ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ (ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА

Понятие линейного пространства

1. Линейным (векторным) пространством называется множество элементов любой природы, если выполнены следующие три требования:

а) имеется правило, посредством которого любым двум элементам ставится в соответствие третий элемент этого множества, называемый суммой элементов и и обозначаемый символом ;

б) имеется правило, посредством которого любому элементу и любому числу ( ) ставится в соответствие элемент этого множества, называемый произведением элемента на число и обозначаемый символом ;

в) для любых элементов и любых чисел и выполнены следующие аксиомы:

1) ;

2) ;

3) . Этот элемент пространства называют нулевым (не путать с числом ! );

4) . Такой элемент называют противоположным для ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Замечание 1. Если в пункте II мы ограничиваемся вещественными числами, то называется вещественным векторным пространством; если же определено умножение на любое комплексное число, то векторное пространство называется комплексным.

Замечание 2. Элементы произвольного векторного пространства принято называть векторами. То обстоятельство, что часто термин «вектор» употребляется в более узком смысле, при этом не приводит к недоразумениям, а, напротив, обращаясь к сложившимся геометрическим представлениям, можно уяснить, а зачастую и предвидеть ряд результатов, справедливых для векторных пространств произвольной природы.

При введении понятия векторного пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов и произведения элемента на число. Важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли аксиомам векторного пространства.

Примеры векторных пространств.

1. Пространство векторов на плоскости.

2. Пространство векторов в трехмерном пространстве.

3. Множество многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше образует векторное пространство относительно операций сложения многочленов и умножения многочлена на вещественное число.

4. Множество матриц одинаковых размеров образуют векторное пространство относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на число. В частности, часто встречается и используется векторное пространство матриц-строк ( ). Для него принято другое обозначение – ( ). Элементами этого векторного пространства служат упорядоченные совокупности произвольных вещественных (комплексных) чисел .

5. «Нестандартный» типовой пример. Рассмотрим множество всех положительных вещественных чисел. Определим «сумму» двух элементов как произведение вещественных чисел и (понимаемое в обычном смысле): . «Произведение» элемента на вещественное число определим как возведение числа в степень : . Нулевым элементом пространства будет служить вещественное число , а противоположным элементом (для данного элемента ) будет число . Проверьте выполнение аксиом векторного пространства (которые в обычной записи принимают другой вид: вместо мы имеем и т.д.). В этом Типовой примере, быть может, для обозначения суммы элементов пространства и для произведения элемента пространства на число предпочтительнее другие обозначения (например, и ).

Арифметическим пространством Rⁿ называется множество векторов , в котором операции сложения векторов и умножения вектора на число определены следующим образом: если , , , то

, .

Утверждение

Множество всех решений однородной системы образует

линейное пространство.

2. Некоторые свойства произвольных векторных пространств. Из определения векторного пространства следует ряд утверждений, справедливых для произвольных векторных пространств.

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой элемент.

2. Для каждого элемента векторного пространства существует единственный противоположный элемент.

3. .

4. Для любого элемента противоположный ему элемент равен произведению элемента на число , т.е. .

Отметим также, что из определения векторного пространства следует существование и единственность разности любых двух элементов векторного пространства и , которая определяется как элемент , удовлетворяющий условию . Этим элементом служит сумма .

§ 2. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Базис и размерность

1. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

Пусть – произвольное вещественное векторное пространство, , . Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется вектор , получаемый по правилу

Линейная комбинация называется нетривиальной, если в ней хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Линейная комбинация вида называется тривиальной; она, очевидно, равна нулевому вектору .

Система векторов называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т.е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору, векторы называются линейно независимыми.

ТЕОРЕМА (критерий линейной зависимости). Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

1) Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима.

2) Если среди векторов некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся система линейно зависима.

Типовые примеры

1. Являются ли линейно зависимыми (независимыми) векторы

► По определению линейная зависимость или независимость векторов устанавливается исходя из условия равенства нулю линейной комбинации этих векторов

или в развёрнутом виде

Если эти равенства выполняются при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то векторы линейно зависимы. Записанные равенства представляют собой однородную систему линейных уравнений относительно коэффициентов . Эта система имеет нетривиальное решение (т.е. решение, в котором не все одновременно равны нулю) только при условии равенства нулю определителя системы. В рассматриваемом случае определитель системы равен

Таким образом система имеет лишь тривиальное решение и исходная совокупность векторов линейно независима.◄

2. При каких вектор линейно выражается через векторы

► По условию задачи надо найти такие , при которых выполняется равенство

или в развёрнутом виде

Записанные соотношения представляют собой систему неоднородных линейных уравнений относительно - коэффициентов линейной комбинации. В соответствии с теоремой Кронекера-Капелли эта система совместна, если ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Выпишем расширенную матрицу для заданных условий:

Сначала определим ранг основной матрицы. Видно, что отличные от нуля миноры второго порядка в матрице имеются, например, минор, стоящий в левом верхнем углу. Вычислим теперь минор третьего порядка (определитель) основной матрицы

Следовательно, ранг основной матрицы равен двум. Таким образом рассматриваемая система будет совместна, если ранг расширенной матрицы также будет равен двум. Для этого необходимо, чтобы второй минор третьего порядка расширенной матрицы был равен нулю, т.е.

откуда следует

◄

Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 Следующая