Предмет механики. Пространство и время в механике Ньютона. Система отсчёта. Кинематика материальной точки. Закон движения. Скорость, угловая скорость, ускорение, угловое ускорение.

Билет 1.

Вопрос 1.

Механика –наука о движении и равновесии тел. При построении теории физика заменяет реальные обьекты их идеализированными моделями. Движение – это изменение относительнеого положения тела с течением времени. Впервые принципы механики сформулированы Ньютоном в «Математических началах натуральной философии». Тело или система тел, относительно которых определяется положение остальных тел называется простанственной системой отсчета (ПСО). В качестве ПСО можно взять произвольное твердое тело и связать с ним координатные оси, например, декартовой системы координат. Существует два вида координатных систем: 1) правая, 2) левая. Определяются они с помощью правила буравчика.

Пространство (по Ньютону) – это совокупность физического тела и возможных его продолжений.

Время – это показание каких-то часов (под часами понимается любое тело или система тел, в которых совершается периодический процесс, служащий для измерения времени).

Материальная точка – это тело, размеры которого пренебрежимо малы, что в рассматриваемом движении их можно не принимать во внимание и считать, что все вещество тела как бы сосредоточено в одной точке. Материальная точка – это абстракция, идеализированный образ реально существующих тел.

Движение материальной точки будет описано полностью, если известно ее положение в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета. Полное описание движения сводится к нахождению трех координат: x = x(t); y = y(t); z = z(t); или к нахождению векторной функции r = r(t). .

– мгновенная скорость.

Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки: ,

Понятие угловая скорость и угловое ускорение относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Положение точки М на окружности задается углом a, который составляет радиус-вектор точки М с неизменным направлением ОХ. Производная этого угла по времени называется угловой скоростью w: . Если w = Сonst, то движение равномерно. n=w/2p – число оборотов в единицу времени (частота обращения).

Первая призводная угловой скорости и вторая производная угла по времени – это угловое ускорение: . Продифференцируем S=r´ a по времени и получаем:

S’=(r’)*a+(a’)*r=w*r

S’’=(w*r)’=r*w’+r’*w=re (тангенциальное ускорение)+v*w (=v²/r — центростремительное).

Вопрос 2.

Билет 2.

Вопрос 1.

Инерциальные системы отсчёта. Преобразования Галлилея. Инварианты этого преобразования.

Система отсчёта, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно называется инерциальной.

Утверждение впервые высказанное Г. Галилеем, о том, что во всех инерциальных системах координат механические явления протекают одиноково, называется принципом относительности Галилея. В дальнейшем в результате изучений других явлеий, в частности электромагнитных, справедливость этих полоений была признана для любых явлений. В таком общем виде оно называется принципом отнгсительности СТО или просто принципом относиельности

Преобразования Галилея. Рассмотрим систему отсчета, либо неподвижную, либо движущуюся с постоянной скоростью и с единым временем. Для этих систем справедлив принцип относительности Галилея. Имеется система отсчета К и система отсчета К^’, которая движется со скоростью V относительно системы К.

[x; y; z; t x^’; y’; z’; t’]

Физическая сущность этого преобразования составляет принцип относительности Галилея

1. t = t^’

2. DL = DL’ (длины отрезков одни и те же).

Следующие преобразования отражают механический принцип относительности:

x^’ = x – vt; y^’ = y; z^’ = z; t^’ = t

Обратные преобразования: x = x^’+vt; y = y^’; z = z^’; t = t^’

(из них можно получить закон сложения скоростей)

Уравнения, остающиеся неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, называются инвариантными.

События, одновременные в одной системе, одновременны и в другой, т. е. утверждение об одновременности двух двух событий имеет абсолютный характер, независимый от системы координат.

Длинна – инвариант преобразований Галлилея. Длинной движущегося стержня наз. расстояние между координатами его концов в некоторый момент времени. Следуя из этого инвариантность длинны легко доказывается.

Интервал времени явл. инвариантом преобразований Галлилея (Dt=t₂–t₁=t’₂–t’₁=Dt’)

Сложение скоростей получается из дифференциирования формул преобразования Галлилея.

Ускорение инвариантно относительно преобразований Галлилея. Это утверждение доказывается дифференциированием преобразований скорости и учитывая, что Dt=Dt’.

Вопрос 2.

Билет 3.

Вопрос 1.

Понятие массы, импульса, силы в механике Ньютона. Законы Ньютона и их инвариантность относительно преобразований Галилея.

Масса:

1) Всякое тело оказывает сопротивление при попытках изменить модуль или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. Масса - мера инертности.

2) Изолированная система – система тел, настолько удаленных от всех остальных тел, что они практически не оказывают действия на рассматриваемую систему.

Рассмотрим изолированную систему из двух материальных точек (их скорости много меньше скорости света). Dv₁, Dv₂ - приращения скоростей м.т. за одинаковый Dt. Из опыта: m₁ Dv₁ =–m₂ Dv₂, где m₁, m₂ - положительные величины, не зависящие от характера взаимодействия между м.т., от Dv₁ и Dv₂, а зависящие только от самих м.т. Тогда m₁, m₂ – инертные массы м.т. 1 и 2.

Импульс: p =m× u - импульс м.т. Импульс системы м.т. - p = p₁ + p₂ +...+ p_n

Сила: Сила - любая причина, изменяющая импульс движущегося тела (мера взаимодействия). Одно из количественных определений: m r ¢ ¢ = F.

Законы Ньютона:

I. Существуют такие системы отсчета, в которых изолированная точка движется прямолинейно и равномерно (инерциальные системы отсчета).

II. (уравнения движения м.т.): (m u) ¢ = F. (в исо)

III. Силы взаимодействия двух м.т. равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей их.

В замкнутой системе из двух м.т. p₁+p₂=const (из m₁× Dv₁ =-m₂× Dv₂) Þ p₁ ¢ =- p₂ ¢ Þ F₁ =- F₂

Следствие из III (закон сохранения импульса замкнутой системы м.т.): (1), где (2) - полная внутренняя сила, действующая на j-тую частийу системы м.т.,

(3) - полная внешняя сила, действующая на j-тую частийу системы м.т.

Тогда (4)Þ (5)

Инвариантность:

S - исо, S¢ движется относительно S с V (V< < c).

r¢

O¢

S¢

z¢

y¢

y yyyy

Замкнутая система – это система, удалённая от остальных тел, на которую не оказывается действие.

Рассмотрим изолированную систему из двух мат. Точек, после взаимодействия их скорости изменятся на DV1 DV2

Векторы будут связаны так: m1V1 = -m2V2, коэфициенты m1, m2 называются массами

Опр. Величина m v = p называется импульсом материальной точки, импульс системы – это сумма импульсов всех её точек. Импульс замкнутой системы из двух точек неизменен.

Сила.

Под силой в механике Ньютона принимается любая причина изменяющая импульс движущегося тела.

Рассмотрим Инерциальную систему отсчёта:

dp/dt = t/dt*(mv) = F

Величина называется силой, действующей на тело, очевидно, сила – векторная величина.

Второй закон Ньютона: Таким образом в И.С.О. поизводная импульса по времени равна силе действующей на тело.

Рассмотрим две точки в И.С.О.:

P 1+ p 2=const, следовательно d p 1/dt + d p 2/dt = 0

Следовательно F 1 = - F 2, где F 1 и F 2 – силы взаимодействия

Третий закон Ньютона: То есть силы взаимодействия двух мат. Точек равны по величине и противополжны по направлению. Действуют они по прямой, соединяющей эти две точки.

Т.к. r = r ’ + V t’, t=t’

d r /dt = d r ’/dt + V = d r ’/dt’ + V ’.

v = v ’ + V – закон сложения скоростей

d v /dt = d v ’/dt = d V /dt, a = a ’

Сис. Отсчёта, двигающаяся равномерно и прямолинейно относительно И.С.О. – является И.С.О.

Так как F = F ’ следовательно сила инвариантна относительно преобразований Галилея.Ускорение тоже инвар.

Следовательно, уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобр. Галилея.

Вопрос 2.

Билет 4.

Вопрос 1.

Билет 5.

Вопрос 1.

Импульс системы тел. Закон сохранения импульса системы тел и его связь с однородностью пространства. Теорема о движении центра масс. Примеры.

СМТ наз. изолированной если отсутствуют внешние силы.

Назовем импульсом или количеством движения материальной точки вектор, равный произведению массы точки на ее скорость: Р =m× v

Импульсом или количеством движения системы материальных точек назовем векторную сумму импульсов отдельных материальных точек, из которых эта система состоит:

Закон сохранения импульса. Импульс изолированной или замкнутой системы 2-х материальных точек сохраняется, т. е. остаёьтся неизменным во времени, каково бы ни было взаимодействие между нимим. Это утверждение справедливо также и для изолированной с. м. т., состоящей из сколь угодно большого числа м. т.

Запишем третий закон Ньютона для замкнутой системы, состоящей из произвольного числа материальных точек.

F₁⁽ⁱ⁾+F₂⁽ⁱ⁾+…+Fn⁽ⁱ⁾=0, (1)

где Fn⁽ⁱ⁾– полная внутренняя сила., действующая на n-ную точку. Обозначим далее символами F₁^(e), F₂^(e), … внешние силы, действующие на материальные точки системы. Тогда на основании второго закона Ньютона можно записать

Сложив почленно эти уравнения и приняв во внимание соотношение (1) найдем

(2)

где р- импульс всей системы, F^(e)-равнодействующая всех внешних сил, действующая на нее. Пусть теперь геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю (Например замкнутая система). Тогда (dp/dt)=0, или p=const.

Закон сохранения импульса является отражением фундаментального св-ва пространства - его однородности.

Теорема о движении центра масс. Ц. м. движется так, как двигалась бы материальная точка с массой m под действием таких же по величине и напр. сил. На ускорение ц. м. влияют только внешние силы.

Теорема о движении центра масс. В нерелятивистской механики импульс системы р может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс или центром инерции системы называется такая воображаемая точка, радиус-вектор R которой выражается через радиусы-векторы r₁, r₂, … материальных точек по формуле

R=(m₁r₁+m₂r₂+…)/m, где m=m₁+m₂+….Если продифф. Выражение по времени и умножить на m то получится: , -скорость центра масс системы. Таким образом, p=mV. Подставив это в (2): Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила - геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. В релятивистском случае потятие ц. м. не является инвариантным понятием, не зависящем от выбора системы координат, и поэтому не применяется. Для материальной точки з. с. импульса означает, что в отсутствии внешних сил она движется с постоянной скоростью по прямой линии. Для СМТ в нерелятивистском случае закон утверждает, что ц. м. движется равномерно и прямолинейно.

Под однородностью пространства понимается эквивалентность всех точек пространства друг другу. Это означает, что если имеется некоторая изолированная система, то развитие в ней не зависит от того, в точках какой области пространства эта система локализована. Если все точки системы сместить на Dr, то в состоянии системы ничего не изменится, т. е. работа внутренних сил системы =0. Dr . Ввиду независимости взаимодействий каждой из пар точек друг с другом Þ F_ij+F_ji=0. Þ закон созранения импульса изолированной системы материальных точек обусловлен фундаментальным свойством пространства в ИСО –– его однородности. Отсюда можно заключить, что с однородностью пространства связан и принцип относительности.

Вопрос 2.

Билет 6.

Вопрос 1.

Закон Паскаля.

Если пренебречь силами тяготения, действующими на каждый элементарный объем жидкости, то из условия равновесия этого объема следует, что

p₁₁= p₂₂= p₃₃= p (1)

При этом давление p, возникающее вследствие внешнего воздействия, является скалярной величиной и одинаково во всех точках объема, занятого покоящейся жидкостью. Условие (1) автоматически обеспечивает не только равенство нулю суммы сил давления, приложенных к данному объему, но и равенство нулю суммарного момента этих сил.

Для доказательства этого условия рассмотрим неподвижную жидкость, помещенную в цилиндрический сосуд с площадью основания S₁, закрытый сверху поршнем.

Если надавить на поршень силой F₁, то в жидкости будут созданы внутренние напряжения (давления). Рассмотрим условия равновесия элементарного объема жидкости, имеющего форму кубика. На единицу его поверхности будет действовать сжимающая сила f_ii=-p_iin_i, направленная противоположно нормали n_i к i-ой поверхности. Поскольку силы, действующие на противоположные грани кубика, равны по величине, то p₁₁=F₁/S₁. Равенство давлений р₁₁ и р₂₂следует из условия равновесия половины кубика, выделенного более темным цветом и изображенного на фрагменте. Действительно, f₁₁= f₂₂= f /(2)^{0, 5}. Поэтому р₂₂=р₁₁. Рассматривая равновесие элементарных объемов в различных точках жидкости, получим условие:

p_ii=p=F₁/S₁

которое является математическим выражением закона Паскаля.

Если рассмотренный сосуд соединить при помощи трубки с другим цилиндрическим сосудом с площадью основания S₂, то при открывании крана К внутренние напряжения в соответствии с законом Паскаля передадутся во второй сосуд. На поршень, закрывающий этот сосуд, жидкость будет давить вверх с силой

F₂ = pS₂ = (F₁/S₁ )S₂.

Жидкость во внешем поле.

Рассмотрим напряжения, возникающие в жидкости, находящейся в поле внешних сил.

Пусть к элементу жидкости объемом dV=dxdydz приложена внешняя сила FdV ( F – плотность силы).

В результате возникающих внутренних напряжений на нижнюю грань кубика с координатой х и площадью dydz в положительном направлении оси x действует сила давления p(x, y, z)dydz, а на верхнюю грань – p(x+dx, y, z)dydz. При равновесии кубика выполняется равенство

p(x, y, z)dydz – p(x+dx, y, z)dydz + F_xdxdydz = 0

Аналогичные равенства записываются по двум другим осям

p(x, y, z)dxdz – p(x, y+dy, z)dxdz + F_ydxdydz = 0

p(x, y, z)dxdy – p(x, y, z+dz)dxdy + F_zdxdydz = 0

Разделив левые и правые части равенств на элементарный объем получаем условие равновесия в виде дифф. уравнений: - dp/dx + F_x = 0; - dp/dy + F_y = 0; - dp/dz + F_z = 0

Отсюда следует, что давление не остается постоянным и изменяется в трех направлениях, по которым действует внешняя сила. Если ввести вектор градиента давления

grad p = Ñ p = dp/dx e_x + dp/dy e_y + dp/dz e_z, где е_х,е_у, e_z – единичные вектора вдоль осей координат: - grad p + F = 0.

Примером служит жидкость в поле тяжести земли. Рассказать про сообщающиеся сосуды.

Билет 7.

Вопрос 1.

Билет 8.

Вопрос 1.

Билет 9.

Вопрос 1.

Соударение тел. Абсолютно упругий и неупругий удары. Применение законом сохранения для описания столкновения тел.

Абсолютно неупругим ударом, называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело.

Сталкивающиеся тела деформируются, возникают упругие силы и т.д. Однако если удар неупругий то, в конце концов все эти процессы прекращаются, и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое твёрдое тело.

v₁ v₂

m₁ m₂

Рассмотрим абс. неупругий удар на примере столкновения двух шаров. Пусть они движутся вдоль прямой, соединяющей их центры, со скоростями v₁ и v₂. В этом случае говорят что удар является центральным. Обозначим за V общую скорость шаров после соударения. Закон сохр. Импульса даёт:

m₁v₁+m₂v₂=(m₁+m₂)V Þ V=(m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂)

Кин. энергии системы до удара и после: K₁=1/2(m₁v₁²+m₂v₂²) K₂=1/2(m₁+m₂)V

Пользуясь этими выраж. получаем: K₁-K₂=1/2m(v₁-v₂)(v₁-v₂)

где m =m₁m₂/(m₁+m₂) приведенная масса шаров. Таким образом, при столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кин. энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведённой массы на квадрат относительной скорости.

Абсолютно упругим ударом называется столкновение тел, в результате которого их внутренние энергии не меняются. Пример: Столкновение бильярдных шаров из слоновой кости, при столкновениях атомных, ядерных частиц. Рассмотрим центральный удар двух шаров, движущ-ся навстречу друг другу:

(m₁v₁²)/2+(m₂ v₂²)/2=(m₁u₁²)/2+(m₂ u₂²)/2

и:

m₁v₁+m₂v₂=m₁u₁+m₂u₂

u1=[(m₁-m₂)v₁+2m₂v₂] / (m₁ +m₂)

u2=[(m₂-m₁)v₂+2m₁v₁] / (m₁+m₂)

При столкновении двух обинаковых абсолютно упругих шаров они просто обнениваются скоростями.

Вопрос 2.

Билет 10.

Вопрос 1.

Билет 12.

Вопрос 1

Преобразования Лоренца. Инвариантность интервала при этих преобразованиях. Собственное время. Собственная длинна.

Преобразования Лоренца обоснованы на принципе относительности (Утверждение впервые высказанное Г. Галилеем, о том, что во всех инерциальных системах координат механические явления протекают одиноково, называется принципом относительности Галилея. В дальнейшем в результате изучений других явлеий, в частности электромагнитных, справедливость этих полоений была признана для любых явлений. В таком общем виде оно называется принципом отнгсительности СТО или просто принципом относиельности) и принципа постоянства скорости света (независимость скорости света от скорости источника и скорости наблюдателя. Это постулат).

Однородность пространства: начало системы координат может быть помещено в любой точке и все геометрические соотношения между любыми геометрическими обьектами при этом совершенно одинаковы с теми, которые получаются при помещении начала координат в любую другую точку.

Изотропность пространтва: в каждой точке пространства можно ориентировать оси СК произвольным образом. При этом соотношения между геометрическими обьектами не имменются.

Однородность и изотропность времени является его главными свойствами в ИСО.

Однородность времени: это одиноковость развития и изменения данной физической ситуации независимо от того, в какой момент эта ситуюция сложилась.

Из однородности пространства и времени следует, что преобразования должны быть линейными. x’=Ф1(x, y, z, t),

y’=Ф(x, y, z, t),

z’=Ф3(x, y, z, t),

t’=Ф4(x, y, z, t).

Изходя из изотропности и однородности пространтва, мы можем как угодно поварачивать и смещать оси СК. ориентируем оси так:

Начало координат: Пусть в t=0 x=y=z=0 совпадает с x’=y’=z’=0, тогда А5=0

y’ = a1x + a2y + a3z + a4t;

z’ = b1x + b2y + b3z + b4t;

Т.к. оси Y, Y’ и Z, Z’ параллельны след: y=0 y’=0, z=0 z’=0

0 = a1x + a3z + A4t;

0 = b1x + b2y + b4t; что возможно лиш при а1=а3=а4=0

0=в1=в3=в4 След. y’=ay и z’=az

y=y’/a z=z’/a так как масштаб в С.К. изменятся одинаково, значит а=1/а, значит а=1.

Следовательно y’=y; z=z’.

Преобразования для x и t: Вследствие линейности преобразований:

x’=a(x–vt) Þ x=a’(x’+vt)

Докажем, что a’=a. Пусть некоторый стержей покоится в системе К’: x₂’–x₁’=l. В системе К он движется Þ x₁’=a(x₁–vt₀), x₂’=a(x₂–vt₀) Þ x₂–x₁=(x₁’–x₂’)/a=l/a..

Пусть теперь тот же стержень в системе К и имеет в ней длину l. Þ x₂–x₁=l. В системе К’, принятой за неподвижную, этот стержень двигается с v. Þ x₁=a’(x₁’+v₀t’), x₂=a’(x₂’+v₀t’)

Þ x₂’–x₁’=(x₂–x₁)/a’. Согласно принципу относительности обе системы равноправны и длинна одного и того же стержня, движущегося в этих системах с одинаковой скоротью, должна быть обнакова Þ a’=a. Воспользуемся постулатом скорости света: x’=ct’, x=ct. Þ

ct’=a t(c–v), ct=a t’(c+v) Þ a= Þ vt’=(x/a)–x’=(x/a)–a(x–vt)=avt+x((1/a)–a) Þ t’= , x’= , y=y’, z=z’. Обратные реобразования получаются заменой штрухованных элементов на нештрихованные и измененим знака скорости.

Инвариантом преобразований Лоренца явл. пространтвенно-временной интревал или просто интервал. Интервалом между точками (x₁, y₁, z₁, t₁) и (x₂, y₂, z₂, t₂) наз. величина

s=(x₁–x₂)²+(y₁–y₂)²+(z₁–z₂)²–c²(t₁–t₂)²

– эта величина имеет во всех СК одно и то же значения, т. е. явл. инвариантом преобразобаний Лоренца.

s²> 0 Þ интервал пространственноподобный.

s²> 0 Þ интервал времениподобный.

s²=0 Þ интервал нулевой (такой интервал $ существуе между событиями, которые могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью света).

Время, которое измеряется по часам, связанным с движущейся точкой, наз. собственным временем этой точки.

Длинна, которая измеряется прибором, связанным с движущимся стержнем, наз. абсолютной длинной.

Вопрос 2.

Билет 1.

Вопрос 1.

Пространство (по Ньютону) – это совокупность физического тела и возможных его продолжений.

– мгновенная скорость.

Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки: ,

S’=(r’)*a+(a’)*r=w*r

S’’=(w*r)’=r*w’+r’*w=re (тангенциальное ускорение)+v*w (=v²/r — центростремительное).

Вопрос 2.

Предыдущая12 3 4 5 6 7 Следующая