Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов векторного пространства



Так как произведение нулевого скаляра на любой вектор есть нулевой вектор и сумма нулевых векторов равна нулевому вектору, то для любой системы векторов выполняется равенство

. (2)

Отсюда следует, что нулевой вектор линейно выражается через векторы любой системы векторов или, говоря иначе, любая система векторов линейно представляет нулевой вектор.

Пример. Пусть . В этом случае нулевой столбец можно линейно выразить через столбцы системы не одним способом:

или

или

.

Чтобы различать эти способы линейного представления нулевого вектора введем следующее определение.

Определение. Если выполняется равенство

(3)

и при этом все коэффициенты , то говорят, что система представляет нулевой вектор тривиально. Если же в равенстве (3) хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, тогда говорят, что система векторов представляет нулевой вектор нетривиально.

Из последнего примера мы видим, что существуют системы векторов, которые могут представлять нулевой вектор нетривиально. Из следующего примера мы увидим, что существуют системы векторов, которые не могут представлять нулевой вектор нетривиально.

Пример. Пусть – система двух столбцов из векторного пространства . Рассмотрим равенство:

,

где неизвестные пока коэффициенты. Используя правила умножения столбца на скаляр(число) и сложения столбцов, получаем равенство:

.

Из определения равенства матриц следует, что и .

Таким образом, данная система не может представлять нулевой столбец нетривиально.

Из приведенных примеров следует, что существует два вида систем векторов. Одни системы представляют нулевой вектор нетривиально, а другие нет. Отметим еще раз, что любая система векторов представляет нулевой вектор тривиально.

Определение. Система векторов векторного пространства, которая представляет нулевой вектор ТОЛЬКО тривиально называется линейно независимой.

Определение. Система векторов векторного пространства, которая может представить нулевой вектор нетривиально называется линейно зависимой.

Последнее определение можно дать в более развернутом виде.

Определение. Система векторов векторного пространства V называется линейно зависимой, если найдется такой ненулевой набор скаляров поля K

,

что

.

Замечание. Любая система векторов может представлять нулевой вектор тривиально:

.

Но этого недостаточно, чтобы выяснить линейно зависимая или же линейно независимая данная система векторов. Из определения следует, что линейно независимая система векторов не может представлять нулевой вектор нетривиально, а только тривиально. Поэтому для того, чтобы убедиться в линейной независимости данной системы векторов, нужно рассмотреть представление нуля произвольной линейной комбинацией этой системы векторов:

.

Если это равенство невозможно при условии, чтобы хотя бы один коэффициент этой линейной комбинации был ненулевой, тогда эта система является по определению линейно независимой.

Так в примерах предыдущего параграфа система столбцов является линейно независимой, а система столбцов является линейно зависимой.

Аналогично доказывается линейная независимость системы столбцов , , ...,

из пространства , где К - произвольное поле, n – произвольное натуральное число.

43) Размерность и базис линейного пространства, координаты вектора

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn, где n = dimXn — размерность пространства Xn.

Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.

Замечания.

1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.

2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.

Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2, …, en Î X называется базисом в X, если

  • система векторов e1, e2, …, en линейно независима;
  • любой вектор x пространства X может быть представлен в виде
  x = ξ 1e1 + ξ 2e2 + … + ξ nen. (1)
  • Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e1, e2, …, en.
  • Коэффициенты ξ 1, ξ 2, …, ξ n в разложении векторапо данному базису определяются однозначно.
  • Коэффициенты разложения (1) вектора x по базису e1, e2, …, en называются координатами вектора x в этом базисе.
  • Удобно использовать обозначение для i –ой координаты ξ i = á ei, x ñ и для вектора x = {ξ 1, ξ 2, …, ξ n}. Координаты вектора записывают также в виде матрицы–столбца
  æ ç ç ç ç ç è
ξ 1
ξ 2
ξ n
ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø  
     
  • который называется координатным столбцом вектора x.
  • В n–мерном линейном пространстве Xn существует базис. Он содержит n векторов.
  • Замечания.
  • 1. В линейном пространстве существует бесчисленное множество базисов.
  • 2. В бесконечномерном пространстве всегда существует базис. Он содержит бесконечное множество векторов.
  • 3. Любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов в n–мерном пространстве является базисом.
  • Теорема. Пусть Xn — линейное пространство и e1, e2, …, en — некоторый базис в Xn. Тогда:

1. При сложении векторов их координаты складываются.

2. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Утверждения теоремы в наших обозначениях выглядят следующим образом:

3. á ei, x + y ñ = á ei, x ñ + á ei, y ñ ;

4. á ei, α x ñ = α á ei, x ñ.

44) Разложение вектора по базису


Поделиться:



Популярное:

  1. ERP II – ERP-системы второго поколения.
  2. I. 49. Основные принципы разработки системы применения удобрений.
  3. II. Травматические повреждения нервной системы
  4. V2: Тема 7.5 Плащ. Центры первой и второй сигнальных систем. Функциональные системы головного мозга.
  5. X. Оценка инвестиций в ассоциированные (зависимые) компании
  6. Абсолютное движение - движение тела относительно условно неподвижной системы отсчета.
  7. Автоматизация ресторанов, гостиниц, кинокомплексов, баров, культурно-оздоровительных, бильярдных и боулинг центров на базе системы R-Keeper
  8. Автоматизированные системы регистрации
  9. Аксиома статики о равновесии системы двух сил. Аксиома параллелограмма сил.
  10. Алгоритм Симплекс-метода для решения задачи линейного программирования об оптимальном использовании ресурсов.
  11. Анализ мажоритарной избирательной системы
  12. Анализ одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием.


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-31; Просмотров: 687; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.017 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь