерывна функция F(x), то предел (3.2) равен нулю (Рисунок 3.3, б)

Таким образом, вероятность любого конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Однако это не означает невозможности события Х=a, а лишь говорит о том, что относительная частота этого события будет стремиться к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний.

а) б)

Рисунок 3.3. Скачок функции распределения

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Для непрерывных случайных величин наряду с функцией распределения используется еще одна форма задания закона распределения – плотность распределения.

Если – вероятность попадания на интервал , то отношение характеризует плотность, с которой вероятность распределена в окрестности точки x. Предел этого отношения при , т.е. производная , называется плотностью распределения (плотностью распределения вероятностей, плотностью вероятности) случайной величины X. Условимся плотность распределения обозначить

.

Таким образом, плотность распределения характеризует вероятность попадания случайной величины в окрестность точки х.

График плотности распределения называют кривой распределения (Рисунок 3.4).

 

Рисунок 3.4. Вид плотности распределения

Исходя из определения и свойств функции распределения F(x), нетрудно установить следующие свойства плотности распределения f(x):

1) f(x)³ 0

2)

3)

4)

Для непрерывной случайной величины в силу того, что вероятность попадания в точку равна нулю, имеют место следующие равенства:

Пример 3.2. Случайная величина X задана плотностью распределения

Требуется:

а) найти значение коэффициента а;

б) найти функцию распределения;

в) найти вероятность попадания случайной величины на интервал (0, ).

Решение, а) Воспользуемся свойством 3:

Отсюда получаем: а=1/2.

б) Если , то

если то

если , то

Таким образом,

в) По свойству 4:

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. 11. Законы земледелия. Суть законов: минимума, максимума, оптимума; взаимодействия факторов.
2. II. Имперское законодательство
3. II.3. Закон действия и результата действия
4. VI. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
5. VI. Распределение законодательной власти
6. Абсолютные и относительные величины
7. Абсолютные и относительные величины.
8. Абсолютные и относительные статистические величины
9. Административно-правовой статус закреплен в Конституции РФ, законах и в нормативных актах (как правило, положениях об органах).
10. Амет-хан еще перед вылетом на разведку изучил маршрут и, возвращаясь, старался опознать нужные ориентиры. Скоро должен был закончиться лес, впереди — широкий луг с проселочной дорогой.
11. Ассиметрия распределения и эксцесс.
12. Атомное ядро. Энергия связи и дефект массы ядра. Радиоактивное излучение и его виды. Закон радиоактивного распада.