Определение типа дифференциального уравнения первого порядка

Для выбора пути решения заданного дифференциального уравнения первого порядка сначала надо определить тип, к которому оно относится. Для этого следует разрешить данное уравнение относительно производной, то есть привести его к виду . После этого надо посмотреть, не разлагается ли функция на множители, один из которых зависит только от , а второй – только от . Если это возможно, то надо разделить переменные и интегрировать обе части получившегося равенства.

Если переменные не разделяются непосредственно, то следует проверить, является ли данное уравнение линейным или уравнением Бернулли, то есть имеет ли функция вид или .

К уравнению Бернулли также сводятся уравнения вида (и более общего вида ). Для их решения надо поменять местами переменные и и считать функцией от . В результате для этой функции получим линейное уравнение: (или уравнение Бернулли ). Например, уравнение , если считать аргументом, а – функцией, принимает вид , то есть становится линейным.

Если и этот метод не приводит к цели, следует проверить, не является ли однородной функцией нулевой степени. Наконец, если и этот метод окажется неудачным, надо записать заданное уравнение в виде и проверить, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах.

Уравнения высших порядков

1. Дифференциальное уравнение называется уравнением п-го порядка. Его общее решение содержит п произвольных постоянных: , а решение задачи Коши требует задания при х = х₀ значений функции у и ее производных до (п – 1)-го порядка включительно:

2. Если в дифференциальное уравнение не входит явным образом искомая функция у, то есть уравнение имеет вид

то можно понизить его порядок на k единиц, сделав замену: Тогда

Типовой пример

Найти общее решение уравнения

► Пусть Тогда Теперь трижды проинтегрируем полученное равенство по х:

◄

3. Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимую переменную х: то можно понизить его порядок на единицу, считая, что Тогда , то есть вторая производная у выражается через первую производную р и т.д.

Типовой пример

Решить задачу Коши для уравнения , если у(1)=2, у’(1)=2.

► Замена приводит к уравнению откуда:

а) р = 0, у’ = 0, у = С, но у’ (1)=2 ≠ 0, значит, в этом случае решения нет;

б)

Тогда

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

◄

Линейные дифференциальные уравнения и системы

Уравнение вида

где и непрерывные на промежутке функции аргумента , называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n-го порядка.

ТЕОРЕМА

Если на отрезке коэффициенты и правая часть уравнения непрерывны, то на всем этом отрезке существует, и притом единственное, решение дифференциального уравнения с начальными условиями , , …, , где .

Если в данном уравнении , то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка. Обозначим левую часть линейного дифференциального уравнения и назовем линейным дифференциальным оператором n-го порядка.

Свойства линейного дифференциального оператора

. .

Следствие. Из свойств и следует линейность оператора , то есть

Система из линейно независимых (ЛНЗ) на промежутке решений для ЛОДУ n-го порядка называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения.

ТЕОРЕМА

Пусть функции являются решениями ЛОДУ n-го порядка с непрерывными коэффициентами. Тогда для того, чтобы система была линейно независима на , необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

для любого .

Типовой пример

Исследовать на линейную зависимость систему функций .

► Составим определитель Вронского:

Следовательно, система функций – линейно независима. ◄

Типовой пример

Исследовать на линейную зависимость следующую систему функций

► Составим определитель Вронского:

Следовательно, система функций - линейно независима. ◄

Типовой пример

Исследовать на линейную зависимость систему функций .

► Аналогично, для любого .

Следовательно, система функций – линейно независима. ◄

Таким образом, определитель Вронского играет определяющую роль в выяснении линейной зависимости системы функций.

Если определитель Вронского построен на частных решениях дифференциального уравнения, то справедлива формула Лиувилля – Остроградского

где – первый коэффициент дифференциального уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений ; его общее решение находится по формуле .

Если для такого уравнения известно одно частное решение , то второе его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле, являющейся следствием формулы Лиувилля – Остроградского:

Типовой пример

Найти общее решение дифференциального уравнения , проверив, что одно его частное решение имеет вид .

► Разделим обе части данного уравнения на :

Здесь коэффициенты и непрерывны при , следовательно, решение дифференциального уравнения существует в области . Подставляя , получим тождество, поэтому является решением этого уравнения. Найдем второе частное решение по формуле. Сначала вычислим