Проверка гипотезы о некоррелированности остатков

Известно (см. §1.4 практической работы №1), что МНК-оценки параметров линейной регрессии в условиях классической нормальной линейной регрессионной модели являются эффективными в классе всех линейных оценок, состоятельными, несмещенными и обладают другими хорошими свойствами. Однако для временных рядов требование независимости возмущений не всегда выполняется. Поэтому после оценки тренда следует проверить гипотезу H₀ об отсутствии автокорреляции остатков: если H₀ отвергается, то качество тренда сомнительно.

В данном пособии рассматривается одно из самых популярных правил проверки гипотезы H₀ – тест Дарбина-Уотсона. В соответствии с этим тестом вычисляется статистика:

. (42)

Можно доказать, что d=2(1-r), где r – выборочный коэффициент автокорреляции ряда (см. Приложение). Так как -1≤ r ≤ 1, то 0≤ d ≤ 4. Значение d=0 (r=1) соответствует случаю сильной положительной автокорреляции остатков, значение d=2 (r=0) – отсутствию автокорреляции, d=4 (r=-1) – сильной отрицательной автокорреляции.

В статистических таблицах (см., например, [5, 8]) для различных значений числа наблюдений n и уровня значимости a приводятся пороговые значения статистики d: нижнее d_н и верхнее d_в, такие, что (см. рис. 5):

· При 0≤ d≤ d_н гипотеза H₀ отвергается (случай положительной автокорреляции).

· При 4-d_н ≤ d≤ 4 H₀ отвергается (случай отрицательной автокорреляции).

· При d_в ≤ d≤ 4-d_в гипотеза H₀ принимается.

·
При остальных значениях d суждение о справедливости H₀ не выносится (d попадает в одну из двух зон неопределенности).

Метод скользящего среднего

Метод скользящего среднего (МСС) состоит в замене каждых k последовательных уровней ряда их средним значением. Величина k называется окном усреднения (сглаживания).

Если k нечетно (k=2l+1, где l-целое положительное число), то скользящее среднее u_t задается формулой:

Таким образом, среднее, вычисленное по k уровням ряда, приписывается к срединному моменту времени окна сглаживания. В приведенной выше формуле t=l+1, …, n-l. Следовательно, скользящее среднее не определено для l начальных и l конечных моментов времени.

Переход от наблюдений Y к скользящему среднему позволяет «сгладить» ряд и получить значения, более близкие к тренду. Действительно, если разброс значений y_t около тренда характеризуется дисперсией s², то разброс среднего по k уровням ряда будет характеризоваться существенно меньшей дисперсией (s²/k – при независимости случайных величин Y(t)). Если ряд содержит циклическую составляющую, то следует брать k равным ее периоду, чтобы отрицательные и положительные отклонения от тренда гасили друг друга.

Рассмотрим случай четного k (k=2l). Предположим, что вычислили среднее значение для 2l моментов времени, начиная с t₀: t₀, t₀+1, …, t₀+l-1, t₀+l, …, t₀+2l-1.Середина такого интервала находится между t₀+l-1 и t₀+l; поэтому непонятно, к какому моменту привязать значение скользящего среднего. Выход состоит в следующем: приписываем среднее любому из этих моментов, например, меньшему – t₀+l-1, а затем полученный ряд еще раз сглаживаем с окном k₁=2, так чтобы скользящее среднее было правильно привязано к центру окна. Эта процедура поясняется также на примере (см. §2.3.4).

Сравним два метода оценивания тренда: аналитический (см. §1.3) и МСС. Первое преимущество МСС состоит в том, что он не требует никаких предположений о характере зависимости T(t); вторым его достоинством является простота вычислений. Очевидный недостаток МСС состоит в отсутствии оценок тренда для первых и последних наблюдений. Кроме того, МСС дает только оценки тренда для моментов наблюдений, и не дает формулу зависимости T(t).

Если ряд имеет циклическую компоненту, то ее значения можно вычислить после определения тренда. Пренебрегая случайными возмущениями, для аддитивной модели ряда из формулы (40) получаем:

S»Y-T, (43)

для мультипликативной модели из формулы (41) получаем:

S»Y/T. (44)

Полученные приближенные значения циклической составляющей далее обрабатываются следующим образом:

Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 11 Следующая