Энергия движущегося твердого тела

Кинетическая энергия поступательно движущегося твердого тела определяется очень просто. Так как все точки тела при таком движении имеют одинаковую скорость, то кинетическая энергия равна просто (4)

где — скорость тела, а М — его полная масса. Это выражение такое же, как если бы со скоростью двигалась одна материальная точка массы М. Ясно, что поступательное движение твердого тела вообще ничем существенным не отличается от движения материальной точки.

Определим теперь кинетическую энергию вращающегося тела. Для этого разделим его мысленно на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки. Если m_i есть масса i-го элемента, а r_i— его расстояние до оси вращения, то его скорость равна , где — угловая скорость вращения тела. Кинетическая энергия этого элемента равна и, просуммировав эти энергии, получим полную кинетическую энергию тела (5)

Стоящая здесь в скобках сумма зависит от того, с каким именно твердым телом мы имеем дело (от его формы, размеров и распределения масс в нем), а также от того, как расположена в нем ось вращения. Эта величина, характеризующая твердое тело и выбранную ось вращения, называется моментом инерции тела относительно данной оси.

Обозначим его буквой I: (6)

Если твердое тело — сплошное, то его нужно разделить на бесконечно большое количество бесконечно малых частей; суммирование в написанной формуле заменяется тогда интегрированием. Укажем для примера, что момент инерции сплошного шара (с массой М и радиусом R) относительно оси, проходящей через его центр, равен ; момент инерции тонкого стержня (длины l) относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его середину, равен .

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела может быть написана в виде (7)

Это выражение формально похоже на выражение для энергии поступательного движения, отличаясь от него тем, что вместо скорости V стоит угловая скорость , а вместо массы — момент инерции. Здесь мы имеем первый пример того, что при вращении момент инерции играет роль, аналогичную массе при поступательном движении.

Кинетическую энергию произвольно движущегося твердого тела можно представить в виде суммы поступательной и вращательной энергий, если в способе разделения двух движений выбрать основную точку О в центре инерции тела. Тогда вращательное движение будет представлять собой движение точек тела относительно его центра инерции, т.е.играет роль «внутреннего» движения. Поэтому для кинетической энергии произвольного движущегося тела имеем (8)

Индекс «0» у момента инерции означает, что он берется относительно оси, проходящей через центр инерции.

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси Z, не проходящей через центр инерции. Кинетическая энергия этого движения есть , где I - момент инерции относительно оси Z. С другой стороны, можно рассматривать это же движение как совокупность поступательного движения со скоростью V центра инерции и вращения (с той же угловой скоростью ) вокруг оси, проходящей через центр инерции параллельно оси Z. Если а есть расстояние центра инерции от оси Z, то его скорость V=a . Поэтому кинетическую энергию тела можно представить также и в виде

(9)

Сравнивая оба выражения, найдем

Эта формула связывает момент инерции тела относительно какой-либо, оси с моментом инерции относительно другой оси, параллельной первой и проходящей через центр инерции (теорема Гюйгенса-Штейнера). Очевидно, что I всегда больше, чем I₀. Другими словами, при заданном направлении оси минимальное значение момента инерции достигается для оси, проходящей через центр инерции.

Вращательный момент

При вращательном движении тела момент его импульса играет роль, аналогичную роли импульса при движении материальной точки. В простейшем случае тела, вращающегося вокруг закрепленной оси, такую роль играет составляющая момента вдоль этой оси (назовем ее осью Z).

Для вычисления этой величины разобьем тело, как и при вычислении кинетической энергии, на отдельные элементарные части. Момент импульса отдельного (i-ro) элемента есть , где — радиус-вектор этого элемента, отсчитываемый от некоторой точки О на оси Z, по отношению к которой определяется момент (рис. 3). Поскольку каждая точка тела движется вокруг оси вращения по окружности, то скорость касательна к этой окружности.

Разложим вектор , - на два вектора, из которых один направлен вдоль оси, а другой ( ) — перпендикулярен ей. Тогда произведение даст как раз ту часть момента импульса, которая направлена параллельно оси Z (напомним, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плоскости, проходящей через эти векторы). Так как векторы и взаимно перпендикулярны (радиус окружности и касательная к ней), то величина произведения есть просто где — расстояние элемента от оси вращения. Наконец, поскольку , то мы приходим к выводу, что составляющая момента импульса элемента вдоль оси вращения равна . Образовав сумму , мы и получим искомую проекцию M_z полного момента импульса тела на ось Z. Эту величину называют также моментом импульса (или вращательным моментом) тела относительно данной оси.

Вынеся в написанной сумме общий множитель за скобку, мы получим в скобках сумму, как раз совпадающую с выражением для момента инерции I. Таким образом, получим окончательно (11)

т. е. вращательный момент тела равен произведению угловой скорости на момент инерции тела относительно оси вращения. Обратим внимание на аналогию между этим выражением и выражением для импульса частицы: вместо скорости стоит угловая скорость, а роль массы снова играет момент инерции.

Если на тело не действуют внешние силы, вращательный момент тела остается постоянным: тело вращается «по инерции» с постоянной угловой скоростью . Постоянство следует при этом из постоянства M_z в силу подразумевающейся нами неизменности самого тела при вращении, т. е. неизменности его момента инерции. Если же взаимное расположение частей тела (а тем самым и его момент инерции) меняется, то при свободном вращении будет меняться и угловая скорость так, чтобы произведение оставалось постоянным. Если, например, на вращающейся с малым трением скамейке находится человек с гирями в руках, то, раздвигая руки, он тем самым увеличит свой момент инерции; сохранение произведения приведет при этом к уменьшению угловой скорости его вращения.

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 Следующая