Повторные независимые испытания с двумя исходами

Формула Бернулли. Вероятность того, что событие А наступит ровно т раз при проведении п независимых испытаний, каждое из которых имеет два исхода (обозначается Р_п (т)), вычисляется по формуле

Р_п(т) = , т = 0, 1, 2, .... п,

где р - вероятность наступления события А в каждом испытании,

q = 1 – p.

Пример 1. Вероятность сдачи экзамена некоторым студентом равна 0, 4. Какова вероятность того, что 3 экзамена из 5 он сдаст на положительную отметку?

Решение.

Эксперимент состоит в том, что студент последовательно сдает 5 экзаменов, т.е. проводится 5 повторных независимых испытаний. Каждое испытание имеет два исхода: студент сдаст экзамен на положительную отметку и на «неудовлетворительно». Вероятность успешной сдачи экзамена от испытания к испытанию не меняется р = 0, 4. Следовательно, схема Бернулли выполняется. Пусть событие А состоит в том, что студент успешно сдаст 3 экзамена (т = 3). Тогда по формуле Бернулли:

Р₅(3) = = 10 ∙ 0, 064 ∙ 0, 36 = 0, 2304.

Ответ: Р₅(3)= 0, 2304.

Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении п независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна

Р_п (т ≥ 1) = 1 – q^п,

где q = 1 – р.

Пример 2. Найти вероятность того, что в условиях предыдущего примера студент сдаст хотя бы один экзамен.

Решение.

В предыдущем примере было выяснено, что схема Бернулли выполняется. Пусть событие А (т ≥ 1) означает, что студент успешно сдаст хотя бы один экзамен. Тогда вероятность наступления этого события равна

Р₅(т ≥ 1) = 1 – (0, 6)⁵ = 1 – 0, 07776 = 0, 92224.

Ответ: Р₅(т ≥ 1) = 0, 92224.

Вероятность того, что событие А при проведении п независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, наступит не менее т₁раз и не более т₂раз вычисляется по формуле

Пример 3. Найти вероятность того, что в условиях предыдущего примера студент сдаст не менее двух и не более четырех экзаменов.

Решение.

Схема Бернулли для данного случая выполняется. Пусть событие А (т₁≤ т ≤ т₂) означает, что студент успешно сдаст не менее двух и не более четырех экзаменов. Тогда вероятность наступления этого события равна

= = 0, 3456 + 0, 2304 + 0, 0768 = 0, 6528.

Ответ: = 0, 6528.

Наивероятнейшее значение т₀числа наступления события А при проведении п повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле

пр – q ≤ т₀ ≤ пр + р,

пр – (1 - р)≤ т₀ ≤ тр + р.

Пример 4. В условиях предыдущего примера найти наиболее вероятное число экзаменов успешно сданных студентом.

Решение.

Схема Бернулли для данного случая выполняется. Тогда по формуле наивероятнейшее число успешно сданных экзаменов равно

5∙ 0, 4 – 0, 6 ≤ т₀ ≤ 5∙ 0, 4 + 0, 4

1, 4 ≤ т₀ ≤ 2, 4

Так как число экзаменов может быть только целым, то наиболее вероятное число успешно сданных экзаменом данным студентом равно 2.

Ответ: т₀ = 2.

* *

301. Из цифр от 1 до 9 включительно наугад выбирается одна. Опишите пространство элементарных исходов данного опыта и найдите вероятность того, что выбранное число будет: a) четным; b) нечетным; с) простым; d) большим 7.

302. Игральная кость бросается дважды. Опишите пространство элементарных исходов данного опыта. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков больше 10; кратна 2.

303. Даны числа от 1 до 30 включительно. Какова вероятность того, что наудачу выбранное число является делителем числа 30?

304. На одинаковых карточках в троичной системе счисления записаны целые числа от 1 до 15. Наудачу извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что записанное на ней число содержит: a) не менее двух единиц; b) хотя бы одну двойку; с) один нуль?

305. Из полной игры в лото наудачу извлекается один бочонок. На бочонках написаны числа от 1 до 90. Какова вероятность того, что на извлеченном бочонке написано простое число?

306. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одинакового размера. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь ровно две окрашенные грани? Не будет иметь окрашенных граней?

307. Имеется 100 жетонов, занумерованных целыми числами от1 до 100. Событие А – извлечение жетона, номер которого кратен двум, а событие В – извлечение жетона, номер которого кратен пяти. Что означают события: a) А + В; b) АВ. Найдите их вероятности.

308. Что означают события В = А₁ + А₂, С = А₁ + А₂ + А₁А_2,если событие А₁- выигрыш по билету одной лотереи, А₂ – выигрыш по билету другой лотереи.

309. Из 30 учащихся спортивной школы 12 человек занимаются баскетболом, 15 – волейболом, 5 – волейболом и баскетболом, а остальные – другими видами спорта. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен занимается только волейболом или только баскетболом?

310. Контрольная работа состоит из трех задач по алгебре и двух по геометрии. Вероятность правильно решить задачу по алгебре равна 0, 8, а по геометрии – 0, 6. Какова вероятность того, что правильно будут решены не менее двух задач хотя бы по одному из предметов?

311. На 10 вопросов теста студент отвечает наудачу «да» или «нет». Какова вероятность того, что он правильно ответит на все вопросы?

312. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0, 9, второй экзамен – 0, 8 и третий – 0, 7. Какова вероятность того, что студент сдаст не менее двух экзаменов?

313. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы А, Г, И, Л, М, О, Р, Т, получится слово «алгоритм»?

314. Какова вероятность тог, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы А, А, А, А, Г, М, М, Н, Р получится слово «анаграмма».

315. На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу извлекаются две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на этих карточках равна 10.

316. В коробке находятся 4 красных и 6 зеленых карандашей. Из нее случайно выпали 3 карандаша. Какова вероятность того, что два из них окажутся красными?

317. Имеется 6 билетов в театр, из которых 4 билета на места первого ряда. Какова вероятность того, что из трех наудачу выбранных билетов два окажутся на места первого ряда?

318. Из 50 вопросов, включенных в экзамен студент, подготовил 40. Какова вероятность того, что из предложенных ему трех вопросов он знает два?

319. На один ряд из семи мест случайным образом рассаживаются 7 учеников. Какова вероятность того, что 3 определенных ученика окажутся рядом?

320. Группа, состоящая из пяти юношей и семи девушек, распределяет по жребию 4 билета в театр. Какова вероятность того, что в числе получивших билеты окажется больше девушек, чем юношей?

321. Ученик забыл последнюю цифру даты Куликовской битвы и поэтому называет ее наудачу. Определить вероятность того, что до правильного ответа ему придется отвечать не более трех раз?

322. В экзаменационные билеты по математике включено по два теоретических вопроса и одной задаче. Всего составлено 25 билетов, содержащих разные вопросы и задачи. Студент подготовил 40 вопросов и может решить задачи к 22 билетам. Какова вероятность того, что вынув наудачу один билет, студент ответит на все вопросы?

323. Буквы слова «задача» написаны на одинаковых карточках. Наудачу по одной последовательно извлекаются четыре карточки без возвращения их в игру. Какова вероятность того, что при этом получится слово «дача»?

324. Вероятность сдачи студентом зачета равна 0, 8. Если зачет сдан, студент допускается к экзамену, вероятность сдачи которого равна 0, 7. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет и экзамен?

325. Студент знает ответы на 15 экзаменационных билетов из 20. В каком случае он имеет большую вероятность сдать экзамен, если он идет отвечать первым или если – вторым?

326. Имеются две одинаковые урны, первая из которых содержит 2 черных и 3 белых шара, а вторая – 2 черных и 1 белый шар. Сначала наугад выбирается урна, а потом из нее извлекается наугад один шар. Какова вероятность того, что будет выбран белый шар?

327. Имеется 3 одинаковые урны. В первой находятся 4 белых и 6 черных шаров, во второй - только белые и в третьей – только черные. Наудачу выбирается одна урна и из нее наугад извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный?

328. Студент пришел на экзамен, зная 25 билетов из 30. Перед ним был взят только один билет. Какова вероятность того, что студент знает наудачу вытянутый билет?

329. На чемпионате мира по футболу 2010 года известный оракул осьминог Пауль верно предсказал результаты 12 матчей из сыгранных 14. Какова вероятность этого события, если выбор той или иной команды равновозможен.

330. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек равна 0, 3. Какова вероятность того, что при шести бросках 3 кольца окажутся на колышке?

331. Какова вероятность того, что в семье из четырех детей, трое окажутся мальчиками, если рождение мальчика и девочки считать равновероятным?

332. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0, 4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?

333. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: 3 партии из 4 или 5 из 8?

334. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна 0, 7. Производится 5 независимых выстрелов. Какова вероятность того, что стрелок попадет в цель хотя бы один раз?

335. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0, 2. Сколько надо произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0, 99 в мишени была хотя бы одна пробоина?

336. Тестовая контрольная работа состоит из четырех вопросов. На каждый вопрос приведено 5 ответов, один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом угадывании правильный ответ будет дан: a) на 3 вопроса; b) не менее чем на 3 вопроса?

337. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0, 85. Стрелок сделал 25 независимых выстрелов. Найти наивероятнейшее число попаданий.

338. Какова вероятность получения не менее 70% правильных ответов при простом отгадывании на экзамене, состоящем в определении истинности или ложности 10 утверждений.

339. Какова вероятность получения не менее 60% правильных ответов при простом отгадывании на тестировании, состоящем в выборе одного из четырех данных ответов (среди которых только один правильный) на 25 вопросов.

Случайные величины

Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 10 Следующая