Практическая работа №6. Одновременные уравнения

Теоретическая часть

Понятие системы одновременных уравнений

До сих пор мы рассматривали задачи, в которых функционирование объекта описывалось одним откликом и, возможно, несколькими факторами. Однако в эконометрике часто встречаются ситуации, когда необходимо рас­смотреть несколько откликов, причем каждый отклик может зависеть от дру­гих откликов. Иначе говоря, отклик одного уравнения системы может яв­ляться фактором другого уравнения. Общий вид системы одновременных уравнений:

Здесь p – число факторов; x₁, …, x_p – факторы; m – число откликов; y₁, …, y_m – отклики; γ _ij – коэффициент, связывающий j-й фактор и i-й отклик (j=1, …, p, i=1, …, m); a_ik – коэффициент, связывающий k-й и i-й отклики (k=1, …, m, при i=k a_ik=0); ε ₁, …, ε _m – возмущения.

Факторы в системе одновременных уравнений также называют экзогенными (внешними) переменными, а отклики – эндогенными (внутренними) переменными.

Если рассмотреть n наблюдений, то для каждого наблюдения надо записать систему вида (52). Таким образом, получаем nm уравнений с [m(p+m-1)] неизвестными (коэффициентами a и γ ).

В матричном виде соотношение (52) записывается следующим образом:

Y=AY+GX+ε, (53)

где Y=(y₁, …, y_m)¢, X=(x₁, …, x_p)¢, ε =(ε ₁, …, ε _m)¢,

Рассматривается также следующая запись системы одновременных уравнений:

BY+LX=ε (54).

Очевидно, что B=I-A (где I – единичная матрица), L=-G.

Система (54) (или (53), (52)) называется структурной моделью. Эта модель определяется из смысловых, эконометрических соображений.

Некоторые методы решения систем одновременных уравнений

Непосредственное применение МНК к системе (52) называется прямым МНК. Такой подход не дает хороших результатов, так как в правых частях уравнений стоят зависимые переменные y_i, и поэтому не выполняются условия классической нормальной линейной регрессионной модели.

Обычно первым шагом в решении системы одновременных уравнений является определение с помощью МНК параметров регрессии Y по X, т. е. оп­ределение матрицы P в соотношении:

Y=PX+n (55).

Соотношение (55) называется приведенной моделью. Очевидно, что (если B^-1 существует): P=-B^-1L, n=B^-1 ε.

Далее надо по параметрам P приведенной модели определить пара­метры (B, L) структурной модели. Если существует однозначное преобразова­ние от P к (B, L), то структурная модель называется идентифицируемой, а ме­тод ее оценивания косвенным методом наименьших квадратов.

Если такого преобразования не существует, то оценки подставляются в правую часть системы (52), и для оценивания ее пара­метров опять применяют МНК. Такой подход называется двухшаговым мето­дом наименьших квадратов.

Кроме идентифицируемых систем, говорят также об идентифицируемых параметрах. Это параметры структурной модели, которые однозначно выражаются через параметры приведенной модели. Идентифицируемыми уравнениями называются уравнения структурной модели, все параметры которой идентифицируемы.

Решение типовой задачи в среде Excel

2.1. Задание*

По данным таблицы 31 оценить параметры простейшей модели с двумя экзогенными x₁, x₂ и двумя эндогенными y₁, y₂ переменными:

Выполнение

Оценим параметры приведенной модели, т. е. параметры уравнений регрессии y₁=k₁+k₂x₁+k₃x₂ и y₂=k₄+k₅x₁+k₆x₂. С помощью функции ЛИНЕЙН получим: k₁=0, 685, k₂=0, 852, k₃=0, 373, k₄=6, 39, k₅=-0, 072, k₆=-0, 0056.

С помощью несложных алгебраических преобразований можно получить следующие формулы:

Следовательно, параметры структурной модели однозначно выражаются через параметры приведенной модели, модель идентифицируема и можно применить косвенный МНК. Результаты расчетов по формулам: a₁=429, b₁=-67, g₁=-4, a₂=6, 45, b₂=-0, 085, g₂=0, 026.

Оценим параметры струк­турной модели двухшаговым МНК. Вычислим оценки и откликов по уравнениям приведенной модели – ре­зультаты даны в таблице 32. За­тем вычислим a₁, b₁, g₁ как параметры регрессии y₁ на и x₁, а a₂, b₂, g₂ как параметры регрессии y₂ на и x₂. Полу­чим такие же значения, как и для кос­венного МНК.

3. Задание на самостоятельную работу*

По данным таблицы 33 определить параметры модели формирования равновесных цены и спроса-предложения с учетом тренда дохода. Модель описывается системой одновременных уравнений:

Экзогенные переменные модели: R_t – процентная ставка в момент времени t; I_t – доход в момент времени t; I_t-1 – доход в момент времени t-1. Эндогенные переменные: Q^s_t – предложение в момент времени t; Q^d_t – спрос в момент времени t; p_t – цена товара в момент времени t.

Приложение. Формулы для выборочных характеристик

Пусть X и Y – наблюдаемые величины, (x₁, y₁), …, (x_n, y_n) – n наблюдений (выборка) величин X и Y. В данном пособии были использованы следующие обозначения:

– выборочное среднее величины X (Y);

– выборочная дисперсия X (Y);

– выборочное среднее квадратичное отклонение X (Y);

– выборочная ковариация X и Y;

– выборочный коэффициент корреляции. (П-1)

.

Отметим (см., например, [5]), что ( ) являются несмещенными оценками математического ожидания X (Y), а ( ) являются смещенными оценками дисперсии.

Для выборочных дисперсий и ковариации справедливы следующие формулы, которые являются выборочными аналогами формул для дисперсии и ковариации:

где обозначено:

Формулы (П-2) обычно используются для вычисления и .

Подставляя выражение , полученное из формулы (4) для оценки коэффициента парной линейной регрессии, в соотношение (П-1) получим выражение для выборочного коэффициента корреляции, которое использовалось в §1.3 практической работы №1:

Формула для выборочного коэффициента автокорреляции временного ряда:

где t – момент времени, для которого вычисляется коэффициент автокорреляции, τ – временной лаг, n – число наблюдений ряда, y_j – уровень ряда в момент времени j.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ Список

1. Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики, том 2.. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 432 с.

2. Горицкий Ю.А. Практикум по статистике с пакетом STATISTICA. Учебное пособие по курсу «Математическая статистика». – М.: Изд-во МЭИ, 2000. – 44 с.

3. Катышев П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 2003. – 208 с.

4. Кендал М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. – М.: Наука, 1976. – 736 с.

5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 311 с.

6. Магнус Я.Р, Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – М.: Дело. – 504 с.

7. Мур Дж., Уэдерфорд Л., и др. Экономическое моделирование в Microsoft Excel, 6-е изд.: Пер с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 1024 с.

8. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; Под ред. И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.

9. Салманов О.Н.Математическая экономика с применением Mathcad и Excel. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 464 с.

10. Эконометрика.Учебник./Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 344 с.

Содержание

Введение........................................................................................................ 3

Практическая работа №1. Решение задач эконометрики с применением парной линейной регрессии............................... 4

1. Теоретическая часть....................................................................................... 4

1.1. Уравнение парной линейной регрессии..................................................... 4

1.2. Оценивание параметров уравнения линейной регрессии......................... 5

1.3. Понятие тесноты связи................................................................................ 6

1.4. Классическая нормальная линейная регрессионная модель..................... 7

1.5. Оценивание значимости уравнения регрессии.......................................... 8

1.6. Проверка гипотезы о коэффициенте линейной регрессии...................... 10

2. Решение типовой задачи в среде Excel........................................................ 11

2.1. Постановка задачи.................................................................................... 11

2.2. Выполнение задания в среде Excel........................................................... 12

3. Задание на самостоятельную работу.......................................................... 15

Практическая работа №2. Интервальное оценивание параметров уравнения регресии.............................................................................. 15

1. Теоретическая часть..................................................................................... 15

1.1. Доверительный интервал коэффициента регрессии................................ 15

1.2. Доверительный интервал дисперсии возмущений.................................. 16

1.3. Интервальное оценивание функции регрессии........................................ 16

1.4. Интервальное оценивание индивидуальных значений отклика.............. 17

2. Решение типовой задачи в среде Excel........................................................ 17

2.1. Постановка задачи.................................................................................... 17

2.2. Выполнение задания в среде Excel........................................................... 17

3. Задание на самостоятельную работу........................................................... 19

Практическая работа №3. Решение задач эконометрики с применением Множественной линейной регрессии......... 19

1. Теоретическая часть..................................................................................... 19

1.1. Уравнение множественной линейной регрессии...................................... 19

1.2. МНК-оценки коэффициентов множественной линейной регрессии........ 20

1.3. Стандартизированные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности 21

1.4. Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии 21

1.5. Оценивание значимости множественной регрессии................................ 22

1.6. Проверка гипотезы о коэффициентах линейной регрессии.................... 23

1.7. Интервальное оценивание коэффициентов уравнения регрессии........... 24

1.8. Интервальное оценивание дисперсии возмущений................................. 24

1.9. О выборе линейной модели...................................................................... 25

2. Решение типовой задачи в среде Excel........................................................ 26

2.1. Постановка задачи.................................................................................... 26

2.2. Выполнение задания в среде Excel с помощью функции ЛИНЕЙН....... 27

2.3. Выполнение задания с помощью пакета анализа Excel.......................... 29

3. Задание на самостоятельную работу........................................................... 31

Практическая работа №4. Временные ряды в эконометрике 32

1. Теоретическая часть..................................................................................... 32

1.1. Определение временного ряда. Составляющие временного ряда.......... 32

1.2. Коэффициент автокорреляции временного ряда..................................... 33

1.3. Аналитическое определение тренда временного ряда............................ 33

1.4. Проверка гипотезы о некоррелированности остатков............................ 34

1.5.Метод скользящего среднего..................................................................... 35

2. Решение типовых задач в среде Excel......................................................... 37

2.1. Аналитическое определение тренда временного ряда............................ 37

2.2. Проверка некоррелированности остатков............................................... 39

2.3. Сглаживание ряда методом скользящего среднего................................. 41

2.4. Выделение трендовой и циклической компонент временного ряда....... 41

3. Задание на самостоятельную работу........................................................... 47

Практическая работа №5. Использование фиктивных переменных при решении задач эконометрики................................................ 48

1. Теоретическая часть..................................................................................... 48

1.1. О двух моделях выборочных данных в эконометрике........................... 48

1.2. Использование фиктивных переменных для анализа значимости качественных признаков в модели пространственной выборки........................................... 48

1.3. Проверка незначимости качественного признака по критерию Г. Чоу. 49

1.4. Проверка значимости структурных изменений временного ряда.......... 51

1.5. Проверка значимости сезонных изменений временного ряда................ 52

2. Решение типовых задач в среде Excel......................................................... 53

2.1. Оценивание значимости качественных признаков при исследовании пространственных выборок............................................................................. 53

2.2. Проверка значимости структурных изменений временного ряда.......... 56

2.3. Проверка значимости сезонных изменений временного ряда................ 58

3. Задание на самостоятельную работу........................................................... 59

Практическая работа №6. Одновременные уравнения....... 60

1. Теоретическая часть..................................................................................... 60

1.1. Понятие системы одновременных уравнений.......................................... 60

1.2. Некоторые методы решения систем одновременных уравнений............ 61

2. Решение типовой задачи в среде Excel........................................................ 62

2.1. Задание...................................................................................................... 62

2.3. Выполнение............................................................................................... 62

3. Задание на самостоятельную работу........................................................... 63

Приложение. Формулы для выборочных характеристик................... 63

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ...................................................................... 65

 

 

Учебное издание

Батасова Валентина Сергеевна

Практикум по основам эконометрики в среде Excel.

Учебное пособие по курсу «Эконометрика»
для студентов всех направлений подготовки
факультета «Экономика и управление» ГПИ МЭИ (ТУ)

Редактор ___________________________________________________

Темплан издания МЭИ Подписано к печати

Печать офсетная Формат Физ. печ. л. 4, 25

Тираж 300 Изд. № Заказ Цена

ЗАО «Издательский дом МЭИ», 11250, Москва, Красно казарменная, д. 14

Отпечатано в типографии НИИ «Геодезия», 141292, Московская область, г. Красноармейск, просп. Испытателей, д. 14

* нормальность возмущений в теореме Гаусса-Маркова не требуется.

# Свойства 1-3 выполняются и без нормальности возмущений

* Задача взята из [5, §3.2].

* Задание взято из [8, §1.2].

* Нормальность возмущений в теореме Гаусса-Маркова не требуется.

# Для выполнения свойств 1, 2 нормальность возмущений необязательна

* Задача взята из [5, §4.2].

* Данные взяты из справочной системы Microsoft Excel.

** «Пол-входа» означает вход только для доставки корреспонденции.

* Данные взяты из [8, с.150].

* Пример взят из [5], гл.6.

** Примеры этого параграфа взяты из [10], гл.6.

* Данные взяты из [8], с.174.

** Данные взяты из [4].

* Задание взято из [5].

* Задание взято из [3], гл.4.

* Задание взято из [10].

* Задача взята из [3], гл.4.

* Задание взято из [10], с. 266.

* Задание взято из [8], с.136.

Предыдущая1234567891011Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. I.8. Работа является поклонением
2. II. Дифференциальные уравнения
3. III. Сообщение темы и целей урока. Работа над новым материалом.
4. IV. РАБОТА МЕЖДУНАРОДНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ
5. IV. РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ.
6. Б. Работа над «телом» в классе
7. Б. Работа над тестом курсовой
8. Бедные предпочитают получать деньги за отработанные часы.
9. БОГАТЫЕ НЕ РАБОТАЮТ НА ДЕНЬГИ
10. Богатые не работают ради денег
11. В Украине компания официально работает с 1998 года.
12. Важнейший фактор перераспределения богатства – это ростовщические проценты на деньги, которые ежедневно переводят деньги от тех, кто работает, к тем, кто владеет капиталом.