Приборы и принадлежности: унифилярный подвес, набор образцов (тел правильной геометрической формы), штангенциркуль.

1. Подготовить прибор к работе, установить магнит в выбранном положении.

2. Измерить с помощью штангенциркуля геометрические размеры образца – длину, высоту и ширину – в формуле (20).

3. В рамке прибора закрепить образец по оси, проходящей через центры противоположных граней (главная ось).

4. Поворачивая рамку прибора, приблизить ее стрелу к электромагниту таким образом, чтобы электромагнитная сила фиксировала положение рамки.

5. Нажать кнопку «Пуск».

6. После считывания измерителем не менее 10 крутильных колебаний, нажать кнопку «Стоп».

7. Вычислить период колебаний крутильного маятника по формуле , где – число колебаний, - их время.

8. Повторить опыт 5 раз. Вычислить среднее значение квадрата периода . Вычислить среднее квадратичное по формуле (19).

9. Поочередно закрепляя образец относительно двух других главных осей, повторить эксперимент согласно пунктам 4 – 8, определив, таким образом, средние квадраты периодов .

10. Закрепить образец вдоль его пространственной диагонали. Повторить эксперимент, описанный в пунктах 4. – 8. Данные занести в таблицу.

11. Определить доверительный интервал, используя формулу (19). Записать ответ в виде: .

12. Рассчитать среднее значение периода колебаний относительно оси, совпадающей с пространственной диагональю образца, определить доверительный интервал, используя формулы (20) и (21). Записать результат в виде: .

13. Сравнить и . Сделать вывод.

14. Повторить весь эксперимент для другого образца.

Контрольные вопросы

10. Что называется моментом инерции тела?

11. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения и уравнение моментов.

12. Что называется тензором инерции?

13. Что такое главные и центробежные моменты инерции?

14. Что такое эллипсоид инерции?

15. Получите формулы для моментов инерции диска и цилиндра относительно их геометрических осей.

16. Запишите выражение для кинетической энергии тела, участвующего в поступательном и вращательном движении.

17. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

лабораторная работа 1-6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА

С ПОМОЩЬЮ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Цель работы: изучить виды деформации твердого тела и определить модули сдвига исследуемого материала.

Теоретическая часть

Деформация

В изолированном твердом теле (на тело не действуют никакие внешние силы) атомы находятся, в основном, в состоянии колебательного (теплового) движения относительно фиксированных в пространстве положений равновесия. Если к твердому телу приложить внешние силы так, чтобы выполнялись условия его статического равновесия (векторные суммы, как внешних сил, так и моментов внешних сил равны нулю) положения равновесия атомов в пространстве изменятся. При этом может измениться либо форма твердого тела, либо его объем, либо и форма и объем. Говорят, что тело под воздействием статических нагрузок тело деформируется. После прекращения воздействия внешних сил тело либо восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, (такая деформацияназывается упругой ), либо форма и размеры его не совпадают с первоначальными (при пластической деформации). Характер деформации зависит от величины внешних сил, от размеров и формы твердого тела, а также от свойств материала. Мы будем рассматривать лишь упругую деформацию.

Закон Гука

Рассмотрим упругую деформацию, возникающую в стержне, т.е. теле, имеющем форму правильной призмы или цилиндра, при воздействии двух сил, равномерно распределенных по основаниям призмы и направленных вдоль оси стержня. Из условий статического равновесия (векторная сумма сил должна быть равна нулю) силы, приложенные к основаниям должны быть одинаковой величины и иметь противоположные направления. Статическое равновесие требует также равенства нулю момента внешних сил, что может быть выполнено в данном случае только при расположении сил вдоль одной прямой. Эта прямая перпендикулярна основаниям. Две возможных схемы приложения сил и соответствующие им деформации представлены на рис. 1а и рис. 1б.

Исходное (недеформированное) состояние стержня представлено пунктирными линиями. В случае, изображенном на рис. 1а стержень испытывает деформацию растяжения. Его длина L увеличивается на величину DL, которая называется абсолютной деформацией. Одновременно происходит уменьшение поперечных размеров стержня. На рис. 1а символом H обозначен какой-либо поперечный размер стержня (например, диаметр для стержня цилиндрической формы или поперечный размер грани для стержня призматической формы). При растяжении стержня этот размер уменьшается на величину DH. Такую деформацию мы считаем отрицательной.

На рис. 1б представлена деформация стержня под действием сжимающих сил. В этом случае продольный размер L уменьшается на величину DL (абсолютная деформация равна - DL ), а поперечный размер H увеличивается на величину DH ( абсолютная деформация равна положительному числу + DH ).

Для изотропных материалов (т.е. таких, у которых свойства одинаковы по всем направлениям) между поперечной и продольной деформациями существует следующее соотношение:

, (1)

в котором m ¾ коэффициент Пуассона, зависящий от упругих свойств материала.

Величины отношений и называются относительной поперечной и относительной продольной деформациями, соответственно.

При небольших деформациях между модулем приложенной к стержню силы и величиной (модулем) относительной продольной деформации существует соотношение, называемое законом Гука:

, (2¢ )

где S ¾ площадь поперечного сечения стержня, Е ¾ модуль Юнга, зависящий от упругих свойств материала. Величина отношения модуля силы, перпендикулярной сечению, к площади поперечного сечения называется нормальным напряжением, s. Физический смысл нормального напряжения аналогичен смыслу давления. Закон Гука часто записывают через нормальное напряжение:

(2)

Оказывается, упругие свойства изотропных материалов полностью описывается с помощью двух величин ¾ коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Другими словами: деформации, возникающие в твердом теле произвольной формы при воздействии на него произвольной системы сил, удовлетворяющей условиям статического равновесия твердого тела, могут быть рассчитаны с помощью только этих двух постоянных. Рассмотрим справедливость этого утверждения на примере более сложных систем сил.

Чистый сдвиг

Чистым сдвигом называется деформация, возникающая под действием сил, изображенных на рисунке 2. Тело кубической формы подвергается воздействию четырех сил одинаковой величины F, равномерно распределенных по соответствующим граням и приложенных параллельно этим граням. Равновесие тела обеспечивается тем, что силы, приложенные к противоположным граням, имеют взаимно противоположные направления.

На рис. 2 изображена проекция в плоскости, перпендикулярной оси «OZ». Деформация тела характеризуется углом поворота грани g вокруг этой оси относительно ее начального положения. Напряжения на гранях при воздействии сил, параллельных граням, называются касательными напряжениями. Их величина , где S ¾ площадь грани.

Выполним вычисление g в зависимости от напряжений на гранях t. Как и прежде, будем считать величину деформации (угол g ) малой. Рассмотрим равновесие частей деформированного кубика, разрезанного вдоль большей диагонали D1 плоскостью, параллельной оси «OZ». Эти части изображены на рис. 3. Обозначены площади диагонального сечения (при вычислении площади мы пренебрегаем изменением длины диагоналей при деформации кубика, считая их незначительными), площади граней кубика, S и силы, действующие на внешних гранях кубика, а также внутренняя сила , возникающая при взаимодействии разрезанных частей кубика.

Вычислим величину и направление силы , используя условия равновесия одной из частей разрезанного кубика, например I. Векторная сумма сил, действующих на эту часть, должна равняться нулю:

Запишем проекции этого равенства на оси координат:

Отсюда следует, что сила лежит в плоскости «XOY» ( ) и расположена под углом 45⁰ к оси «OY» ( ). Следовательно, сила перпендикулярна диагональной грани рассматриваемой части кубика и, следовательно, порождает внутреннее нормальное напряжение сжатия:

Мы получили следующий результат: внутри кубика существуют нормальные напряжения сжатия по направлению, перпендикулярному диагонали D1 ( т.е. вдоль другой диагонали, D2 ) и равные касательному напряжению на его внешних гранях.

Эти результаты позволяют перейти к расчету деформации кубика вдоль его диагоналей, зная которые, можно будет вычислить угловую деформацию кубика, g.

Рассмотрим относительные деформации маленького кубика, расположенного внутри деформированного объема и ориентированного так, что его грани перпендикулярны диагоналям D1 и D2. На рис. 4 показан этот кубик и действующие на его гранях внутренние напряжения s ( ). Относительная деформация диагоналей D1 и D2 будет равна относительным деформациям выделенного кубика вдоль направления этих диагоналей. Их мы определим с помощью закона Гука и соотношения между поперечными и продольными относительными деформациями, используя принцип суперпозиции. Рассмотрим относительную деформацию диагонали D1, возникающую только под действием растягивающих напряжений s, направленных вдоль этой диагонали. По закону Гука . Теперь рассмотрим относительную деформацию диагонали D1, возникающую под действием только сжимающих напряжений s вдоль другой диагонали, D2. Эта деформация будет поперечной, и ее величину можно найти с помощью соотношения (1): , где ¾ относительная деформация диагонали D2 под действием только сжимающих напряжений s. С помощью закона Гука находим . Знак минус в этой формуле учитывает то, что под воздействием сжимающих напряжений размер тела уменьшается. Используя этот результат, запишем . По принципу суперпозиции получаем полную деформацию диагонали D1, возникающую под действием как сжимающих, так и растягивающих напряжений s : .

Переходим к вычислению угла g. Это задача чисто геометрическая. Будем считать деформации такими малыми, что , где a ¾ размер грани исходного кубика. На рис. 5 показан вид деформированного кубика в плоскости «XOY». Символом D обозначена длина диагонали в свободном (недеформированном) состоянии. Тогда длина короткой диагонали D2 деформированного кубика и

. (3)

(В последнем преобразовании мы использовали геометрию: D ¾ диагональ квадрата со стороной а ).

Теперь вычислим DD геометрически. Из прямоугольного треугольника с катетами а и находим гипотенузу D2: .Считая угол g очень малым, выразим Dа как длину дуги радиуса а, опирающуюся на угол гамма: .

С учетом этого соотношения: . Учитывая то, что g намного меньше единицы, . Окончательно получим выражение для DD: и . Приравнивая это выражение выражению (3) получаем , откуда следует: . Вспоминая, что нормальное напряжение на гранях выделенного внутреннего кубика (повернутого на 45⁰относительно наружного) равно касательному напряжению на гранях наружного кубика ( ), получим вариант закона Гука для чистого сдвига: (4)

где величина называется модулем сдвига.

На рисунке 6 представлена схема рассматриваемой деформации, поясняющая смысл ее названия « деформация сдвига ». Если недеформированный кубик разделить мысленно на стопку тонких параллельных основанию слоев, то можно видеть, что в деформированном кубике эти слои сдвинуты относительно друг друга.

Естественным параметром, количественно описывающем такую деформацию, служит угол «перекоса » стопки g.

Чистое кручение

Рассмотрим деформацию чистого кручения на примере стержня, имеющего форму прямого кругового цилиндра. Такой вид деформации возникает при воздействии на торцы цилиндра двух равных по величине и противоположных по направлению моментов сил М, направленных вдоль оси цилиндра и равномерно распределенных по площади торцов. На рис. 7 показана деформация такого цилиндра. Ее можно представить, как совокупность взаимных поворотов бесконечно тонких слоев, на которые разделен цилиндр плоскостями, перпендикулярными своей оси. При чистом кручении слои остаются плоскими, т.е. сохраняют свою форму и размеры. Для наглядности на рисунке показаны слои достаточно большой толщины. Показан угол j, на который повернулся верхний торец цилиндра относительно нижнего. Этот угол является количественной мерой деформации чистого кручения и называется углом кручения. При упругой деформации чистого кручения закон Гука имеет вид:

, (5)

где величина f называется модулем кручения. Наша задача ¾ выразить модуль кручения.

Рассмотрим равновесие верхнего цилиндрического слоя. Он находится под воздействием момента внешних сил , приложенного к верхнему сечению слоя. К нижнему сечению этого слоя приложен момент сил упругости . В равновесии должно выполняться равенство , из которого следует .

Рассмотрим деформацию бесконечно тонкого слоя цилиндра высотой dz. Его верхнее сечение повернулось на угол dj относительно нижнего. На рис. 8 показана ось «OZ» и положительный относительно этой оси угол dj. Показаны моменты сил упругости и , действующие на рассматриваемый слой со стороны отброшенных частей цилиндра. Выделим внутри этого слоя бесконечно малый элемент объема, который в недеформированном слое имел форму прямого прямоугольного параллелепипеда высотой dz с двумя гранями, расположенными перпендикулярно радиусу и двумя гранями, расположенными перпендикулярно радиусу цилиндра.

После деформации все слои этого элемента объема сместятся параллельно основанию, т.е. этот элемент объема испытывает деформацию сдвига. Угол сдвига будет зависеть от угла кручения, расстояния элемента объема от оси цилиндра и высоты цилиндра, h. Найдем вид этой зависимости.

На рис. 9 показаны размеры и форма рассматриваемого бесконечно малого (в дальнейшем б.м.) объема в недеформированном состоянии и после его деформации.

Обозначения на рисунке: dz ¾ толщина слоя, da ¾ угловой размер б.м. объема, r ¾ расстояние этого объема от оси цилиндра, ¾ размер б.м. кубика в тангенциальном направлении, dr ¾ размер б.м. кубика в радиальном направлении, dj ¾ угловая деформация кручения цилиндрического слоя, g ¾ угловая деформация сдвига б.м. объема, D ¾ линейное перемещение верхней грани б.м. кубика относительно нижней при деформации сдвига, t ¾ касательные напряжения сдвига на гранях б.м. кубика, параллельных основаниям цилиндра (на двух других гранях имеются касательные напряжения той же величины, но они не показаны на рисунке).

Выразим угловую деформацию кручения dj через угол кручения цилиндра j. Поскольку все бесконечно тонкие слои одинаковой толщины dz испытывают воздействие одинаковых скручивающих моментов сил, их деформации dj одинаковы. Отсюда вытекает, что угол кручения цилиндра, имеющего высоту h, равен произведению dj на количество слоев толщиной dz, т.е. . Откуда .

Найдем теперь угловую деформацию сдвига g. Для этого выразим линейное смещение верхней грани D, с одной стороны, через g, а с другой ¾ через dj: . Отсюда . Вычислим момент сил упругости через касательные напряжения t. Используем закон Гука для деформации сдвига (4) и получаем: . К грани кубика с площадью приложена касательная сила . Проекция момента этой силы на ось «OZ» равна . Интегрируя по площади верхнего сечения цилиндрического слоя, получаем (через обозначен внешний радиус цилиндра).

Проекция момента внешних сил на ось «OZ», т.е. М, приложенных к верхнему сечению всего цилиндра, равна найденной проекции момента сил упругости: (6)

Сравнивая это выражение с формулой (5), находим выражения для модуля кручения: (7)

Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая