Закон сохранения и превращения энергии

Механическая энергия является лишь одним из многих видов энергии. В настоящее время кроме механической энергии известны химическая, электрическая, электромагнитная (в частности, лучистая), ядерная и другие виды энергии, с которыми мы ознакомимся в соответствующих разделах курса. В природе и технике постоянно имеют место переходы (превращения) энергии из одних видов в другие. Приведем примеры процессов, сопровождающихся превращением энергии, объединив их для наглядности в таблицу. При рассмотрении таблицы следует не забывать, что при любых превращениях энергии некоторая ее часть непременно превращается в теплоту (энергию беспорядочного движения молекул); это

обстоятельство в таблице не отражено.

Процесс или прибор	Превращение энергии
из вида	в вид
Электромашинный генератор Гальванический элемент Электродвигатель Зарядка аккумулятора Фотосинтез Фотоэффект Ядерный реактор	Механическая Химическая Электрическая Электрическая Электромагнитная Электромагнитная Ядерная	Электрическая Электрическая Механическая Химическая Химическая Электрическая Механическая, электромагнитная и др.

Полная энергия системы складывается из всех присущих системе видов энергии. Опыт показывает, что какие бы превращения энергии ни происходили в изолированной системе, величина полной энергии изолированной системы остается постоянной:

При этом, будучи несозидаемой и неуничтожаемой, энергия может превращаться из одних видов в другие.

Эти положения являются наиболее общей формулировкой закона сохранения и превращения энергии: в ней отражены основные свойства энергии — количественная неизменность и качественная изменчивость.

Применительно к неизолированным системам закон сохранения и превращения энергии формулируется так:

изменение энергии неизолированной системы равно работе , совершаемой системой:

Если работа совершается внутренними силами самой системы, то и энергия системы убывает. Если же работа совершается внешними силами над системой, то и энергия системы возрастает.

К более углубленному рассмотрению закона сохранения и превращения энергии мы еще вернемся в связи с изучением термодинамических процессов.

Следует подчеркнуть, что закон сохранения и превращения энергии является результатом обобщения многовекового опыта и имеет большую историю.

Идея этого закона была выражена еще в 1748 г. М. В. Ломоносовым в его законе сохранения материи и движения, изложенном им впервые в письме к Эйлеру: «Все перемены, в натуре случающиеся, такого суть состояния, что сколько чего у одного тела отнимается, столько присовокупится к другому. Так, ежели где убудет несколько материи, то умножится в другом месте; сколько кто часов положит на бдение, столько же от сна отнимет. Сей всеобщий естественный закон простирается и в самые правила движения, ибо тело, движущее своей силой другое, столько же оную у себя теряет, сколько сообщает другому, которое у него движение получает».

Последующие работы по изучению взаимосвязи процессов: механических и тепловых (Деви — 1800 г., Карно — 1824 г., Якоби — 1834 г.), химических и электрических (Вольта — 1799 г.), механических и электрических (Фарадей — 1831 г., Ленц — 1833 г.), химических и тепловых (Гесс — 1840 г.), тепловых и электрических (Пельтье — 1834 г., Джоуль — 1841 г., Ленц— 1842 г.) и обобщающие исследования Майера 1842—1845 гг.) и Гельмгольца 1847 г.) — привели к установлению всеобщего закона сохранения и превращения энергии. Датой его окончательной формулировки можно считать I860 г., когда Кельвин ввел термин «энергия» вместо термина «сила природы».

Закон сохранения и превращения энергии является всеобщим законом природы, не имеющим исключений; вновь открываемые процессы и явления лишь подтверждают его. Однако именно ввиду всеобщности закона он не имеет общего теоретического доказательства и может быть теоретически выведен только для частных случаев (конкретных процессов).

§ 4.Основы гидро- и аэродинамики

4.1 Основные определения. Уравнение неразрывности

В отличие от твердого тела в жидкости возможны значительные смещения составляющих ее частиц относительно друг друга. Поэтому движущаяся жидкость может изменять свою форму в соответствии с формой русла.

Реальная жидкость сжимаема: ее объем уменьшается, а плотность увеличивается с повышением давления. Однако сжимаемость жидкости

мала. Например, при повышении давления от 105 до 107 Па плотность воды увеличивается всего лишь на 0, 5%. В движущейся жидкости обычно не бывает столь больших перепадов давления. Поэтому сжимаемостью движущейся жидкости можно пренебречь.

Реальная жидкость вязка: в движущейся жидкости всегда возникают силы внутреннего трения. Если условия движения жидкости таковы, что силы внутреннего трения малы по сравнению с другими действующими в ней силами (давления, тяжести и т. п.), то жидкость можно считать практически невязкой. Воображаемая жидкость, совершенно не обладающая вязкостью, называется идеальной.

Рассмотрим некоторый объем внутри движущейся идеальной несжимаемой жидкости. Мысленно отметим в нем ряд точек и изобразим векторами скорость движения частиц жидкости, находящихся в данный момент времени в этих точках (рис. 4.1., а). Проведем линии, в каждой точке которых касательная совпадает с вектором скорости движения частиц жидкости. Такие линии называются линиями тока. Движение жидкости называется установившимся (стационарным), если скорость жидкости в каждой точке рассматриваемого объема не изменяется с течением времени. В этом случае линии тока также остаются неизменными и частица жидкости, находящаяся в данный момент на некоторой линии тока, будет все время оставаться на этой

линии. Иными словами, при установившемся движении траектории частиц жидкости совпадают с линиями тока. Установившееся движение жидкости имеет место в случаях, когда силы, вызывающие движение, не изменяются со временем.

Рисунок 4.1.

Прежде всего покажем (прибегая к доказательству «от противного»), что линии тока не пересекаются между собой. Предположим, что две линии тока пересеклись. Тогда частица жидкости, находящаяся в точке пересечения, должна двигаться одновременно по двум траекториям, что невозможно. Следовательно, линии тока не пересекаются.

Выделим теперь в движущейся жидкости объем, ограниченный линиями тока (рис. 4.1., б). Из положения о непересекаемости линий тока следует, что жидкость не может проходить через боковую поверхность этого объема (ни внутрь объема, ни из него). Таким образом, рассматриваемый объем подобен трубке с непроницаемыми для жидкости стенками. Поэтому объем жидкости, ограниченный линиями тока, называется трубкой тока.

Выберем в трубке тока два поперечных сечения: (где скорость течения жидкости равна ) и (где скорость течения жидкости равна ). Так как жидкость не сжимается, не разрывается и не переходит через боковую поверхность трубки, то за время через эти сечения пройдут одинаковые объемы, а следовательно, и одинаковые массы жидкости. Объем жидкости, протекающий через широкое сечение, имеет форму цилиндра с основанием и высотой , он равен . Точно так же объем жидкости, протекающий через узкое сечение, равен . Тогда так как сечения были выбраны произвольно, то

(1)

т. е. для данной трубки тока произведение площади поперечного сечения трубки на скорость течения жидкости есть величина постоянная.

Соотношение (1) называется уравнением неразрывности струи. Оно справедливо не только для трубки тока, но и для всякой реальной трубы, для русла реки и т. п. В соответствии с уравнением неразрывности скорость течения на узких участках речного русла больше, чем на широких и глубоких; скорость воды в струе, вырывающейся из брандспойта, больше, чем в шланге, и т. п.

На рис. 4.2 изображено с помощью линий тока движение жидкости в трубе переменного сечения. В узкой части трубы, где скорость течения наибольшая, линии тока оказываются сгущенными. Таким образом, картина линий тока дает представление не только о направлении, но и о величине скорости течения жидкости.

Рисунок 4.2.

Уравнение Бернулли

Пусть по наклонной трубке тока (или реальной трубе) переменного сечения движется жидкость в направлении слева направо. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями и , в которых скорости течения равны соответственно и (рис. 4.3).

Рисунок 4.3.

Определим изменение полной энергии, происходящее в этой области за малый промежуток времени . За это время масса жидкости, заключенная между сечениями и втекает в рассматриваемую область, а масса, заключенная между сечениями и , вытекает из нее. Иных изменений в

рассматриваемой области не происходит. Поэтому величина изменения полной энергии равна разности полных энергий вытекающей и втекающей масс.

Учитывая, что полная энергия идеальной несжимаемой жидкости слагается из ее кинетической и потенциальной энергий, получим

(2),

где индексы 1 и 2 относятся соответственно к сечениям и .

Вводя в формулу B) выражения кинетической и потенциальной энергий, напишем

(3)

где — ускорение силы тяжести.

В соответствии с законом сохранения энергии, найденная величина изменения энергии должна равняться работе внешних сил (давления) по перемещению массы :

. (4)

Определим эту работу. Внешняя сила давления совершает работу по перемещению втекающей массы на пути ; в то же время вытекающая масса совершает работу против внешней силы давления на пути . Поэтому

и ,

а искомая работа

Учитывая, что

и ,

где и давления на сечениях и , получим

Но

где - объем рассматриваемых масс. Поэтому

(5)

Объединяя формулы (3), (4) и (5), получим после перегруппировки слагаемых

Поделив обе части последнего равенства на и учитывая, что - плотность жидкости, получим

Поскольку сечения и выбраны произвольно, можно окончательно

написать

(6)

Это соотношение, выведенное в 1738 г. Д. Бернулли, называется уравнением Бернулли. Первое слагаемое левой части этого уравнения представляет собой удельную кинетическую энергию жидкости; второе — удельную потенциальную энергию жидкости в поле силы тяжести; третье — удельную энергию жидкости, обусловленную силами давления (удельная энергия — энергия, приходящаяся на единицу объема жидкости).

Единицей измерения давления является паскаль (Па). Паскаль — давление, вызываемое силой 1 Н, равномерно распределенной на поверхности площадью 1 м²;

Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии удельной) и может быть сформулировано так: при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления и кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной на любом поперечном сечении потока.

Из приведенного преобразования единиц измерения давления в единицы измерения удельной энергии следует, что все члены левой части уравнения (6) можно еще рассматривать как величины давления. Величину называют статическим давлением, величину — динамическим давлением, величину — гидравлическим давлением. Следовательно, уравнению Бернулли можно дать еще такую формулировку: в установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давление, слагающееся из динамического, гидравлического и статического давлений, постоянно на любом поперечном сечении потока.

Для горизонтальной трубки тока (или реальной трубы) уравнение

Бернулли принимает вид

(7)

(так как ).

В заключение остановимся на следующем важном положении.

Уравнения (1) и (6) применимы не только к жидкостям, но и к газам в случаях, когда сжимаемостью и вязкостью газа можно пренебрегать. Оказывается, что это можно делать при небольших скоростях движения газа, когда в газовом потоке обычно не возникает больших градиентов скорости, а следовательно, и больших сил вязкости.

Что касается сжимаемости газа, то, как показывают теория и опыт, ею можно пренебречь при скоростях движения газа, меньших скорости распространения звука в нем. Скорость звука в воздухе составляет около 340 м/с = 1224 км/ч. Поэтому воздух, движущийся со скоростью, не превышающей 150—200 м/с, допустимо считать идеальной несжимаемой жидкостью и применять к нему уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая