Фазовая и групповая скорость.

Процесс распространения колебаний в среде называется волновым процессом (или волной).

Все разнообразие волн в природе и технике подразделяют на два типа: волны механические (упругие) и электромагнитные.

Механическими (или упругими) волнами называются механические возмущения, распространяющимися в упругой среде.

Различают волны продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных – в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. В жидкой и газообразной среде возникают только продольные волны. Поперечные волны могут возникать только в твердых телах.

Волны распространяются в среде с определенной скоростью. Например.

Скорость распространения продольных волн в тонком стержне , где Е – модуль Юнга, r – плотность среды.

Скорость распространения поперечных волн в изотропном твердом теле , где – модуль сдвига.

Скорость распространения продольных (звуковых) волн в жидкости и в газе , где К – модуль объемной упругости среды, r – плотность среды. Например, в воздухе: , где Т – термодинамическая температура, измеренная по шкале Кельвина, t– температура, измеренная по шкале Цельсия.

При распространении колебаний в среде частицы не перемешаются вместе с волной, а лишь колеблются около своих положений равновесия. Поступательно перемещаются лишь фаза и энергия колебаний.

Графически волну изображают так же, как и колебания (рис.26.1).

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах, называется волновой поверхностью. В зависимости от формы волновой поверхности различают сферические, плоские, цилиндрические волны. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания с одинаковой фазой к некоторому моменту времени t, называется фронтом волны. Фронт волны является частным случаем волновой поверхности.

Пусть плоская волна распространяется вдоль оси х (рис.26.1). Эта волна характеризуется: длиной волны, периодом, амплитудой, частотой, фазовой скоростью.

Расстояние, на которое определенная фаза распространяется за один период колебания, называется длиной волны l.

λ =vT.

Из рисунка видно, что l – это наименьшее расстояние между точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Скорость распространения волны (фазовая скорость) – равна скорости перемещения в пространстве точек поверхности, соответствующей любому фиксированному значению фазы.

Волна, распространяющаяся в пространстве от какого-либо источника называется бегущей волной.

Уравнением волны называется алгебраическое выражение, которое дает зависимость смещения s колеблющейся точки как функция ее координат (х) и времени t: .

Допустим, что в точке А упругой среды находится источник, который колеблется по закону:

Возьмем на оси 0Х произвольную точку В, лежащую на расстоянии х от начала координат (рис.26.2.). Колебания дойдут до точки В через промежуток времени: t=х/v. То есть точка В начнет колебаться на время t позже точки 0. Если считать, что колебания не затухают, то можно определить смещение точки B в некоторый момент времени t: или

. (1)

Это уравнение бегущей волны.

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси 0Х имеет вид:

, (2)

где – начальная фаза колебаний; – фаза плоской бегущей волны.

Для характеристики волн используется волновой вектор , напрвление которого совпадает с направлением распространения волны. Длина этого вектора называется волновым числом. Оно характеризует скорость изменения фазы в пространстве

. (3)

Учитывая (3), уравнение (2) примет вид:

(4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси 0Х отличается от (4) знаком слагаемого kx.

Из условия получаем выражение для фазовой скорости: .

Любую несинусоидальную волну можно заменить эквивалентной ей системой синусоидальных волн – группой волн, или волновым пакетом. Спектр частот такой волны – это совокупность значений частот синусоидальных волн.

Скорость распространения волны может зависеть от частоты (длины волны). В этом случае говорят, что имеет место явление дисперсии. А такую среду называют диспергирующей. В недиспергирующей среде все синусоидальные волны, образующие волновой пакет, имеют одинаковые фазовые скорости v. В диспергирующей среде – разные. В этом случае волновой пакет перемещается со скоростью, называемой групповой. Групповая скорость волны (пакета) – это скорость переноса энергии этой волной: . Связь между групповой и фазовой скоростями определяется выражением: . В недиспергирующей среде: и групповая скорость совпадает с фазовой.

Волновое уравнение.

Выберем совокупность точек, принадлежащих сплошной среде и лежащих на одной прямой, вдоль которой распространяется продольная волна.

Пусть смещение некоторой точки, лежащей на этой прямой, из положения равновесия равно s. Расстояние между точками – dx. Для точек, расположенных на расстоянии dx смещения составляют s и s+ds, то есть при перемещении точки на расстояние dx смещение меняется на величину ds.

– относительная деформация.

Если e> 0 – расстояние между точками увеличивается – растяжение среды; если e< 0 – сжатие.

Пусть известно уравнение плоской бегущей волны: ,

первая производная по времени: (1)

и по координате: (2)

Сравнивая (1) и (2). получим: .

Отсюда видно, что деформация среды имеет по абсолютному значению наибольшую величину в тех точках. где скорость колеблющихся точек – наибольшая, то есть где точки проходят через положение равновесия. Из (1) и (2) найдем вторые производные:

Отсюда получим дифференциальное уравнение, с помощью которого описывается распространение волны вдоль оси 0Х:

или

Получили дифференциальное уравнение, решением которого является уравнение волны. В трехмерном случае распространение волны в среде описывается дифференциальным уравнением в частных производных, которое называется волновым уравнением и имеет вид:

где S – физическая величина, которая характеризует возмущение, распространяющееся в среде с скорость v;

– оператор Лапласа.

Предыдущая 1 2 3 4 5 67Следующая