![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов векторного пространства
Так как произведение нулевого скаляра на любой вектор есть нулевой вектор и сумма нулевых векторов равна нулевому вектору, то для любой системы векторов выполняется равенство
Отсюда следует, что нулевой вектор линейно выражается через векторы любой системы векторов или, говоря иначе, любая система векторов линейно представляет нулевой вектор. Пример. Пусть или или
Чтобы различать эти способы линейного представления нулевого вектора введем следующее определение. Определение. Если выполняется равенство
и при этом все коэффициенты Из последнего примера мы видим, что существуют системы векторов, которые могут представлять нулевой вектор нетривиально. Из следующего примера мы увидим, что существуют системы векторов, которые не могут представлять нулевой вектор нетривиально. Пример. Пусть
где
Из определения равенства матриц следует, что Таким образом, данная система не может представлять нулевой столбец нетривиально. Из приведенных примеров следует, что существует два вида систем векторов. Одни системы представляют нулевой вектор нетривиально, а другие нет. Отметим еще раз, что любая система векторов представляет нулевой вектор тривиально. Определение. Система векторов векторного пространства, которая представляет нулевой вектор ТОЛЬКО тривиально называется линейно независимой. Определение. Система векторов векторного пространства, которая может представить нулевой вектор нетривиально называется линейно зависимой. Последнее определение можно дать в более развернутом виде. Определение. Система векторов
что
Замечание. Любая система векторов
Но этого недостаточно, чтобы выяснить линейно зависимая или же линейно независимая данная система векторов. Из определения следует, что линейно независимая система векторов не может представлять нулевой вектор нетривиально, а только тривиально. Поэтому для того, чтобы убедиться в линейной независимости данной системы векторов, нужно рассмотреть представление нуля произвольной линейной комбинацией этой системы векторов:
Если это равенство невозможно при условии, чтобы хотя бы один коэффициент этой линейной комбинации был ненулевой, тогда эта система является по определению линейно независимой. Так в примерах предыдущего параграфа система столбцов Аналогично доказывается линейная независимость системы столбцов из пространства 43) Размерность и базис линейного пространства, координаты вектора Пусть X — линейное пространство. Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью. Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn, где n = dimXn — размерность пространства Xn. Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов. Замечания. 1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным. 2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения. Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2, …, en Î X называется базисом в X, если
1. При сложении векторов их координаты складываются. 2. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Утверждения теоремы в наших обозначениях выглядят следующим образом: 3. á ei, x + y ñ = á ei, x ñ + á ei, y ñ ; 4. á ei, α x ñ = α á ei, x ñ. 44) Разложение вектора по базису Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-31; Просмотров: 723; Нарушение авторского права страницы