Тема 9. Механические колебания и волны

где – единичные векторы направлений (орты): x, y, z – координаты точки.

Кинематическое уравнение движения (в координатной форме) имеет вид:

(1.2)

где t – время.

5. Скорость – это физическая величина, характеризующая изменение положения тела с течением времени. Скорость измеряется в м/с.

Виды скоростей в механике:

средняя путевая скорость:

,

где S - весь путь, t - всё время, затраченное на его совершение.

средняя скорость перемещения:

где – всё перемещение, t - всё время.

мгновенная скорость – это скорость в данный момент времени в данной точке траектории:

Мгновенная скорость определяется как производная перемещения (в частном случае – координаты) по времени.

где υ _x = dx/dt; υ _y = dy/dt; υ _z = dz/dt – проекции скорости на оси координат.

Абсолютное значение скорости

6. Относительность движения. Скорость тела относительно выбранной СО задается формулой:

где - скорость относительно выбранной СО (например, скорость лодки относительно берега);

- собственная скорость тела (например, скорость лодки относительно воды);

- переносная скорость (например, скорость течения).

Сложение векторов осуществляется по правилу параллелограмма (рис. 1.2) (либо по правилу треугольника).

Рис. 1.2.

Расчет значения относительной скорости производится по теореме косинусов:

где b - угол между векторами.

Также для расчета модуля скорости часто используется координатный метод.

7. Равномерное прямолинейное движение – это движение со скоростью, постоянной по величине и направлению.

Возможно и другое определение:

Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

При равномерном прямолинейном движении

Для описания движения ось Оx выбираем вдоль направления движения (рис. 1.3). Тогда в проекции на ось Ох для выражения получаем: x - x₀ = υ _xt, откуда запишем окончательно:

.

Рис. 1.3.

Уравнение с заданными начальными условиями представляет собой закон равномерного прямолинейного движения.

Уравнение задает линейную функцию, графиком которой является прямая линия (рис. 1.4). При этом чем больше угол наклона графика к оси Ох, тем больше скорость тела.

Рис. 1.4

8. Равноускоренное прямолинейное движение. Ускорение – это физическая величина, характеризующая изменение скорости с течением времени. В общем случае ускорение определяется как производная скорости по времени:

или

где a_x = d υ _x/dt; a_y = d υ _y/dt; a_z = d υ _z/dt – проекции ускорения на оси координат.

Абсолютное значение ускорения

При равноускоренном движении:

где - конечная скорость; - начальная скорость; t – время изменения скорости.

Ускорение измеряется в м/с².

Мгновенная скорость при равноускоренном движении может быть выражена из уравнения:

При прямолинейном движении в проекции на ось Ox, выбранную вдоль начальной скорости, из (1.10) получаем:

.

Здесь a_x > 0, если направление ускорения совпадает с направлением начальной скорости, и a_x < 0, если направление ускорения противо­по­лож­но направлению начальной скорости. При этом до точки остановки t₁ движение тела называется равнозамедленным. Чем больше угол наклона графика к оси Ох, тем больше значение ускорения тела.

Рис. 1.5

Величина средней скорости перемещенияпри равноускоренном движении:

Величина перемещениянаходятся как площадь под графиком скорости в осях υ (t) (рис. 1.7). Для данного случая:

Рис. 1.6

В общем случае следует проинтегрировать зависимость скорости от времени. Путь определяется как соответствующий интеграл от модуля подынтегральной функции.

Если время в условии задачи не задано, то при решении удобно использовать формулу:

Координата x при равноускоренном движении определяется формулой:

Свободное падение – это равноускоренное движение с ускорением g = 9, 81 м/c², направленным вниз.

9. Движение по окружности

Угол поворота выбирают в качестве координаты при движении по окружности. Угол поворота (j) измеряется в радианах (рад). Знак угла поворота выбирается по правилу правого винта, то есть следующим образом:

при вращении против часовой стрелки: φ > 0;

при вращении по часовой стрелке: φ < 0.

Рис. 1.7

При решении задач полезно применять формулу, связывающую путь, пройденный по окружности, и угол поворота:

l = Rj.

Угловая скорость характеризует изменение угла поворота с течением времени:

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с). Направление вектора угловой скорости определяется правилом правого винта. Движение по окружности называется равномерным, если w = const.

При равномерном движении по окружности кинематическое уравнение имеет вид:

φ = φ ₀ +ω t.

Период (Т) – это время, за которое осуществляется один оборот при равномерном движении по окружности:

где t - всё время; N - число оборотов, совершенных за это время.

При этом также справедливы формулы:

Частота – это количество оборотов, совершаемых в единицу времени:

Единица измерения частоты: [ν ] = c^-1 = Гц.

При этом справедливы формулы:

При движении по окружности радиуса R, линейная скорость направлена по касательной (см. рис. 1.8), а её модуль равен

Справедливо также векторное равенство

9. Ускоренное движение по окружности и криволинейное движение.

Так как направление скорости изменяется, то движение по окружности – это всегда движение с ускорением, и ускорение направлено к центру. Оно называется нормальным (центростремительным).

где R – радиус окружности, по которой происходит движение.

Если угловая скорость изменяется, то вводится угловое ускорение:

Угловое ускорение измеряется в рад/с². При ε =const движение является равноускоренным и угловая скорость определяется формулой:

,

а угол поворота:

При изменении угловой скорости по величине, в соответствии с (), изменяется величина линейной скорости, и при описании криволинейного движения для характеристики изменения модуля линейной скорости вводится тангенциальное (касательное) ускорение, которое направлено по касательной и определяется формулами:

Полное ускорение при неравномерном криволинейном движении определяется как векторная сумма тангенциальное и нормального:

А его величина:

Так как тангенциальное и нормальное ускорения взаимно перпендикулярны.

Рис 1.8

1.2 Примеры решения задач

1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид , где м, м/с, м/с³. Для момента времени t₁ = 2 с определить: 1) координату x₁ точки; 2) мгновенную скорость υ ₁; 3) мгновенное ускорение a₁.

Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени t₁:

.

Подставим в это выражение значения А, В, С, t₁ и произведем вычисления:

м.

2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х по времени: . Тогда в заданный момент времени t₁ мгновенная скорость

Подставим сюда значения В, С, t₁ и произведем вычисления:

υ ₁ = –4 м/с.

Знак минус указывает на то, что в момент времени t₁ = 2 с точка движется

в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем,

взяв вторую производную от координаты х по времени: . Мгновенное ускорение в заданный момент времени t_t равно

Подставим значения С, t₁ и произведем вычисления:

a₁ = –6 м/с².

Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид , где м, м/с, м/с². 1. Построить график зависимости координаты х и пути s от времени. 2. Определить среднюю скорость < υ _x> за интервал времени от с до с. 3. Найти среднюю путевую скорость < υ > за тот же интервал времени.

Решение. 1. Для построения графика зависимости координаты точки от времени найдем характерные значения координаты – начальное и максимальное и моменты времени, соответствующие указанным координатам и координате, равной нулю.

Начальная координата соответствует моменту t = 0. Ее значение равно

x_a=x|_{t = 0}= A = 5 м.

Максимального значения координата достигает в тот момент, когда точка начинает двигаться обратно (скорость меняет знак) Этот момент времени найдем, приравняв нулю первую производную от координаты по времени:

υ = = В + 2Ct = 0, откуда

Максимальная координата

x_mах = x|_t=2 =9 м.

Момент времени t, когда координата х = 0, найдем из выражения

.

Решим полученное квадратное уравнение относительно t:

.

Подставим значения A, B, С и произведем вычисления:

t = (2 ± 3) с.

Таким образом, получаем два значения времени: t´ = 5 с и t″ = –1с. Второе значение времени отбрасываем, так как оно не удовлетворяет условию задачи (t ≥ 0).

График зависимости координаты точки от времени представляет собой кривую второго порядка. Для его построения необходимо иметь пять точек, так как уравнение кривой второго порядка содержит пять коэффициентов. Поэтому кроме трех вычисленных ранее характерных значений координаты найдем еще два значения координаты, соответствующие моментам t₁ = 1 с и t₂ = 6 с:

м, м,

Полученные данные представим в виде таблицы:

Используя данные таблицы, строим график зависимости координаты от времени (рис. 1.2).

График пути построим, исходя из следующих соображений: 1) путь и координата до момента изменения знака скорости совпадают; 2) начиная с момента возврата (t_B) точки она движется в обратном направлении и, следовательно, координата ее убывает, а путь продолжает возрастать по тому же закону, по которому убывает координата.

Следовательно, график пути до момента времени t_b = 2 с совпадает с графиком координаты, а начиная с этого момента является зеркальным отображением графика координаты (рис. 1.2).

2. Средняя скорость < υ _x> за интервал времени t₂ - t_x определяется выражением

< υ _x> = (x₂ - x₁)/ (t₂ - t₁).

Подставим значения х₁, х₂, t_1, t₂ из таблицы и произведем вычисления:

< υ _x> = 3 м/с.

3. Среднюю путевую скорость < υ > находим из выражения

< υ > = s / (t₂ – t₁),

где s – путь, пройденный точкой за интервал времени t₂ – t₁. Из графика рис. 1.2 видно, что этот путь складывается из двух отрезков пути: s₁ = х_таx -х₁ который точка прошла за интервал времени t_B - t₁ и s₂ = x_max + |х₂|, который она прошла за интервал t₂ – t_B. Таким образом, путь

s= s_l + s₂ = (x_таx +x) + (x_max + |x₂|)= 2x_max + |x₂| - x₁.

Подставим в это выражение значения x_1, |x₂|, x_max и произведем вычисления:

s = 17 м.

Тогда искомая средняя путевая скорость

< υ > = s / (t₂ – t₁) = 3, 4 м/c.

Заметим, что средняя путевая скорость всегда положительна.

3. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R = 50 м. Уравнение движения автомобиля , где м, м/с, м/с². Найти: 1) скорость υ автомобиля, его тангенциальное а_τ , нормальное а_п и полное а ускорения в момент времени t = 5 с; 2) длину пути s и модуль перемещения |∆ r| автомобиля за интервал времени τ = 10 с, отсчитанный с момента начала движения.

Решение. 1. Зная уравнение движения, найдем скорость, взяв первую

производную от координаты по времени: Подставим в это выражение значения В, С, t и произведем вычисления:

υ = 5 м/с.

Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скорости по времени: . Подставив значение С, получим м/с².

Рис. 1.3 Нормальное ускорение определяется по формуле а_п = υ ²/R. Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса кривизны траектории и произведем вычисления:

м/с².

Полное ускорение, как это видно из рис. 1.1, является геометрической суммой ускорений и а_п: . Абсолютное значение ускорения . Подставив в это выражение найденные значения и а_п получим

м/с².

2. Чтобы определить длину пути s, пройденного автомобилем, заметим, что в случае движения в одном направлении (как это имеет место в условиях данной задачи) длина пути s равна изменению криволинейной координаты ξ, т. е.

, или .

Подставим в полученное выражение значения В, С, т и произведем вычисления:

s = 50 м.

Модуль перемещения, как это видно из рис. 1.3, равен

,

где α – угол между радиус-векторами, определяющими начальное ξ (0) и конечное ξ (τ ) положения автомашины на траектории. Этот угол (в радианах) находим как отношение длины пути s к радиусу кривизны R траектории, т. е. α = s/R. Таким образом, подставим сюда значения R, s и произведем вычисления |∆ r| = 47, 9 м.

4. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой , при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой . Определить угловое ускорение ε маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N = 50 оборотов.

Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной ω ₀ и конечной со угловыми скоростями соотношением , откуда

. Но, так как , то

Подставив значения π, п, п₀, N и вычислив, получим

рад/с².

Знак минус указывает на то, что маховик вращался замедленно.

Определим продолжительность торможения, используя формулу, связывающую угол поворота φ со средней угловой скоростью < ω > вращения и временем t: . По условиям задачи угловая скорость линейно зависит от времени и поэтому можно написать < ω > =(ω ₀+ω )t/2=π (n₀+n)t, откуда

.

Подставив числовые значения и произведя вычисления, найдем

t = 6, 25 с.

2. Динамика

2.1. Введение. Законы Ньютона

1. Динамика – раздел физики, который изучает взаимодействие.

Взаимодействие – это взаимное влияние тел друг на друга, приводящее к изменению его состояния. Состояние в механике определяется заданием координат и скоростей всех элементов, принадлежащих системе.

Основная задача динамики (в механике) – установить причины, вызывающие изменение скорости тела.

2. Сила – это физическая величина, характеризующая взаимодействие.

Сила обозначается следующим образом: . Единицей измерения силы является Ньютон: [F] = 1 H.

Сила характеризуется величиной, направлением и точкой приложения.

3. Инерция – это явление сохранения скорости телом, когда на него не действуют другие тела или их действия скомпенсированы.

4. Инертность – это свойство тел сохранять свою скорость.

Масса– это физическая величина, характеризующая инертность.

Единица измерения массы – килограмм: [m] = 1 кг.

5. Первый закон Ньютона: существуют системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых тело движется равномерно и прямолинейно, либо покоится, если на него не действуют другие тела или их действие скомпенсированы.

Принцип относительности Галилея: если выбрана одна инерциальная система отсчёта (ИСО), то любая другая, движущаяся относительно нее равномерно и прямолинейно, также будет инерциальной.

6. Второй закон Ньютона: в инерциальных системах отсчёта ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных к телу и обратно пропорционально массе тела:

где = – равнодействующая всех сил.

Данное равенство выражает принцип независимости действия сил в механике. Здесь N – число сил, действующих на точку.

В координатной записи равенство (2.1) имеет вид:

, ,

, ,

Второй закон Ньютона может быть сформулирован также следующим образом:

где – импульс.

7. Третий закон Ньютона: при взаимодействии двух тел они действуют друг на друга с силами, одинаковыми по величине и противоположными по направлению (рис. 2.1):

Эти силы действуют вдоль одной прямой и имеют одинаковую физическую природу.

Рис. 2.1

2.2. Силы в природе

1. Гравитационная сила (закон всемирного тяготения Ньютона):

где – гравитационная постоянная;

m₁ и m₂ – массы тел (гравитационные массы);

r – расстояние между центрами тел.

Гравитационная сила является силой притяжения. Она направлена вдоль прямой, соединяющей центры тел. Формула справедлива для точечных и сферических тел. Для тел другой формы по этой формуле можно только оценить порядок величины силы взаимодействия. Гравитационное взаимодействие осуществляется посредством гравитационного поля. Силовой характеристикой гравитационного поля является напряженность. 2. Напряженность гравитационного поля

где F - сила тяготения, действующая на материальную точку массы т; помещенную в некоторую точку поля.

3. Напряженность гравитационного поля, создаваемого телом, массу М которого можно считать распределенной сферически симметрично, определяется формулой:

g = GM/r²

где r - расстояние от центра тела до интересующей нас точки поля, находящейся вне его.

2. Сила тяжести – это проявление гравитационной силы в близости поверхности планеты. В этом случае поле вблизи поверхности планеты можно считать однородным и

где m – масса тела;

– ускорение свободного падения на поверхности планеты массой m_пл.

Галилей установил, что все тела вблизи поверхности Земли движутся с одинаковым ускорением g = 9, 8 м/с² вне зависимости от их массы (при отсутствии силы сопротивления воздуха), и это ускорение направлено вниз. Этот факт свидетельствует о равенстве инертной и гравитационной массы, и в дальнейшем будем использовать общий термин – масса.

4. Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли

где R - радиус Земли; g - ускорение на поверхности Земли. Если h < < R, то

.

3. Вес тела – это сила, с которой тело действует на опору или подвес, вследствие притяжения к планете.

Например (рис. 2.2): N – это сила нормальной реакции опоры, численно равная весу. Аналогично, для подвеса: T – сила натяжения (также численно равная весу).

Рис. 2.2

Пример

Тело массой m находится в кабине лифта, движущегося с ускорением a, направленным вверх. Найти вес тела.

Решение

Рис. 2.3

В проекции на ось Оу второй закон Ньютона примет вид:

Если ускорение лифта направлено вниз, то

4. Сила трения покоя – это сила, возникающая при соприкосновении двух тел и направленная в сторону, противоположную силе, которая стремится вызвать движение. Численно эта сила, вплоть до максимального значения, равна силе, которая стремится вызвать движение (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Максимальное значение силы трения покоя определяется формулой:

,

где μ – коэффициент трения покоя;

N – сила нормальной реакции опоры.

Физической причиной силы трения покоя является взаимодействие молекул соприкасающихся тел и шероховатостью их поверхности.

5. Сила трения скольжения – это сила, возникающая при скольжении одного тела по поверхности другого. Она направлена в сторону, противоположную движению: Величина силы определяется формулой:

,

где μ – коэффициент трения скольжения.

Причиной силы трения скольжения в первую очередь является шероховатость поверхностей.

В общем случае коэффициент трения скольжения зависит от скорости движения тела по поверхности. Сила трения скольжения не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей.

6. Сила трения качения возникает при качении круглого тела по поверхности. Она также направлена в сторону, противоположную движению. Значение силы определяется формулой:

где K – коэффициент трения качения (м);

r – радиус катящегося тела.

Причиной возникновения силы трения качения является деформация поверхностей соприкасающихся тел.

7. Сила вязкого трения (сила сопротивления среды):

где a – коэффициент динамического сопротивления, зависящий от формы и размеров тела, а также от вязкости среды;

– скорость тела относительно среды.

Формула справедлива для малых скоростей движения тел, для скоростей, при которых не возникают вихри. Для больших скоростей расчет величины силы сопротивления можно осуществить по формуле:

.

Сила вязкого трения, как и другие виды силы трения, также направлена в сторону, противоположную скорости движения.

8. Сила упругости – это сила, возникающая в деформированном образце и направленная в сторону, противоположную деформации. В случае малых по величине деформаций справедлив закон Гука:

где k – коэффициент жёсткости (упругости), Н/м;

– абсолютное удлинение (деформация), [м].

Относительная деформация при продольном растяжении или сжатии тела

,

гдеε - относительное удлинение (сжатие); х – абсолютное удлинение (рис. 4.1); l – начальная длина тела.

Относительная деформация при сдвиге определяется из формулы

,

гдеtg γ - относительный сдвиг; Δ s - абсолютный сдвиг параллельных слоев телаотносительно друг друга (риc. 4.2); h - раcстояние между слоями, γ - угол сдвига.(Для малых углов .).

10. Напряжение нормальное

где F_ynp1 - упругая сила, перпендикулярная поперечному сечению тела; S - площадь этого сечения.

Напряжение тангенциальное

где F_yпp2 - упругая сила, действующая вдоль слоятела; S - пощадь этого слоя.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Закон Гука для продольного растяжения или сжатия

,

где Е - модуль Юнга.

Закон Гука для сдвига

,

или ,

где G - модуль поперечной упругости (модуль сдвига).

Если пружины соединены последовательно, то их общая жесткость определяется формулой:

а если параллельно, то

k_об = k₁ + k₂.

9. Координаты центра масс системы материальных точек

, ,

где m_i – масса i-й материальной точки; x_i, y_i, z_i – ее координаты.

2.3 Законы сохранения

1. Изменение импульса:

где – начальная скорость; – конечная скорость.

Рис. 4.1.

2.Теорема о движении центра масс. Центр масс системы материальных точек движется с ускорением, определяемым суммой внешних сил, Действующих на систему.

, (4.3)

где -- сумма масс тел, принадлежащих системе, -- ускорение центра масс.

Введем понятие импульса силы:

который измеряется в ньютон-секундах: [J] = Н · с. Используя определение, выражение (4.3) можно представить в виде:

т. е. для изменения импульса системы тел, необходимо действие на эту систему внешних сил в течение некоторого промежутка времени.

3. Закон сохранения импульса: полный импульс замкнутой системы сохраняется при любых взаимодействиях тел внутри системы.

где – скорости тел до взаимодействия;

– скорости тел после взаимодействия. Или

где N – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

При этом система называется замкнутой, если на неё не действуют внешние силы (или их действие скомпенсировано).

4.2. Работа и энергия. Закон сохранения энергии

1. Работа – физическая величина, характеризующая результат действия силы по перемещению тела. Работа, совершаемая постоянной силой,

, или ,

где а – угол между направлениями векторов силы F и перемещения ∆ r.

8. Работа, совершаемая переменной силой,

,

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L

Работа измеряется в джоулях: [A] = Дж = Н · м.