ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Основные формулы

3.1. Основные понятия и определения

3. Момент силы – это физическая величина, характеризующая способность силы вращать тело. Момент силы определяется формулой:

Где – радиус-вектор, проведенный от оси вращения в точку приложения силы

Величина момента силы определяется по формуле:

при этом вводится обозначение: – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы)

Рис. 3.1

Таким образом, получаем в результате:

Момент силы измеряется в ньютон-метрах (Н·м).

Проекция момента силы М но ось, перпендикулярную плоскости чертежа выбирается знаком «+», когда он вращает тело против часовой стрелки, и со знаком «–», когда против часовой стрелки.

Точки приложения различных сил:

а) сила тяжести приложения в центре тяжести (масс) системы.

б) Сила нормальной реакции опоры и сила трения приложены в точке касания тела и опоры.

Рис. 3.3

в) Сила натяжения приложена в точке, к которой к телу прикреплена нить.

Рис. 3.4

1. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого телаотносительно неподвижной оси:

где М – момент силы, действующей на тело в течение времени dt; J – момент инерции тела; ω – угловая скорость; Jω – момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде

В случае постоянного момента инерции

где ε – угловое ускорение.

3. Момент импульса вращающегося тела относительно оси

или .

4. Момент инерции материальной точки

где m масса точки, r – ее расстояние от оси вращения. Момент инерции твердого тела.

где r_j– расстояние элемента массы Δ m_i от оси вращения. То же, в интегральной форме

Если тело однородно, т. е. его плотность ρ одинакова по всему объему, то

и ,

где V – объем тела.

Тело	Ось, относительно которой пределяется момент инерции	Формула, момента инерции
Однородный тонкий стержень массой m и длиной l Тонкие кольцо, обруч, Труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т, распределенной по ободу. Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т Однородный шар массой m и радиусом R	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания Проходит через центр шара

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси равен

где J₀ – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а – расстояние между осями; т – масса тела.

5. Закон сохранения момента импульса

где L_i – момент импульса тела с номером i, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел в проекции на выбранную ось:

где J₁, J₂, ω ₁, ω ₂ – моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; , , , – те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется,

где J₁ и J₂ – начальный и конечный моменты инерции; ω ₁ и ω ₂ – начальная и конечная угловые скорости тела.

6. Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело,

, где φ – угол поворота тела.

7. Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

8. Кинетическая энергия вращающегося тела

9. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

где – кинетическая энергия поступательного движения тела; υ –

скорость центра инерции тела; – кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

10. Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением

Примеры решения задач.

Через блок перекинута нить. К концам нити подвешены грузы массами кг, и кг. Определить ускорение грузов в процессе движения. Блок считать невесомым, нить – нерастяжимой и невесомой.

Решение

Запишем уравнения для первого и второго тел в соответствии со вторым законом Ньютона:

(1a)

(1б)

Ось Оу выберем вертикально вверх. Тогда в проекции на ось Оу получаем из (1а) и (1б):

(2а)

(2б)

Так как блок и нить являются по условию невесомыми, то по третьему закону Ньютона T₁ = T₂. Так как нить является нерастяжимой, то a₁ = a₂. В результате получаем:

; (3а)

. (3б)

Знак в правой части выражения (3б) обусловлен тем, что первое тело движется вверх, а второе – вниз. Выразим из уравнения (3б) силу натяжения:

и подставим ее в уравнение (3а)

. (4)

Окончательно из уравнения (4) выражаем искомое ускорение:

Подставив численые значения, получаем ответ: м/с².

Тело, закрепленное на нити, совершает вращение в горизонтальной плоскости (конический маятник). Угол отклонения нити от вертикали равен 30º. Найти частоту вращения тела, если длина нити равна 50 см.

Решение

Тело считаем материальной точкой. Запишем уравнение движения тела в соответствии со вторым законом Ньютона:

Ось координат Ох выберем по направлению к центру окружности, ос Оу – вертикально вверх, тогда в проекции на оси координат получаем:

; (1)

. (2)

Где центростремительное ускорение может быть записано в виде:

Тогда, подставляя это соотношение в (1) и выражая силу натяжения из формулы (2):

после сокращения массы m получаем:

Выражая радиус вращения R через длину нити l и угол к вертикали , запишем окончательно:

Подставляя численые значения, получаем ответ: ν = 0, 76 Гц.

4. Механические колебания и волны

4.1. Кинематика колебаний

1. Механическими колебаниями называются процессы в механических системах, обладающие повторяемостью.

2. Колебания называются периодическими, если система возвращается в одинаковые состояния через равные промежутки времени. Это время называется периодом:

где t – всё время; N – число колебаний, совершенных за это время.

Частота – количество колебаний в единицу времени.

Частота измеряется в герцах: [ν ] = Гц = с^-1.

3. Колебания называются гармоническими, если они совершаются по закону косинуса или синуса.

где A – амплитуда колебаний (максимальное отклонения системы от положения равновесия);

x(t) – смещение от положения равновесия в данный момент времени.

Циклическая частота колебаний:

В выражении j₀ - начальная фаза колебаний. При этом фаза колебаний

4. Скорость при колебаниях определяется как первая производная от координаты по времени:

при этом максимальное значение (амплитуда) скорости определяется формулой:

5. Ускорение при колебаниях определяется как производная от скорости по времени:

Максимальное значение ускорения определяется формулой:

Сравнивая закон колебаний с формулой для ускорения, получаем уравнение гармонических колебаний:

то есть, если ускорение прямо пропорционально координате с обратным знаком, то уравнение описывает гармонические колебания.

4.2. Динамика колебаний

1. Колебания возникают в системах, вблизи устойчивого положения равновесия при отклонении системы от положения равновесия.

Примерами колебательных систем являются пружинный и математический маятники.

2. Пружинный маятник – это тело массой m, закрепленное на пружине жесткостью k (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Пусть сила трения в системе не действует, тогда при отклонении системы на малую величину х от положения равновесия, в проекции на ось Ох запишем: , откуда выражаем ускорение:

Сравнивая полученное равенство с уравнением, получаем выражение для циклической частоты:

и окончательно для периода запишем:

3. Математический маятник – это тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити в поле силы тяжести.

Нить считается нерастяжимой и невесомой, тело является материальной точкой. При колебаниях отклонение тела от положения равновесия должны быть малыми (однако даже при таких ограничениях математический маятник является достаточно точной моделью).

Рис. 6.2

Период колебаний математического маятника

где l – длина нити.

Если математический маятник находится в кабине лифта, движущегося с ускорением a, то:

где знак «+» берется, когда система движется с ускорением, направленным вверх, знак «-» – когда ускорение направлено вниз.

Если система движется с ускорением, направленным горизонтально, то

4. Если на систему не действуют силы трения и сопротивления, то полная механическая энергия сохраняется. Рассмотрим конкретные примеры:

пружинный маятник:

математический маятник:

где a - угол отклонения системы от положения равновесия.

5. Если на систему действует сила трения, то механическая энергия переходит во внутреннюю, и колебания будут затухающими, т.е. их амплитуда уменьшается с течением времени.

Если на колебательную систему действуют силы трения и сопротивления, то механическая энергия системы не сохраняется. При этом, когда действует постоянная сила сухого трения, то период колебаний не изменяется по отношению к случаю свободных колебаний. Если же в системе действует сила трения, зависящая от скорости (обобщенная сила трения), то изменяется и период. Рассмотрим колебания груза под действием упругой силы и силы сопротивления, зависящей от скорости:

При удлинении пружины на величину x в системе возникает сила упругости

При движении груза, возникает сила сопротивления, противоположная скорости

Тогда, по второму закону Ньютона: в проекции на ось x. Учитывая, что и , получим дифференциальное уравнение 2-ого порядка: .

Разделим уравнение на и приведем его к виду: (1), где - коэффициент затухания; - циклическая частота свободных колебаний.

Решение уравнения (1) имеет вид: (2), где

- циклическая частота затухающих колебаний. Период этих колебаний . График затухающих колебаний имеет вид:

Логарифмический декремент затухания определяет насколько изменяется за период колебаний их амплитуда .

Если на систему действует внешняя периодическая сила, то в системе возникают колебания с частотой, равной частоте внешней силы. При этом колебания называются вынужденными. Уравнение колебаний под действием внешней силы имеет вид: , где

- амплитуда внешней силы; - циклическая частота внешней силы.

Амплитуда вынужденных колебаний: .

График зависимости амплитуды колебаний от частоты внешней силы называется резонансной кривой:

Амплитуда достигает максимального значения: при частоте , которая называется резонансной частотой. Колебания с максимальной амплитудой под действием внешней силы называется резонансом.

Затухающие колебания записываются уравнением

, (6.19)

где (6.20)

(r – коэффициент сопротивления, т. е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления; k – коэффициент квазиупругой силы, - собственная частота системы).

Скорость затухания колебаний определяется величиной которую называют коэффициентом затухания.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, равно

(6.21)

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм - логарифмическим декрементом затухания:

(6.22).

В данном случае

(6.23),

период затухающих колебаний.

6. Если на систему действует внешняя периодическая сила, то в системе будут возникать колебания с частотой, равной частоте внешней силы.

Если при этом частота внешней сила, равна собственной частоте колебательной системы, наступает резонанс – увеличение амплитуды колебаний.

Частота, соответствующая резонансу, называется резонансной частотой и определяется она выражением

(6.24).

Выражение для амплитуды при резонансе имеет вид:

(6.25),

где F₀ – амплитуда вынуждающей силы, - коэффициент затухания, - собственная частота системы.

4.3. Механические волны

1. Волна – это процесс распространения энергии колебаний в пространстве.

Вещество при этом не переносится, точки упругой среды совершают колебания вблизи положений равновесия.

2. Фронт волны – это геометрическое точек, до которых в данный момент времени дошли колебания.

По фронту волны классифицируются на следующие виды:

плоские – фронт волны является плоскостью;

сферические - фронт волны является сферой.

По направлению колебаний частиц в волне, волны классифицируются на следующие виды:

продольные (частицы колеблются вдоль направления распространения волны).

Продольные волны возникают в жидкостях, газа и твёрдых телах.

поперечные волны – частицы колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространению волны.

Рис. 5.3

Поперечные волны возникают только в твёрдых телах и на поверхность жидкости.

3. Частота и период волны определяется частотой и периодом источника колебаний.

(6.26)

где T - период, n - частота.

4. Длина волны – это расстояние между точками, совершающими колебания в одинаковой фазе, измеренное вдоль направления распространения.

Рис. 5.4

Длина волны измеряется в метрах: [l] = м.

5. Фазовая скорость волны – это скорость распространения фазы колебаний в пространстве. Единица измерения: [v] = м/с.

Скорость определяется параметрами среды, в которой распространяется волна. Длину волны можно определить как расстояние, которое проходит волна за один период.

(6.27)

6. Фаза волны в точке с координатой х в момент времени t задается формулой:

(6.28)

Разность фаз колебаний в двух различных точках пространства в один и тот же момент времени:

(6.29)

где - разность хода.

7. Уравнение плоской монохроматической волны имеет вид:

, (6.30)

где – это смещение частиц среды от положения равновесия в момент времени t, точке с координатой x;

u₀ - амплитуда волны;

- волновое число.

Волна называется монохроматической, если она несёт одну определённую частоту.

8. Для механических волн справедливы законы, отражения и преломления, а также явление интерференции (сложения волн) и дифракции (огибание волнами препятствий).

Важным случаем интерференции является стоячая волна – это результат сложения падающей и отраженной волны. Длина стоячей волны в два раза меньше, чем бегущей.

Важно также знать, что при отражении от более плотной среды волна изменяет свою фазу на противоположную.

В стоячей волне плотность энергии меняется от точки к точке и зависит от времени, но в отличие от бегущей волны, здесь нет переноса энергии.

9. Акустика – это раздел физики, изучающий звуковые колебания.

Минимальная звуковая частота ν _min = 17 Гц. Если ν < 17 Гц, то звуковые колебания называются инфразвуковыми, если ν > 20000 Гц – ультразвуковыми.

Скорость звука в воздухе при нормальных условиях v = 340 (м/с). Высота звука зависит от частоты волны, а громкость звука зависит от амплитуды.

Изменение наблюдаемой частоты волны при относительном движении источника и/или наблюдателя называется эффектом Доплера.

Акустический эффект Доплера

, (6.31)

Где - частота звука, испускаемого источником; - воспринимаемая частота звука; - скорость звука; - проекция скорости наблюдателя (источника звука) на линию, соединяющую наблюдателя и источник.

4.4. Примеры решения задач

Пример 4.1

Гармонические колебания заданы формулой: (см). Требуется: 1) Определить амплитуду, период, частоту и начальную фазу колебаний; 2) Найти смещение системы от положения равновесия в момент времени, равный 0, 5 с; 3) записать формулы для мгновенной скорости и ускорения; 4) найти среднюю скорость прохождения первой половины амплитуды.

Решение

Закон гармонических колебаний имеет вид:

. (1)

Сравнивая данную в условии формулу с заданной в условии задачи, запишем:

(м) - амплитуда колебаний

(рад) - циклическая частота,

(с) - период колебаний,

(Гц) - частота колебаний.

Подставляем в формулу (1) значение времени с, получим

(см).

Мгновенная скорость – первая производная от координаты по времени:

Ускорение – вторая производная от координаты по времени, или первая производная от скорости.

Средняя скорость прохождения первой половины амплитуды , где s – пройденный путь: (м).

Определим время, решив тригонометрическое уравнение:

Получаем окончательно: .

Пример 4.2

Период колебаний пружинного маятника, масса груза которого кг, равен c. Амплитуда колебаний маятника см. Маятник совершает колебания по закону синуса. Определить кинетическую и потенциальную энергию системы в момент времени .

Решение

Силы сопротивления отсутствуют, поэтому полная механическая энергия системы сохраняется:

В крайнем положении вся энергия равна потенциальной энергии

В момент времени t = T / 3 система обладает как кинетической, так и потенциальной энергией.

(1)

Определим координату (отклонение системы от положения равновесия) по формуле гармонических колебаний:

Найдем потенциальную энергию

Кинетическую энергию выразим из формулы (1):

Коэффициент жесткости определим через период колебаний:

Подставив численные значения, получаем ответ.

Молекулярная физика

5.1 Молекулярно-кинетическая теория

1. Молекулярно-кинетическая теория (MKT) – это раздел физики, изучающий свойства материальных тел на основе их внутреннего (молекулярного) строения.

Молекула – это мельчайшая частица вещества, определяющая его химические свойства. Молекулы состоят из атомов. Атом с точки зрения молекулярной физики является неделимой частицей.

2. Основные положения MKT.

а) Вещество состоит из молекул.

Доказательства (все приведенные ниже доказательства являются экспериментальными):

- делимость тел;

- растворимость веществ;

- химические реакции.

б) Молекулы находящиеся в непрерывном, хаотическом тепловом движении.

Доказательства:

- броуновское движение (это движение малой, взвешенной в жидкости частицы, связанное с ударами хаотически движущихся молекул о нее);

- давление газов (осуществляется за счет ударов движущихся молекул о стенки сосуда);

- диффузия (проникновение молекул одного вещества между молекулами другого вещества).

в) Молекулы взаимодействуют друг с другом.

Доказательства:

- существование трех агрегатных состояний вещества (газ, жидкость, твердое тело);

- фазовые переходы между этими состояниями (фазовые переходы первого рода);

- упругие свойства твердых тел;

- поверхностное натяжение жидкостей.

3. Размеры молекул составляют порядка в зависимости от их атомного строения. Существуют сложные многоатомные молекулы, к примеру, молекулы белка, аминокислот и др., размеры которых во много раз больше указанных выше. Существуют также вещества, называемые полимерами, размеры молекул которых не определяются обычным способом.

Масса молекул очень мала и составляет порядка . Для удобства ее измерения вводится единица измерения, которая называется атомная единица массы (а.е.м.), при этом 1 а.е.м. равен массе 1/12 части атома углерода (изотоп ):

Масса атома, выражения в а.е.м., называется относительной атомной массой, она обозначается следующим образом: Ar(X), где Х - обозначение атома элемента по таблице Менделеева. Например:

Масса молекулы, выраженная в а.е.м. - называется относительной молекулярной массой (обозначается Mr), например:

4. Макроскопической называется система, которая состоит из большого числа элементов. Так, количество молекул в макроскопических телах очень велико, оно составляет прядка . Для удобства расчетов вводится понятие количества вещества. Количество вещества обозначается буквой n и измеряется в моль: [n] = моль. Один моль любого вещества содержит такое же количество молекул, которое содержит в 12г углерода (изотоп ). Это число называется числом Авогадро :

При этом справедливы формулы:

(1.1)

где N - число молекул в данном теле, n - количество вещества.

Молярная масса - это масса одного моля вещества. Данная физическая величина обозначается М и имеет следующую размерность: . Количество вещества и число молекул могут быть выражены через молярную массу следующим образом:

(1.2)

. (1.3)

Масса молекулы вещества определяется формулой:

. (1.4)

Полученный результат будет выражен в килограммах. Следует помнить, что молярная масса, выраженная в грамм/моль, численно равна атомной массе, выраженной в а.е.м. и определяется при помощи таблицы Менделеева. При определении молярной массы с использованием таблицы Менделеева, полученный результат следует перевести в кг/моль, что соответствует умножению полученного результата на 10^-3, например:

5.2 Молекулярно-кинетическая теория идеального газа

1. Идеальный газ – это модель, в рамках которой молекулы можно рассматривать как материальные точки, не взаимодействующие друг с другом на расстоянии.

Реальный газ с достаточной степенью точности описывается формулами, полученными для модели идеального газа при нормальных условиях (н.у.) и условиях, близких к нормальным. Нормальные условия определяются следующими значениями давления и температуры:

2. Основное уравнение MKT связывает макроскопические параметры (давление, объем, температуру), описывающие систему в целом, независимо от движения отдельно взятой молекулы с микроскопическими параметрами, определяемыми движением частиц вещества. Основное уравнение МКТ имеет вид:

(1.5)

где - масса одной молекулы, - концентрация - средняя квадратичная скорость молекул газа.

Эта скорость определяется формулой:

(1.6)

где – скорость первой молекулы в квадрате, -- скорость второй молекулы в квадрате и т.д..

Так как молекулы двигаются хаотически, то все направления их движения являются равновероятными. Из этого следует, что в равенстве

(1.7)

квадраты проекций скоростей в среднем равны между собой:

(1.8)

Используя очевидное равенство: перепишем основное уравнение в следующем виде:

(1.9)

где r – плотность газа, m - масса газа.

3. Определим среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы идеального газа в соответствии с формулой:

(1.10)

Выразив из формулы (1.10) массу молекулы: и подставив полученное выражение в уравнение, после преобразования: получаем:

(1.11)

Введем абсолютную температуру. В рамках МКТ температура определяется как мера средней кинетической энергии движения молекул. Для кинетической энергии поступательного движения молекул газа запишем следующее выражение:

(1.12)

где — постоянная Больцмана.

Абсолютная температура Т измеряется в Кельвинах . Связь абсолютной температуры с температурой, выраженной в градусах Цельсия, определяется формулой:

. (1.13)

4. Выведем формулу, связывающую среднюю квадратичную скорость и абсолютную температуру. Для этого приравняем формулы для энергии поступательного движения молекулы и . В результате получаем:

(1.14)

При подстановке в формулу значений массы молекулы порядка 10^-26кг, абсолютной температуры порядка 300 К получается результат порядка 10³ м/с. Этот результат был экспериментально подтвержден в опыте Штерна.

Рис. 1.1

Экспериментальная установка состоит: 1-вольфрамовая нить, покрытая серебром, 2-цилиндр радиуса R₁ 3-цилиндр радиуса R₂. При пропускании электрического тока по нити, расположенной на оси цилиндров, серебро испаряется и, проходя через отверстие во внутреннем цилиндре, оседает на поверхности внешнего цилиндра. При этом напротив отверстия образуется пятно. При вращении всей системы с угловой скоростью w относительно оси, совпадающей с нитью, на поверхности внешнего цилиндра появляется второе пятно, смещенное относительно первого на некоторый угол Dj. Зная угловую скорость вращения цилиндров, и измеряя угловое смещение пятна Dj, можно рассчитать скорость молекул серебра по формуле:

Полученное экспериментально значение скорости молекул согласуется со значением, полученным теоретически по формуле, что свидетельствует о справедливости теории.

5.3 Уравнение состояние идеального газа. Газовые законы

1. Состояние идеального газа характеризуется набором макроскопических параметров: давление (р), объем (V) и температура (T).

Состояние называется равновесным, если параметры, описывающие состояние системы, не изменяются с течением времени.

Из эксперимента известно, что состояние равновесия замкнутой (не сообщающейся с окружающей средой) системы достигается, когда давление и температура одинаковы во всех точках объёма.

2. Получим математическую формулировку уравнения состояния идеального газа. Для этого в уравнение подставим формулу откуда получаем окончательно:

В уравнении (1.16), которое можно рассматривать как новую запись основного уравнения МКТ, распишем концентрацию n: Умножая обе части этого равенства на объем V, приходим к выражению:

Предыдущая 1 2 345 6 7 8 Следующая