Свободные гармоничесие колебания. Колебания с одной степенью свободы. Сложения колебаний. Биения. Фигуры Лиссажу.

Билет 14.

Вопрос 2.

Среди различных процессов втречаются периодически повторяющиеся (колебания). Колебательный процесс может возникнуть за счёт внешней силы, которая вывела систему из равнвесия и перестала действовать, а колебания происходят под действием только внутренних сил, без участия внешних. Такие колебания наз. собственными. Колебания с одной степенью свободы – это колебания при которых движения системы можно описать одним независимым параметром (координатой). Пример: колебания математического маятника, колебания физического маятника (твёрдое тело, подвешенное за точку и способное колебаться вокруг оси, не проходящей через ц. м.), колебания груза на пружинке.

Уравнения для физического маятника: Je=–mgasina»–mgaa, приведённая длинна физического маятника, равна длинне математического маятника с тем же периодом – l=J₀+ma²/ma. T= , решение этого уравнения: a=a₀cos(wt+j), a₀, j определяются начальными условиями, w – параметр системы. Колебания происходящие по закону sinуса или cosинуса наз. гармоническими.

Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты. x₁=A₁cos(wt+j₁), x₂=A₂cos(wt+j₂). Представим в комплексной форме: x=x₁+x₂=A₁eⁱ⁽^w^t+^j¹⁾+ A₂eⁱ⁽^w^t+^j²⁾=eⁱ^w^t(A₁eⁱ^j¹+A₂eⁱ^j²), A₁eⁱ^j¹+A₂eⁱ^j²=Aeⁱ^j, A²=A₁²+A₂²+2 A₁A₂cos(j₁–j₂, ), tg j=(A₁sinj₁+A₂sinj₂)/(A₁cosj₁+A₂cosj₂) Þ x=x₁+x₂=Aeⁱ⁽^w^t+^j⁾Þ x=Acos(w t–j).

Сложения гармонических колебаний с близкими частотами. x₁=A₁cos(w₁t+j₁), x₂=A₂cos(w₂t+j₂). Каждое из колебаний представим в комплексной форме, а сложение будем производить векторно. Пусть A₁> A₂. Cуммой двух колебаний с близкими частотами является колебание с изменяющейся амплитудой (от А₁–А₂ до А₁+А₂) и с частотой |w₁–w₂|. Колебания амплитуды с частотой W=|w₁–w₂| называются с биениями, а частота W – частотой биения.

Фигуры Лиссажу.

Билет 15.

Вопрос 1.

Уравнение движения в релятивистской меканике. Импульс и энергия. Энергия покоя.

Уравнение движения в релятивистской механике

Полную силу F, действующую на частицу, можно разложить на тангенциальную и нормальную компоненты:

Каждая из компонент силы создает в соответствующем направлении ускорение, которое определяется инертностью тела в этом направлении

;

Если ввести единичные векторы: и , то эти уравнения можно записать в виде:

Левую часть этого уравнения можно упростить.

Принимая во внимание, что: , и представляя формулу:

в виде заменим на

, прямым дифференцированием проверяем равенство , с помощью которого левую часть упрощаемого уравнения преобразуем к виду:

, где -скорость частицы.

Таким образом, уравнение движения в релятивистской механике:

, или - релятивистский импульс.

Импульс материальной точки – вектор, равный произведению массы точки на ее скорость:

Энергия покоя

получается из при

Вопрос 2.

Затухающие колебания. Показатель (коэффициэнт) затухания, логарифмический декремент, добротность.

Затухающие колебания. Воспользуемся наиболее простым случаем «жидкого» или «вязкого» трения, когда сила трения направлениа противоположно скорости и пропорциональна скорости. Колебания при наличии трения становятся затухающими:

. - коэффициент трения,

Решение этого уравнения удобно искать в виде

. Учитывая, что ,

, находим

Решение этого уравфнения: , где

, (*)

При не очень больших

- вещественная величина и

- гармоническая функция

Вещественная часть колебания, описываемого равенством (*), представляется формулой:

Отсюда видно, что амплитуда колебаний уменьшается
в е=2, 7 раза в течение времени

-время затухания, а - показатель (коэффициент, декремент) затухания.

Всё выше написанное относится к случаю не очень больщих коэффициентов трения и когда W – действительное число.

Логарифмический декремент

, ,

- логарифмический декремент

Другая интерпретация:

При амплитуда уменьшается в е раз, поэтому

Добротность. Q=A_рез/А_ст=w₀/2d=2p/2dT=p/q, т. к. w_рез²=w₀²+2d².

Билет 16.

Вопрос 1.

Кинематика твёрдого тела. Углы Эйлера. Поступательное, плоское и вращательное движения тела.

Кинематика твердого тела

(Абсолютно) твердое тело – это система материальных точек, относительные положения которых остаются неизменными, то есть все макроскопические элементы такого тела неподвижны в системе координат жестко связанной с телом

Задача кинематики твердого тела – дать способы описания движения твердого тела и, исходя из закона его движения, определить положение, скорость и ускорение любой точки тела в любой момент времени.

Углы Эйлера

Число степеней свободы – это число независимых величин, которые необходимо задать для того, чтобы однозначно определить положение тела в пространстве.

Для того, что однозначно задать положение твердого тела в пространстве, надо зафиксировать три его точки, не лежащие на одной прямой. Одна материальная точка имеет три степени свободы (X, Y, Z). Две: 3+3-1=5 степеней. В этом случае координаты точек X₁, Y₁, Z₁ и X₂, Y₂, Z₂ не являются независимыми величинами, так как имеется уравнение связи

L²=(X₂-X₁)²+(Y₂-Y₁)²+(Z₂-Z₁)², Где L – расстояние между точками

Таким образом, в общем случае для твердого тела получаем 3+3+3-3=6 степеней свободы.

Зададим три различные декартовы системы координат:

1.Лабораторная X Y Z

2.Система X₀, Y₀, Z₀, начало которой связано с некоторой точкой О твердого тела, а оси остаются параллельными осям лабораторной системы X Y Z, т.е. она движется поступательно.

3.Система x y z, начало которой находится в той же точке О, что и начало x₀ y₀ z₀, а оси жестко связаны с твердым телом.

Тогда шести степеням свободы твердого тела будут соответствовать три координаты точки О (в X Y Z) и три угла φ, ψ, Θ , однозначно определяющие положение системы x y z относительно x₀ y₀ z₀ - углы Эйлера

φ – угол собственного вращения (поворот вокруг оси Z),

ψ – угол прецессии (поворот вокруг Z₀ с сохранением угла Θ между осями Z₀ и Z),

Θ – угол нутации (отклонение тела от оси Z₀)

Поступательное движение

Поступательное движение – это такое движение, при котором любой выделенный в теле отрезок остается параллельным самому себе (движение кабинок «колеса обозрения»).

Допустим, закон движения точки А задан в виде

Тогда закон движения точки В будет иметь вид

Где r_AB – вектор проведенный от точки А к точке В

Скорость точки А V_A =d r_A /dt

Скорость точки В V_B =d r_B /dt= V_A , т.к. r_AB =const

Ускорение: a_A =d V_A /dt=d V_B /dt= a_B

Вращательное движение

Вращательное движение – это такое, при котором две точки тела остаются все время неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны. Другие точки движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и тоже время будут одинаковыми.

Угловая скорость:

Вектор элементарного углового перемещения Δ φ направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом буравчика. Вектор угловой скорости ω =d φ /dt определяет модуль угловой скорости, ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения тела.

Вектор скорости V_A: V_A = ω × r_A (формула Эйлера)

V_A=ω r_A*sinα =ω ρ

Ускорение точки А:

a _A=d ω /dt× r_A + ω × d r_A /dt= ε × r_A + ω × V_A

e - угловое ускорение тела

a_A = a_t + a_n - все три вектора лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения

a_t = e× r_A =e*ρ * t - тангенциальное ускорение ( t - единичный вектор в направлении V_A).

a_n = ω × V_A = ω × ( ω × r_A )=ω ²r n – центростремительное ускорение (n – единичный вектор в направлении к оси вращения)

Плоское движение

Плоское движение – это такое движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в неподвижных параллельных плоскостях.

Скорость любой точки А тела геометрически складывается из скорости какой-либо другой точки О, принятой за полюс, и скорости вращательного движения вокруг этого полюса.

Радиус-вектор точки А:

r_A = r₀ + r` , r` - вектор, проведенный из полюса в точку А.

Скорость точки А:

V_A = d r_A /dt= d r₀ /dt+ d r` /dt= V₀ + ω × r`

Отсюда можно сделать вывод, что в любой момент времени должна существовать такая точка М, скорость которой в лабораторной системе X Y Z равна нулю – для этой точки

V₀= -ω × r`

Причем точка может находиться и вне тела.

Таким образом, плоское движение твердого тела в данный момент времени можно представить как чистое вращение вокруг оси, проходящей через эту точку М - мгновенной оси вращения.

Ускорение точки А:

a_A =d V_A /dt=d V₀ /dt+d ω /dt× r` + ω × d r` /dt= a₀+a_t+a_n

a_t = e× r`

a_n = ω × d r` /dt= ω × ( ω × r` )= ω *( ω * r` )- r` ( ω * ω ) =- ω ² * r `

(( ω * r` )=0, т.к. ω ^ r` )

Вопрос 2.

АЧХ и ФЧХ. Резонанс.

АЧХ-кривая, описывающая зависимость амплитуды вынужденных установившихся колебаний от частоты внешней силы.

ФЧХ-то же для разности фаз вынужденных колебаний и внешней силы. резонанс: w»w₀

А=А₀sin(w₀t+j)

Ä +w₀²A=0

2gÁ =(F₀/m)sinw₀t

A=(F₀/2mgw₀)sin(wt-p/2)

A₀=F₀/2mgw₀=( F₀/mw₀²)*(w₀/2p)=(F₀/k)*Q

tg j = (2gw)/(w₀²-w²)

½ (w₀-w)/w½ < < 1

(w₀²-w²)² = (w₀-w)²*(w₀₊w)²; w₀₊w ≈ 2ω ; 4γ ²ω ² ≈ 4γ ²ω ₀²

– Формула Лоренца

∆ ω = 2δ =ω ₀/Q - ширина резонансной кривой.

g=d — дектремент затухания.

W=(ω ₀²-g²)^1/2.

Билет 17.

Вопрос 1.

Билет 18.

Вопрос 1.

Момент импульса твёрдого тела относительно оси. Момент инерции относительно оси. Теорема Штейнера. Примеры вычисления осевых моментов инерции.

Уравнение моментов. Момент инерции относительно закрепленной оси. Рассмотрим твердое тело как систему жестко связанных между собой материальных точек. Уравнение движения для i-й материальной точки массы m, в лабораторной системе координат имеет вид:

где F. — сумма всех внешних сил, действующих на i-ю материальную точку, f — сила, действующая на i-ю материальную точку со стороны j-й материальной точки, т.е. внутренняя сила. Будем полагать, что силы взаимодействия являются центральными, то есть векторы и коллинеарны.

Умножим обе части уравнения движения (В.6) векторно на радиус-вектор

С учетом того, что

(так kак , то ), после суммирования по всем точкам системы получим

Величина ^— импульс i-й материаль-

ной точки) называется моментом импульса системы относительно некоторой неподвижной точки, выбранной за начало координат;

момент внешних сил относительно той же точки; величина является моментом всех внутренних сил. Выражение для момента внутренних сил можно преобразовать:

Заметим, что для центральных сил . Тогда с

учетом введенных выше обозначений уравнение (В.8) записывается в

следующем виде:

(B10)

Это уравнение называется уравнением моментов.

Если твердое тело вращается вокруг закрепленной оси, то векторное уравнение (В.10) сведется к скалярному уравнению. В частности, если ось вращения совпадает с осью координат z, то

М — проекции L и М на ось г.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w скорость каждой материальной точки т, тела будет равна

где l — ее расстояние до оси z. Проекции моментов импульса

на ось z для этих точек будут равны Так как w одинакова для всех точек твердого тела, то момент импульса всего тела относительно оси z равен

Величину (B13)

называют моментом инерции тела относительно закрепленной оси. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении относительно закрепленной оси.

получаем основное уравнение вращательного движения тела вокруг закрепленной оси z:

При непрерывном распределении массы по объему для вычисления момента инерции пользуются не суммированием, а интегрированием по всему объему тела и тогда (В. 13) приводится к следующему виду:

Если удалось определить момент инерции jo относительно некоторой оси, проходящей через центр масс — точку с радиусом-вектором

(m—масса точки тела, r— ее радиус-вектор), то в

соответствии с теоремой Гюйгенса—Штейнера момент инерции тела / относительно любой другой оси, параллельной первоначальной и находящейся на расстоянии а от нее, равен

(В. 17) где т — масса тела.

Теорема Гюнгенса-Штейнера. Вычисление моментов инерции относительно оси во многих случаях облегчает теорема Гюйгенса, связывающая моменты инерции относительно двух параллельных осей, одна- из которых проходит через центр масс тела. Ось АоВо пусть будет осью, проходящей через центр масс. Радиус-вектор точки с массой m отсчитываемый от этой оси в плоскости, перпендикулярной оси, обозначим R„ а от оси АВ, параллельной оси АоВо, но не проходящей через центр масс, r. Проведем от оси АоВо к оси АВ в этой плоскости вектор а. Пусть Jо — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, a J — относительно оси АВ, не проходящей через центр масс. По определению моментов инерции имеем

(32.11)

Видно, что r = - a+R; и, следовательно, Поэтому получаем

(32.12)

Учтем, что =0 по определению оси, проходящей через центр масс, а =m—масса тела.

Поэтому (32.12) принимает вид

Моменты инерции параллелепипеда со сторонами а, b и с относительно его главных осей. Выберем оси системы координат (х, у, z) совпадающими с главными центральными осями. Начало системы координат совпадает с центром параллелепипеда. Для определения момента инерции относительно оси Ох представим параллелепипед как совокупность тонких прямоугольных пластинок массой dm = dy и

толщиной dy. Момент инерции каждой такой

пластинки относительно оси Ох в соответствии с теоремой Гюйгенса—Штейнера равен

Момент инерции всего параллелепипеда получим, интегрируя по всему объему Аналогично вычисляются моменты инерции относительно осей у и х:

Вопрос 2.

Работа внешней гармонической силы при вынужденных колебаниях. Автоколебания. Параметрические колебания. Примеры.

Параметрические и автоколеьания. Пример. Работа внешней силы.

Работа за период: A_пер.=(F₀²bw²T)/((w²₀-w²)+4w²b²)

Из-за потери энергии на трение собственные колебания постепенно затухают. Если к осциллятору подводить энергию от источника внешней гармонической силы, -то он начнет колебаться с частотой этой силы, которая вообще говоря, отличается от собственной частоты осциллятора.

Однако можно создать устройства, в которых осциллятор сам регулирует подвод энергии из внешнего источника таким образом, чтобы компенсировать потери энергии на трение. За период колебаний из внешнего источника энергия, приобретаемая осциллятором, равна энергии, затрачиваемой на преодоление сил трения. В результате осциллятор совершает незатухающие колебания. Такие самоподдерживающиеся колебания называются автококлебаниями. Если трение невелико, то за один период в систему поступает лишь небольшая доля полной энергии осциллятора. В этом случае автоколебания с очень большой точностью являются гармоническими и их частота очень близка к частоте собственных колебаний. Если же силы трения велики, то за один период в систему подводится значительная часть полной энергии осциллятора и поэтому колебания сильно отличаются от гармонических, хотя и являются периодическими. Период этих колебаний не совпадает с периодом собственных колебаний осциллятора.

Автоколебания маятника. Рассмотрим колебания маятника, подвешенного на оси во вращающейся втулке (Матвеев рис. 156 305 стр), и превращение его энергии в различных случаях. Вращающаяся втулка в результате скольжения относительно оси совершает работу на преодоление сил трения. Источником энергии, превращенной во внутреннюю, является машина, приводящая во вращение втулку. В тот полупериод колебаний маятника, когда направления вращения оси маятника и втулки совпадают, силы трения совпадают по направлению с движением точек поверхности оси. Поэтому эти силы вызывают усиление колебаний маятника. С другой стороны, энергия, превратившаяся во внутреннюю, за врмя полупериода колебаний в сравнении со случаем покоящегося маятника уменьшаетс, я ввиду того, что относительное перемещение трущихся поверхностей (внешняя поверхность оси и внутренняя поверхность втулки) уменьшается. Поэтому лишь часть энергии от машины, вращающей втулку, превращается во внутреннюю, а другая часть идет на увеличение энергии колебаний маятника. В другой полупериод колебаний маятника, когда направления вращения его оси и оси втулки противоположны, силы трения действуют против направления движения маятника. Поэтому они тормозят его движение и энергия колебаний маятника превращается во внутреннюю. Энергия от машины, вращающей втулку, в этом случае также полностью превращается во внутреннюю. Полный результат превращений энергии в течение периода колебаний определяется характером зависимости сил трения от скорости. Если силы трения не зависят от скорости, то энергия, приобретаемая маятником в полупериоде колебаний, когда направления вращения его оси и вала совпадают, равна энергии, теряемой им на работу против сил трения в другом полупериоде. В этом случае вращение втулки не вносит каких-либо изменений в колебания маятника в сравнении со случаем невращающейся втулки. Если сила трения увеличивается с возрастанием скорости, то энергия, приобретаемая маятником за полупериод колебаний, когда направления вращения его оси и вала совпадают, меньше энергии, теряемой им на работу против сил трения в другом полупериоде, поскольку во втором полупериоде относительные скорости больше, а следовательно, и силы трения больше, чем в первом полупериоде. В этом случае вращение втулки увеличивает затухание колебаний маятника.

Параметрическое возбуждение колебаний. Свойства колеблющихся систем описываются величинами, называемыми параметрами. Например, математический маятник характеризуется одним параметром — его длиной. При изменении этого параметра изменяются колебательные свойства маятника, а именно частота собственных колебаний. Если этот параметр изменять в определенном такте с колебаниями, то можно сообщить маятнику энергию и тем самым увеличить амплитуду его колебаний либо просто поддерживать колебания в незатухающем режиме. Такое возбуждение и поддержание колебаний называется параметрическим.

Хорошо известным примером параметрического возбуждения и поддерживания колебаний является качание на качелях. Когда качели находятся в верхней точке, качающийся на них приседает, а когда качели проходят нижнюю точку, он снова выпрямляется. В результате приседания в верхних точках совершается меньшая по модулю работа, чем работа при подъеме в нижней точке. Разность работ, по закону сохранения, равна разности энергий качаний, и качели раскачиваются. Если эта энергия затрачивается полностью на работу силы трения, то качания поддерживаются в незатухающем режиме.

Билет 19.

Вопрос 1.

Вопрос 2.

Колебания системы с двумя степенями свободы. Нормальные колебания(моды). нормальные частоты. Примеры.

Если система обладает несколикими слепенями свободы, то при малых отклонениях от положения равновесия возможны колебания сразу по всем степеням свободы. Обычный маятник может колебаться в двух взаимо перпендкудярных вертикальных плоскостях, проходящих через точку подвеса. Поэтому он имеет две степени свободы. Наличие связи раздичных степеней свободы между собой придает колебанию системы со многими степенями свободы новые физические закономерности.

Связанной системой называется система со многими степенями свободы, между которыми имеется связи, обеспечивающие возможность обмена энергией между различными степенями свободы. Примером связанной системы с двумя степенями свободы могут служить два маятника, соединенных между собой пружиной.

Несмотря на сложность движения двух связанных маятников, оно всегда может быть представлено как суперпоизция четырех гармонических колебаний, частоты которых называются нормальными частотами связанной системы. Число нормальных частот равно числу степеней свободы. В приведенном примере имеем две степени свободы. И можно представить колебание как суперпозицию двух колебаний.

ω I S^I₁(t)=S20sin(ω _I*t+φ _I)

S^I₂(t)=S₁₀sin(ω _I*t+φ _I)

ω I, S^I20/S^I10=1 – первая мода

ω I=√ (k/m)

ω II S^II₁(t)=S^II20*sin(ω _II*t+φ _II)

S^II₂(t)=S^II_10*sin(ω _II*t+φ _II)

ω II, S^II20 / S^II₁₀= -1 – вторая мода

ω II=√ ((k+2k1)/m)

S₁(t)=S^I10*sin(ω _I*t+φ _I)+S^II10*sin(ω _II*t+φ _II)

S₂(t)=S^I20*sin(ω _I*t+φ _I)+S^II20*sin(ω _II*t+φ _II)

ω I, ω II, S^I20/S^I10, S^II20 / S^II₁₀}à известны

Начальные условия S1(0), S1^'(0)

S₂(0), S₂^'(0) } → S^I10; φ _I

S^II10; φ _II

Еслимаятинки отклонить одинаково в одну сторону, то они колеблются с некоторой частотой ω 1, которая называется нормальной. Частота колебаний маятников, отклоненных одинаково в противоположных направлениях, является другой нормальной частотой ω 2.

Если ω _I≈ ω _II, |ω _I– ω _II| < < ω _I≈ ω _II,тогда отчетливо будут наблюдаться биения. Биение – колебание, которое происходит с медленой частотой и является суммой двух гармонических колебаний с близкими частотами. Это колебание с изменяющейся амплитудой. Оно лишь приблизительно гармоническое с частотой ω _I≈ ω _II, а его амплитуда изменяется с частотой |ω _I– ω _II|. T_биен=2p/(ω _I– ω _{II ).}

_Δω =ω _I– ω _II

< ω > =(ω _I+ω _II)/2

S₁(t)=2*S₁(t)*(cos( _Δω /2)t) *cos(< ω > t)

S₂(t)=2*S₁(t)*(sin(_Δω /2)t) *cos(< ω > t)

Билет 20.

Вопрос 1.

Закон сохранения момента импульса системы тел и его связь с изотропностью пространства. Примеры.

Момент импульса материальной точки. Пусть положение некоторойматериальной тоски относительно точки О, принятой за начало координат, характеризуется радиусом-вектором r. Моментом импусльса материальной точки относительно О называется вектор

L=r´ p.

Моментом импульса системы материальных точек относительно тоски О, принятой за начало, называется сумма моментов импульса, материальных точек, составляющих систему.

Закон сохранения момента импульса. Этот закон справедлив лишь для изолированных систем. Для них момент внешних сил М равен нулю и уравнение моментов принимает вид

dL/dt=0

Интегрируя это уравнение получаем

L=const,

L_x=const, L_y=const, L_z=const

Это равенство выразает закон сохранения момента импульса:

момент импусльса изолированной системы не изменяется при любых процессах, происходящих внутри системы.

Может случится, что система не является полностью изолированной, но на некоторое направление, например на ось z, проекция момента сил равна нулю. Тогда уравнение моментов озапишится в проециях в следующем виде:

dL_x/dt=M, dL_y/dt=M, dL_z/dt=0. L_z=const.

Поэтому закон сохранения момента импульса можно применять не только к полностью изолированным системам, но и к частичнро изолированным.

Связь закона сохранения момента импульса с изотропностью пространства. Под изотропностью пространстав понимается эквивалентность различных направлений в пространстве. Это означает, что если имеется некоторая изолированная физическая система, то развитие событий в ней зависитот того, как она ориентирована в пространстве. В применениии к изилированной системе материальных точек отсюда следует, что угловое перемещение системы на δ φ не изменит её внутреннего состояния и его внутренних движений. Поэтому полная работа внутренних сил при угловом перемещении должна быть равна нулю. При угловом перемещении δ φ материальная точка, характеризуемая радиусом вектором r_i , испытывает смещение δ r_i =δ φ *r_i. Равенство нулю полной работы внутренних сил при угловом перемещении системы на δ φ выражается в виде

½ *∑ ∑ (δ r_i∙ F_ji+δ r_i∙ F_ij)=0. (1)

Следовательно можно написать:

δ r_i∙ F_ji+δ r_i∙ F_ij=(δ φ ´ r_i)∙ F_ji+( δ φ ´ r_i)∙ F_ij=δ φ ∙ (r_i´ F_ji)+δ φ ´ (r_i´ F_ij)=δ φ ∙ [(r_i-r_j)´ F_ji], (2)

гдево внимание известное из векторной алгебры правило о циклической перестановке сомножетелей в смешанном векторном произведении и третий закон Ньютона. Пожставляя (2) в (1), находим ½ *∑ _i∑ _jδ φ ∙ [(r_i-r_j)*F_ji]=0. Поскольку угловое перемещение δ φ произвольно , получаем равенство ∑ _i∑ _j(r_i-r_j)*F_ji=0. Можно сказать, что полученное равенство следует из изотропности пространства. А это означает, что закон сохранения момента импульса изолированной системы материальных точек обусловлен фундаментальным свойством пространства в инерциальных система – его изотропностью.

Вопрос 2.

Билет 21.

Вопрос 1.

Уравнение движения ценра масс и уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс при плоском движении твёрдого тела. Примеры.

НЭТУ.

Вопрос 2.

Волновое уравнение.

S(t, r)=S₀sin(wt– ); ¶²S/¶t²=–w²S; Þ

¶²S/¶x²+¶²S/¶y²+¶²S/¶z²=–S(k_x²+ k_y²+k_z²)=–Sk²

¶²S/(¶t²c²)=¶²S/¶x²+¶²S/¶y²+¶²S/¶z²

¶²S/¶t²=DS/c², где DS – оператор Лапласа. c=w/k

Волновому уравнению также удовлетворяет уравнение любого импульса.

S=S(t– /c)

Билет 22.

Вопрос 1.

Волны в жидкости (газе).

Жидкости и газы обладают только объёмной упругостью. В них возможны только продольные волны.

Рассмотрим участок газа, сечения s, длины dx.

dm=r₀sdx; r₀sdx(¶²S/¶t²)=[P_x – P_x+dx]s; p₀(¶²S/¶t²)= – ¶P/¶x

P@p^g

При малых изменениях давления у положения p₀

dP = (¶P/¶r)_p0 dr =c²dr; –¶P/¶x =–c² ¶(dp/¶x)=–c² ¶/¶x[p₀(–¶S/¶x)]=c²p_o(¶²S/¶x²)

(¶²S/¶t²)= c² (¶²S/¶x²), c²= ¶P/¶r, при p=p₀

Зависимость от температуры:

P=rRT/M; P=const p^g; dP/dp= g const p^g-1= g P₀/r₀

Зависимость: C²=gP₀/r₀= g RT/M; g=C_P/C_V.

12 3 4