Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Для материальной точки с массой , равномерно движущейся по окружности со скоростью , величина , равная произведению количества движения (или импульса) на радиус этой окружности называется моментом импульса: .

Момент импульса есть вектор, приложенный в центре окружности перпендикулярное плоскости в направлении, согласованном с направлением движения точки по правовинтовой системе. Рисунок 5.

Момент импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен сумме моментов импульса всех достаточно малых по массе элементов, его составляющих:

Момент импульса тела относительно оси вращения, называемый также собственным моментом вращения, равен произведению момента инерции тела на его угловую скорость.

Если на тело не действуют внешние силы или их общий момент равняется нулю , то равно нулю и изменение момента импульса: . Это означает, что момент импульса остается постоянным: .

Это следствие называется законом сохранения момента импульса относительно оси вращения: если момент внешних сил, действующих на вращающееся тело, равняется нулю, то момент импульса остается постоянным.

§ 3. Работа, мощность, энергия.

Работа и мощность

Пусть под действием постоянной силы тело В совершило перемещение . Очевидно, что перемещение тела обусловлено только касательной (к траектории) составляющей силы , которую мы будем называть движущей силой; нормальная составляющая силы не вызывает перемещения тела по пути (рис. 3.1). Для характеристики перемещающего действия силы вводится понятие работы.

Рисунок 3.1.

Работа равна произведению постоянной движущей силы на величину перемещения:

(1)

При работа положительна — сила вызывает перемещение тела; при работа отрицательна — сила препятствует движению тела; при сила не совершает работы по перемещению тела. Если направления силы и перемещения совпадают ( ), то

. (2)

Если тело перемещается под действием нескольких сил, то совершаемая ими работа равна сумме работ всех этих сил (т. е. равна работе результирующей этих сил). Отметим, что работа, определяемая произведением векторов силы и перемещения на косинус угла между ними, является скалярной величиной.

Единицей измерения работы является джоуль (Дж). Джоуль — это работа, совершаемая силой в 1 Н при перемещении тела на 1 м в направлении действия силы: .

Для оценки эффективности механизма важно знать, как быстро совершает он данную работу. С этой целью вводится понятие мощности.

Мощность измеряется отношением работы к промежутку времени , за который она совершена:

(3)

В случае движения тела с постоянной скоростью под действием силы (преодолевающей сопротивление движению) мощность может быть выражена формулой

(4)

Единицей измерения мощности в СИ служит ватт (Вт). Ватт — это мощность, при которой работа в 1 Дж совершается за время 1 с: .

В случае переменной мощности вводятся понятия средней мощности

и мгновенной мощности

подробно тому, как вводились понятия средней и мгновенной скоростей (см. § 1).

Энергия

Энергия является важнейшей физической величиной, характеризующей способность тела или системы тел совершать работу; она измеряется величиной максимальной работы, которую при определенных (заданных) условиях может совершить эта система. Например, катящийся шар, сталкиваясь с некоторым телом, перемещает его, т. е. совершает работу. Следовательно, катящийся шар обладает энергией. Растянутая пружина, сокращаясь после устранения деформирующей силы, совершает работу по перемещению своих частей (витков) или какого-либо другого тела. Следовательно, растянутая пружина обладает энергией. Система, состоящая из земного шара и расположенного на некоторой высоте над ним тела, обладает энергией, так как при устранении связи, удерживающей тело на высоте, оно начнет двигаться (падать) и может совершать работу. Подчеркнем, что катящийся шар, деформированная пружина и поднятое над

Землей тело обладают энергией независимо от того, совершают они в данный момент работу или нет: энергия характеризует состояние системы, способность (возможность) системы к совершению работы при переходе из одного состояния в другое.

Обычно за другое (конечное) состояние системы принимают такое ее состояние, называемое «нормальным», в котором она уже не может совершать работу при данных условиях за счет энергии данного вида.

Так, например, для растянутой пружины нормальным состоянием является такое, при котором полностью ликвидирована ее деформация, для приподнятого над Землей тела - такое, при котором оно пришло в соприкосновение с земной поверхностью, и т. п.

Из приведенных примеров видно, что энергия связана либо с движением системы или ее частей — в этом случае она называется кинетической, либо с взаимным расположением взаимодействующих частей системы — в этом случае она называется потенциальной. Потенциальная энергия тесно связана с существованием полей (гравитационных, электрических, магнитных и т. д.).

Изменение энергии измеряется работой, которую может совершить система, переходя из данного состояния в другое. Иными словами, работа , совершаемая системой при переходе из одного состояния в другое, равна разности энергий, присущих системе в этих состояниях:

(5)

где и — энергии системы в исходном и конечном состояниях.

В соответствии с этим определением получим конкретные выражения энергии для некоторых простейших (механических) систем.

Кинетическая энергия тела. Пусть под действием постоянной тормозящей силы (например, силы трения) тело массой , совершив перемещение при прямолинейном движении, изменило свою скорость от до . Тогда работа, совершенная телом против силы торможения,

(6)

Так как движение тела будет равнозамедленным, то

где — ускорение, — время прохождения телом пути s (см. § 1).

Подставляя выражения и в формулу (6), после простых преобразований получим

(7)

Из сопоставления формул (5) и (7) следует, что величина

(7а)

представляет собой кинетическую энергию тела. Таким образом, работа, совершаемая движущимся телом, равна изменению (убыли) его кинетической энергии. Если в конце рассматриваемого перемещения тело останавливается ( ), то совершенная максимальная работа будет равна величине кинетической энергии тела вначале перемещения.

Пользуясь уже применявшимся нами приемом разбивки траектории тела на малые отрезки, было бы несложно доказать, что формула (7) справедлива и в общем случае криволинейного пути и переменной силы.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Определим, например, потенциальную энергию упруго растянутого стержня. Она должна равняться максимальной работе , совершаемой силами упругости, восстанавливающими первоначальный размер и форму стержня:

Упругая сила равна по величине:

где и — длина и площадь поперечного сечения недеформированного стержня, — его удлинение при деформации, — модуль упругости. При вычислении работы надо иметь в виду, что сила упругости является переменной величиной: она линейно зависит от удлинения , изменяясь от нуля (при ) до . Поэтому можно считать, что при перемещении, равном , действует средняя сила упругости

Тогда

Следовательно,

(8)

где величина сохраняет смысл и размерность коэффициента пропорциональности в законе Гука. Итак, потенциальная энергия упруго растянутого стержня пропорциональна квадрату его удлинения. Отметим, что и при всех других видах деформации потенциальная энергия тоже будет пропорциональна квадрату величины деформации (смещения).

В задачах на притяжение Землей тел, лежащих на земной поверхности, их потенциальную энергию обычно принимают равной нулю. Тогда, энергия тела поднятого на высоту над поверхностью Земли определяется выражением

, (9)

известным еще из школьного курса физики.

Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая