Простейшие механические колебательные системы.

Свободными (собственными) называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему. Они возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия. Для того, чтобы тело совершало гармоническое колебательное движение, на него должна действовать сила, всегда направленная к положению равновесия, а по величине – прямо пропорциональная смещению от этого положения. Силы, направленные к положению равновесия, называются возвращающими.

Рассмотрим свободные колебания, происходящие в системе с одной степенью свободы.

Пружинный маятник. Пусть тело массой т укреплено на пружине, упругость которой k (пружинный маятник, рис.22.1). В отсутствие сил трения на тело, выведенное из положения равновесия, действует упругая сила пружины F= –kx. Тогда по второму закону динамики имеем: или . (1)

Если ввести обозначение , то уравнение (1) можно переписать в следующем виде: (2)

Это и есть дифференциальное уравнение свободных колебаний с одной степенью свободы. Его решением является функция вида . Величина является циклической частотой колебаний. Период колебаний пружинного маятника: (3).

Математический маятник. Это модель, в которой вся масса сосредоточена в материальной точке, колеблющейся на невесомой и недеформируемой нити (рис.22.3).

При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол a, такой, чтобы выполнялось условие , на тело будет действовать возвращающая сила . Знак минус указывает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению. Так как , то сила равна . Сила пропорциональна смещению, следовательно, под действием этой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания. Обозначим , где , имеем: или . Отсюда период колебаний математического маятника: .

Физический маятник. Его образует твердое тело, подвешенное в поле тяжести на закрепленной горизонтальной оси. Возвращающим моментом является момент силы тяжести , где – расстояние от оси до центра тяжести тела.

При малых значениях , тогда возвращающий момент: .

В соответствии с основным законом динамики вращения: , где J – момент инерции маятника относительно оси, e – угловое ускорение.

Так как , то . Приравнивая два момента для одного тела, находим:

; , (4)

где – приведенная длина физического маятника.

Энергия гармонических колебаний.

Характерной чертой гармонического осциллятора является то, что средние значения кинетической и потенциальной энергии осциллятора равны друг другу и каждое из них составляет половину полной энергии. Покажем это.

Кинетическую энергия колеблющегося тела можно определить, если в выражение для кинетической энергии подставить скорость :

(1).

Потенциальная энергия, обусловленная упругой силой, определяется как эквивалент работы, необходимой для смещения тела на расстояние x от положения равновесия, и равна:

Учитывая, что , получим:

. (2).

Полная механическая энергия осциллятора равна:

Из выражений (1) и (2) видно, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются со временем, причем, когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия обращается в нуль, и наоборот (рис.23.1). Период колебания кинетической и потенциальной энергий вдвое меньше периода колебаний системы. Полная механическая энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты. Постоянство полной механической энергии обусловлено отсутствием потерь энергии на совершение работы против сил сопротивления.

Затухающие колебания.

Реально свободные колебания под действием сил сопротивления всегда затухают. Объясняется это действием сил, тормозящих движение, например, сил трения в месте подвеса при колебаниях маятника, или силой сопротивления среды. В этом случае энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против этих сил. Поэтому свободные колебания под действием сил сопротивления всегда затухают.

Пусть точка совершает линейное гармоническое колебание в вязкой среде. Из опыта известно, что сила сопротивления среды зависит от скорости и направлена в сторону, противоположную скорости. При малых скоростях: , где r – постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления среды. Уравнение колебаний:

Введем обозначения: , тогда дифференциальное уравнение затухающего колебания:

(1)

где – коэффициент затухания, w₀ – собственная частота колебания. При отсутствии трения =0, уравнение примет вид уравнения для свободных незатухающих колебаний. В результате решения уравнения (1) получим зависимость смещения х от времени, то есть уравнение затухающего колебательного движения:

(2)

Выражение называется амплитудой затухающего колебания. Амплитуда уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания. Огибающая на графике зависит от . Чем она больше, тем круче огибающая, то есть колебания быстрее затухают (рис.24.1).

Путем подстановки функции (2) и ее производных по времени в уравнение (1), можно найти значение угловой частоты: . Период затухающих колебаний равен: .

Наглядной характеристикой затухания является отношение значений двух амплитуд, соответствующих промежутку времени в один период. Это отношение называют декрементом затухания :

Его натуральный логарифм есть безразмерная величина, называемая логарифмическим декрементом затухания: .

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающего колебания убывает в е раз, называют временем релаксации.

Тогда выражение для логарифмического декремента затухания примет вид: или .

Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний N, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Предыдущая 1 2 3 4 567 Следующая