Чистое кручение при деформации цилиндрической пружины

Будем рассматривать пружину, как винтовую линию с пренебрежимо малым шагом, таким, что каждый ее виток перпендикулярен силам, действующим на пружину. Момент сил, действующий в любом сечении витка пружины в таком случае постоянной величиной, равной , где - радиус пружины. Вектор момента сил направлен по касательной к витку, и, следовательно, вызывает деформацию чистого кручения витков пружины. Следствием этой деформации будет изменение длины пружины, т.е. ее линейная деформация. Проследим геометрическую связь деформации кручения бесконечно малого элемента витка пружины и удлинения пружины . Рассмотрим бесконечно малый вектор перемещения точки приложения силы , находящейся на оси пружины (см. рис 10).

Этот вектор направлен перпендикулярно вектору , соединяющему элемент витка с точкой приложения силы. Величина его равна , где - угол кручения элемента витка. Направление вектора перемещения образует с осью пружины угол . На рис. 10 изображен также вектор перемещения точки приложения силы при кручении элемента витка, расположенного на одном диаметре с первым элементом и имеющим такую же длину. По этой причине модули обоих векторов перемещений одинаковы и мы обозначим их через . Видно, что сумма этих векторов направлена по оси пружины и ее величина равна . Таким образом, перемещение точки приложения силы при кручении одного элемента витка на угол выражается формулой . Угол кручения вычислим с помощью соотношения 6: . Полную линейную деформацию пружины с общей длиной всех витков можно получить с помощью интегрирования:

где d – диаметр проволоки пружины, D – диаметр пружины, N - количество витков.

Следовательно, жесткость пружины . (8)

Из формулы (8) вытекает связь модуля сдвига и жесткостью пружины:

(9)

Для экспериментального определения жесткости пружины в данной работе изучаются свободные колебания груза известной массы , подвешенного на пружине (пружинный маятник). Зависимость отклонения от равновесного положения груза от времени подчиняется следующему уравнению динамики:

Решение этого уравнения, как следует из теории, имеет вид: ,

где амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями; ¾ угловая частота крутильных колебаний, период которых Т равен: ,

откуда . Подставляя этот результат в формулу (9), получаем следующую расчетную формулу:

(10)

Экспериментальная часть

Приборы и принадлежности: цилиндрические пружины из исследуемых материалов, набор грузиков, прибор для измерения периодов колебаний.

На рисунке изображена схема экспериментальной установки. На штативе 1 установлен кронштейн 2 с узлом крепления вертикально подвешенных пружин 3. К пружине подвешивается наборный груз 4. Измерение периода колебаний груза производится с помощью фотодатчика 5.

В работе определение модуля сдвига производится методом совместных измерений квадрата периода колебаний груза и его массы. Из формулы (10) вытекает, что между этими величинами существует линейная зависимость , где

. (11)

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с установкой.

2. Выполнить измерения квадратов периодов колебаний при 5 различных массах грузов (по указанию преподавателя). Значения коэффициента и его дисперсии найти методом наименьших квадратов (см. Приложение 2.1). Результаты измерений и промежуточных вычислений занести в таблицу 1 а

Таблица 1 а

Номер Измерения, i	Масса груза m_i, кг	Период колебанийT_i, с	T_i², с²	m_iT_i², кгс²	m_i², кг²





	Суммы

3. Вычислить угловой коэффициент :

4. Вычислить дисперсию параметра , для чего рекомендуется заполнить таблицу 1 б

Таблица 1 б

Номер опыта, i
						Сумма

5. Вычислить величину модуля сдвига и ее дисперсию, пользуясь формулой (11).

6. Представить результат в виде . Сравнить с табличным значением.

Таблица 2.Упругие характеристики некоторых металлов и сплавов

Материал	Модуль Юнга Е´ 10¹⁰, Н/м²	Модуль сдвига G´ 10¹⁰, Н/м²
Алюминий	7, 05	2, 63
Железо	19-20	7, 7-8, 1
Константан	16, 3	6, 11
Латунь	9, 7-10, 2	3, 5
Медь	10, 5-13, 0	3, 5-4, 9
Сталь	20-21	7, 9-8, 9

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРСЫ

1. Что называется деформацией? Какие виды деформаций вы знаете?

2. Виды деформации твердого тела. Деформация упругая и пластическая.

3. Вывод закона Гука для различных видов деформации.

4. Что называется модулем сдвига и модулем кручения, в чем их физический смысл?

5. Каково математическое выражение закона Гука? В каких единицах измеряются модуль упругости и напряжение?

Лабораторная работа 1-7

Законы сохранения.

Упругие столкновения

Цель работы: изучение теории столкновений.

Теория

В природе часто наблюдаются явления взаимодействия материальных тел. Например, соприкосновение бильярдных шаров, взаимодействие макроскопических тел – комета и Солнце, микроскопических – протон и ядро и т. д. О таком взаимодействии говорят как об их столкновении, хотя непосредственно соприкосновения может и не произойти. Понятие столкновения можно определить следующим образом.

Столкновением называется взаимодействие двух или большего числа материальных тел или частиц, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени. Вне этой области пространства и вне этого промежутка времени можно говорить о начальных состояниях тел или частиц и об их конечных состояниях после взаимодействия как состояниях, в которых они не взаимодействуют.

В механике тела и частицы, участвующие в столкновении, характеризуются импульсами, моментами импульсов и энергиями, а сам процесс сводится к изменению этих величин. В процессе взаимодействия частицы обмениваются энергией и импульсом. В результате взаимодействия в общем случае могут образоваться новые частицы и исчезнуть некоторые из частиц, существовавших до столкновения. В этом случае происходит замена носителей энергии и импульса.

Процессы столкновения являются чрезвычайно сложными. Например, в простейшем случае столкновения двух бильярдных шаров происходит их деформация. В результате часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем энергия упругой деформации опять превращается в кинетическую, но не полностью – часть энергии превращается во внутреннюю, шары при этом нагреваются. Вследствие того, что поверхности шаров не являются абсолютно гладкими, между ними возникают силы трения. Эти силы, с одной стороны, также приводят к превращению части энергии во внутреннюю энергию, а с другой – вызывают определенное изменение во вращении шаров. Таким образом, даже в простейшем случае картина столкновения оказывается чрезвычайно сложной.

Однако главный интерес при рассмотрении столкновения заключается в знании не самого процесса, а результата. Ситуация до столкновения называется начальным состоянием, а после – конечным. Между величинами, характеризующими начальное и конечное состояния, соблюдаются вполне определенные соотношения, независимые от детального характера взаимодействия. Наличие этих соотношений обусловлено тем, что совокупность частиц, участвующих в столкновении, составляет изолированную систему, для которой справедливы законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Следовательно, соотношения между величинами, характеризующими начальное и конечное состояние частиц, выражаются законами сохранения энергии, импульса и момента импульса при столкновении.

Законы сохранения сами по себе не дают возможности определить, что произойдет при столкновении. Но если известно, что произойдет, то эти законы значительно облегчают анализ того, как это произойдет.

Обозначим импульсы различных частиц до столкновения , а после – через . Закон сохранения импульса замкнутой системы запишем в следующем виде:

(1)

Применение закона сохранения энергии при столкновении более сложно, чем применение закона сохранения импульса, так как надо учесть внутреннюю энергию материальных тел или частиц, участвующих в столкновении. Потенциальную энергию взаимодействия между сталкивающимися частицами учитывать не надо, потому что и в начальном, и в конечном состоянии они считаются не взаимодействующими. Обозначим кинетическую энергию поступательного движения тела как , внутреннюю энергию тела как , тогда закон сохранения энергии при столкновении в нерелятивистском случае можно записать в виде:

(2)

При применении закона сохранения момента импульса надо учитывать, что тела и частицы могут обладать внутренним моментом импульса. У тел он обусловлен вращением, у микрочастиц внутренний момент импульса называется спином. Если через обозначить векторы момента импульса частиц участвующих в столкновении, а внутренними моментами в механике макротел пренебречь, то закон сохранения момента импульса при столкновении можно представить следующим образом:

(3)

Процессы столкновения делятся на упругие и неупругие в зависимости от изменений внутренней энергии частиц при их взаимодействии. Столкновение называется упругим, если внутренняя энергия частиц при этом не изменяется. Если говорят об абсолютно упругом столкновении, то в таком случае предполагается, что внутренняя энергия сталкивающихся частиц абсолютно точно неизменна. Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.

При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.

Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1).

Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.

В общем случае массы m₁ и m₂ соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии

(4)

Здесь υ ₁ – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара υ ₂ = 0, u₁ и u₂ – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде:

Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти неизвестные скорости u₁ и u₂ шаров после столкновения:

(5)

В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m₁ = m₂), первый шар после соударения останавливается (u₁ = 0), а второй движется со скоростью u₂ = υ ₁, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).

Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (υ ₂ ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ ₂ относительно «неподвижной» системы. В этой системе второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет скорость υ ₁' = υ ₁ – υ ₂. Определив по приведенным выше формулам скорости u₁ и u₂ шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе.

Центральный (лобовой) удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул. При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой.

Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударения двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров (рис. 3).

После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом друг к другу. Для определения скоростей и после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние d (рис. 2), т. е. расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей и шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При m₁ = m₂ = m эти законы принимают вид:

; (6)

Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный. Угол между катетами и равен 90°.

Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.

Если внутренняя энергия шаров при столкновении изменяется, то столкновение называется неупругим. Так же говорят об абсолютно неупругом столкновении, если в результате столкновения оба тела «слипаются» и дальше движутся как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел.

Примером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках (рис. 3). Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью попадает в ящик и застревает в нем. По отклонению маятника можно определить скорость пули.

Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через Тогда по закону сохранения импульса

(7)

При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии: (8)

Отношение – доля кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы:

(9)

Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к любому неупругому соударению двух тел с разными массами.

При почти вся кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При – во внутреннюю энергию переходит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы ( ) отношение

Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии:

; (10)

где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений следует:

(11)

Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ.

Экспериментальная часть

Задача 1. Шар 1 массой m=10кг, движущийся со скоростью v, налетает на покоящийся шар 2 массой m/2 и после упругого удара продолжает двигаться под углом к направлению своего первоначального движения.

Задание:

Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая