Уравнение движения вращающегося тела

Уравнение движения материальной точки связывает, как мы знаем, скорость изменения ее импульса с действующей на нее силой. Поступательное движение твердого тела мало чем отличается от движения материальной точки и уравнение этого движения заключается в такой же связи между полным импульсом тела и полной действующей на него силой :

(12)

Для вращательного движения аналогичную роль играет уравнение, связывающее скорость изменения момента импульса тела с моментом действующих на него сил. Выясним, как выглядит эта связь, причем снова ограничимся простейшим случаем вращения тела вокруг определенной закрепленной оси (ось Z).

Момент импульса тела относительно оси вращения мы уже определили. Обратимся теперь к действующим на тело силам. Ясно, что силы, направленные параллельно оси вращения, могут только сдвинуть тело вдоль этой оси, но не могут произвести вращения тела. Мы можем поэтому не принимать во внимание таких сил и рассматривать только силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Момент N_z такой силы относительно оси Z дается величиной векторного произведения , где — вектор расстояния точки приложения силы от оси. По определению векторного произведения имеем

(13)

где — угол между и (на рис. 4 ось Z перпендикулярна плоскости чертежа и проходит через точку О; А есть точка приложения силы). Иначе можно записать

(15)

где — плечо силы относительно оси (расстояние от оси до направления действия силы).

Согласно взаимосвязи между скоростью изменения момента импульса и моментом действующих сил можно написать теперь равенство или (16)

Это и есть уравнение движения вращающегося тела. Производную можно назвать угловым ускорением. Мы видим, что оно определяется моментом действующей на тело силы, подобно тому как ускорение поступательного движения определяется самой силой.

Если на тело действует несколько сил, то под N_z в написанном уравнении следует, конечно, понимать сумму их моментов. При этом надо помнить о векторном происхождении величины N_z и приписывать разные знаки моментам сил, стремящимся повернуть тело в противоположных направлениях вокруг оси. Положительный знак имеют моменты сил, под действием которых тело поворачивается в направлении, отвечающем условленному направлению отсчета угла j поворота тела вокруг оси (j есть тот угол, производная которого по времени есть угловая скорость вращения тела: ).

Отметим также, что в твердом теле можно, не изменяя свойств движения, любым образом смещать точку приложения силы вдоль направления ее действия. Очевидно, что такой перенос не изменит плеча силы, а потому не изменится и ее момент.

Условие равновесия тела, могущего вращаться вокруг некоторой оси, заключается, очевидно, в равенстве нулю суммы моментов действующих на него сил. Это — так называемый закон моментов. Его частным случаем является известное правило рычага, устанавливающее условие равновесия стержня, могущего вращаться вокруг одной из своих точек.

Существует простая связь между моментом действующей на тело силы и работой, производимой ею при вращении тела. Работа, производимая силой при повороте тела вокруг оси на бесконечно малый угол dj (рис. 4), равна произведению перемещения ds=rdj точки А приложения силы на составляющую F_S=Fsinq силы вдоль направления движения: (17)

Мы видим, что момент силы относительно оси совпадает с производимой ею работой, отнесенной к единичному угловому перемещению. С другой стороны, произведенная над телом работа равна убыли его потенциальной энергии. Поэтому можно написать, что откуда (18)

Таким образом, момент силы равен взятой с обратным знаком производной от потенциальной энергии по углу поворота тела вокруг данной оси. Обратим внимание на аналогию между этим соотношением и формулой , связывающей саму силу с изменением потенциальной энергии при движении материальной точки или при поступательном перемещении тела.

Легко убедиться в том, что уравнение движения вращающегося тела находится, как и должно было быть, в согласии с законом сохранения энергии. Полная энергия тела есть (19)

а ее сохранение выражается равенством (20)

По правилу дифференцирования функции от функции имеем

(21)

Производная же . Подставив эти выражения и сократив общий множитель , мы снова получим известное уже нам уравнение (22)

Если применить соотношение к внутренней потенциальной энергии системы, понимая при этом под N_z суммарный момент действующих на все ее частицы сил, то мы увидим, что условие неизменности потенциальной энергии при повороте замкнутой системы вокруг любой оси действительно означает равенство нулю суммарного момента сил.

Равнодействующая сила

Если на твердое тело действует много сил, то движение тела зависит только от суммы всех этих сил и от суммы их моментов. Это обстоятельство позволяет иногда заменить совокупность всех действующих на тело сил одной силой, которую называют в таком случае равнодействующей. Очевидно, что по величине и направлению равнодействующая сила равна сумме всех сил, а ее точка приложения должна быть выбрана таким образом, чтобы ее момент был равен суммарному моменту всех сил.

Наиболее важный случай такого рода — сложение параллельных сил. Сюда относится, в частности, сложение сил тяжести, действующих на отдельные части твердого тела.

Рассмотрим какое-либо тело и определим полный момент сил тяжести относительно произвольно выбранной горизонтальной оси (ось Z на рис. 5). Сила тяжести, действующая на элемент m_i тела, равна m_ig, а ее плечо есть координата x_i этого элемента. Поэтому суммарный момент всех сил равен

(23)

Равнодействующая сила по величине равна полному весу тела и если обозначить координату ее точки приложения через X, то тот же момент N_z запишется в виде (24)

Приравняв оба выражения, найдем (25)

Но это есть не что иное, как х-координата центра инерции тела.

Таким образом, мы видим, что всю совокупность действующих на тело сил тяжести можно заменить одной силой, равной полному весу тела и приложенной к его центру инерции. В связи с этим центр инерции тела часто называют также его центром тяжести.

Сведение системы параллельных сил к одной равнодействующей силе, однако, невозможно, если сумма сил равна нулю. Действие такой совокупности сил может быть сведено к действию, как говорят, пары сил: двух сил, равных по величине и противоположных по направлению. Легко сообразить, что сумма N_z моментов таких двух сил относительно любой оси Z, перпендикулярной плоскости их действия, одинакова и равна произведению величины F на расстояние h между направлениями действия обеих сил (плечо пары): N_z=Fh.

Действие пары сил, оказываемое ею на движение тела, зависит только от этого, как говорят, момента пары.

Методика проведения эксперимента и описание установки

Задачи работы: экспериментальное исследование закономерностей гироскопического эффекта, опытное определение полного момента инерции гироскопа.

Приборы и принадлежности: гироскоп ФМ-18, электронный блок, штангенциркуль.

Гироскопом называет массивное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг неподвижной оси симметрии. В экспериментальной установке, показанной на рис. 6, гироскопом служит металлический диск 1 с горизонтально расположенной осью 2, который приводится во вращение электродвигателем 3. Ось гироскопа опирается на шарнир 4, закреплённый на подставке 5. Горизонтальное положение оси обеспечивается противовесом 6. Смещая противовес вдоль градуированной шкалы 7, можно создавать дополнительный момент силы тяжести, действующий на гироскоп при его вращении.

Установка работает от блока управления. Левое табло показывает частоту вращения маховика гироскопа – после включения индуцирует начальную частоту. Правое табло индуцирует время поворота гироскопа вокруг вертикальной оси на 90⁰.

Установка позволяет наблюдать так называемый гироскопический эффект, заключающийся в том, что попытка повернуть ось гироскопа в определённой плоскости Х приводит на самой деле к повороту в плоскости, перпендикулярной плоскости Х. Допустим, что в первоначальном положения противовес 6 уравновешивает гироскоп так, что полный момент сил, действующих на гироскоп, . В этих условиях согласно закону сохранения момента импульса должно выполняться равенство и ось гироскопа остаётся горизонтальной и неподвижной.

Попытаемся теперь повернуть ось гироскопа в вертикальной плоскости по часовой стрелке. Для этого сдвинем противовес от положения равновесия на некоторое расстояние (см. рис. 7). При этом на гироскоп будет действовать момент силы тяжести N, направленный вдоль оси Oу и по величине равный (26)

Согласно уравнению динамики вращательного движения твердого тела

(27)

Поэтому момент силы вызовет за время изменение момента импульса , равное (28)

Важно отметить, что вектор направлен, как вектор , по оси Oy, т.е. перпендикулярно первоначальному направлению вектора . В результате вектор момента импульса гироскопа займет в пространстве новое положение

что соответствует повороту оси гироскопа в горизонтальной плоскости на некоторый угол . При постоянно действующем моменте силы гироскопический эффект приведет к равномерному горизонтальному вращению оси гироскопа с относительно малой угловой скоростью

(29)

Установим связь между и другими параметрами гироскопа. Из рис. 2 следует, что

(30)

Для малых углов , тогда, подставляя (29) в (30), получаем:

(31)

Учитывая, что (см. (26) и (27)) и принимая во внимание известное соотношение (32)

находим (33)

Формула (33) дает возможность определять момент инерции гироскопа двумя способами. Во-первых, можно измерить зависимость при . Будучи построенной в координатах и , эта зависимость будет прямой линией с коэффициентом наклона , откуда (34).

Во-вторых, можно измерить зависимость при . Определяя наклон этой прямой линии , находим (35).

При расчетах по формулам (34) и (35) угловая скорость вращения диска гироскопа рассчитывается следующим образом: (36), где n — число оборотов в единицу времени.

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8910 Следующая