Импульс точки и системы материальных точек. Закон сохранения импульса.

Вернемся к рассмотрению второго закона Ньютона

Пусть масса тела постоянна (не зависит от скорости). Тогда можно внести ее под знак производной: .

Векторная величина численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом этой материальной точки

. (6.1)

Подставляя это выражение в закон Ньютона, получаем

. (6.2)

Это выражение – более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равно действующей на нее силе. Выражение (6.2) называется уравнением движения материальной точки.

Векторная величина , равная , называется элементарным импульсом (силы).

Если , то после интегрирования получим

(6.3)
Изменение импульса материальной точки равно импульсу действующей на нее силы.

Если на материальную точку не действуют силы, то ее импульс не изменяется.

Рассмотрим теперь механическую систему, состоящую из n материальных точек. Для i-й точки согласно второму закону Ньютона

. (6.4)

Все тела, не входящие в рассматриваемую механическую систему, называются внешними, а силы, действующие со стороны этих тел, называются внешними силами. Силы взаимодействия частей самой системы называются внутренними.

Пусть – сумма всех внешних сил, действующих на i-ю точку системы, – внутренняя сила, действующая на i-ю точку со стороны k-ой, тогда: . В результате (6.4) примет вид

. (6.5)

Просуммируем левые и правые части (6.5) по всем точкам системы

. (6.6)

По третьему закону Ньютона: . Отсюда , т.е.

Обозначим – геометрическая сумма (результирующая) всех внешних сил и – импульс механической системы. Тогда (6.6) примет вид

. (6.7)

Скорость изменения импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему. Отметим полную аналогию (6.7) и (6.2).

Рассмотрим теперь замкнутую (или изолированную) систему, т.е. такую, на которую не действуют внешние силы.

В этом случае =0. Тогда из (6.7) получаем

. (6.8)

Это означает, что или (6.9)

Таким образом, справедлив закон сохранения полного импульса изолированной системы. При любом характере взаимодействия тел, образующих замкнутую систему, вектор полного импульса этой системы все время остается постоянным.

Закон сохранения полного импульса изолированной системы – это универсальный закон природы.

Если система незамкнута, то полный импульс незамкнутой системы не остается постоянным. Его изменение за единицу времени равно геометрической сумме всех внешних сил. Однако в некоторых случаях импульс незамкнутой системы также может сохраняться:

а) Иногда (например, при взрыве, ударе или выстреле) импульсы частей системы претерпевают большие изменения за сравнительно короткие промежутки времени. Это связано с возникновением в системе кратковременных, но весьма значительных по величине внутренних сил взаимодействия частей системы, по сравнению с которыми все постоянно действующие на систему внешние силы оказываются малыми. В этом случае внешними силами можно пренебречь и импульс всей системы в целом не изменяется.

б) Если система не замкнута, но =0, то по закону сохранения импульса импульс системы не изменяется с течением времени: .

в) Может оказаться, ¹ 0, и , но или . Тогда или . Например, на систему действуют внешние силы, направленные вертикально, тогда .

Энергия системы материальных точек. Закон сохранения

Механической энергии.

Рассмотрим систему материальных точек. Сумма потенциальной и кинетической энергии всех точек, входящих в эту систему, называется полной механической энергией системы.

Выясним, как изменяется энергия в консервативной системе, т.е. в системе, где действуют только консервативные силы. Для этого запишем уравнение движения для i-ой точки:

где –внутренние силы, действующие на i-ю точку, –внешние.

За малое время dt точка совершит перемещение . Умножим на это выражение уравнение движения:

–изменение кинетической энергии одной точки.

– изменение ее потенциальной энергии.

–работа внешних сил.

В итоге получаем: .

Просуммируем левые и правые части по всем точкам:

dE_К–изменение кинетической энергии всех точек,

dE_Р– изменение потенциальной энергии всех точек,

–работа внешних сил над всей системой за время dt.

Þ .

Но –полная механическая энергия системы.

dE–изменение полной механической энергии за время dt. Проинтегрируем по всему промежутку времени от t₁ до t₂.

Изменение полной механической энергии в незамкнутой консервативной системе равна работе внешних сил.

Если консервативная система замкнута, то внешние силы отсутствуют:

Þ Þ E = const.

закон сохранения энергии в замкнутой консервативной системе:

Сумма кинетической и потенциальной энергии всех материальных точек, входящих в замкнутую консервативную систему, остается величиной постоянной, какие бы изменения не происходили.

Если система подвергается действию неконсервативных (диссипативных) сил, механическая энергия убывает, переходя в другие виды энергии (например, тепловую при действии сил трения). Но в целом энергия остается постоянной.

Согласно всеобщему закону сохранения и превращения энергии уменьшение или увеличение полной механической энергии системы в точности компенсируется увеличением или уменьшением какого-либо другого вида энергии.

Энергия никуда не исчезает и не появляется вновь, а лишь переходит от одного тела к другому или превращается из одного вида в другой.

Характерным примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является соударение тел.

Удар или соударение – это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. При рассмотрении столкновений необходимо знать форму тел, массы покоя, скорости движения и их упругие свойства. Простейшим видом соударений является центральный удар тел, при котором тела до удара движутся поступательно вдоль прямой, проходящей через их центры масс.

Существует два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Рассмотрим центральный удар двух шаров для этих видов удара.

1. Абсолютно неупругий удар – это такой удар, после которого скорость соударяющихся тел оказывается одинаковой.

При абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию, поэтому здесь неприменим закон сохранения механической энергии, а применим лишь закон сохранения импульса:

3. Абсолютно упругий удар – это такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии, так как этом случае нет деформации, на которую бы расходовалась часть энергии. Следовательно, для абсолютно упругого удара выполняются законы сохранения механической энергии и импульса:

Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая