Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Определение типа дифференциального уравнения первого порядка



Для выбора пути решения заданного дифференциального уравнения первого порядка сначала надо определить тип, к которому оно относится. Для этого следует разрешить данное уравнение относительно производной, то есть привести его к виду . После этого надо посмотреть, не разлагается ли функция на множители, один из которых зависит только от , а второй – только от . Если это возможно, то надо разделить переменные и интегрировать обе части получившегося равенства.

Если переменные не разделяются непосредственно, то следует проверить, является ли данное уравнение линейным или уравнением Бернулли, то есть имеет ли функция вид или .

К уравнению Бернулли также сводятся уравнения вида (и более общего вида ). Для их решения надо поменять местами переменные и и считать функцией от . В результате для этой функции получим линейное уравнение: (или уравнение Бернулли ). Например, уравнение , если считать аргументом, а – функцией, принимает вид , то есть становится линейным.

Если и этот метод не приводит к цели, следует проверить, не является ли однородной функцией нулевой степени. Наконец, если и этот метод окажется неудачным, надо записать заданное уравнение в виде и проверить, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах.

 

Уравнения высших порядков

1. Дифференциальное уравнение называется уравнением п-го порядка. Его общее решение содержит п произвольных постоянных: , а решение задачи Коши требует задания при х = х0 значений функции у и ее производных до (п – 1)-го порядка включительно:

2. Если в дифференциальное уравнение не входит явным образом искомая функция у, то есть уравнение имеет вид

,

то можно понизить его порядок на k единиц, сделав замену: Тогда

Типовой пример

Найти общее решение уравнения

► Пусть Тогда Теперь трижды проинтегрируем полученное равенство по х:

3. Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимую переменную х: то можно понизить его порядок на единицу, считая, что Тогда , то есть вторая производная у выражается через первую производную р и т.д.

Типовой пример

Решить задачу Коши для уравнения , если у(1)=2, у’(1)=2.

► Замена приводит к уравнению откуда:

а) р = 0, у’ = 0, у = С, но у’ (1)=2 ≠ 0, значит, в этом случае решения нет;

б)

Тогда

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

 

Линейные дифференциальные уравнения и системы

Уравнение вида

,

где и непрерывные на промежутке функции аргумента , называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n-го порядка.

ТЕОРЕМА

Если на отрезке коэффициенты и правая часть уравнения непрерывны, то на всем этом отрезке существует, и притом единственное, решение дифференциального уравнения с начальными условиями , , …, , где .

Если в данном уравнении , то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка. Обозначим левую часть линейного дифференциального уравнения и назовем линейным дифференциальным оператором n-го порядка.

Свойства линейного дифференциального оператора

. .

. .

Следствие. Из свойств и следует линейность оператора , то есть

Система из линейно независимых (ЛНЗ) на промежутке решений для ЛОДУ n-го порядка называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения.

ТЕОРЕМА

Пусть функции являются решениями ЛОДУ n-го порядка с непрерывными коэффициентами. Тогда для того, чтобы система была линейно независима на , необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

для любого .

Типовой пример

Исследовать на линейную зависимость систему функций .

Составим определитель Вронского:

.

Следовательно, система функций – линейно независима.

Типовой пример

Исследовать на линейную зависимость следующую систему функций

.

Составим определитель Вронского:

Следовательно, система функций - линейно независима.

Типовой пример

Исследовать на линейную зависимость систему функций .

Аналогично, для любого .

Следовательно, система функций – линейно независима.

Таким образом, определитель Вронского играет определяющую роль в выяснении линейной зависимости системы функций.

Если определитель Вронского построен на частных решениях дифференциального уравнения, то справедлива формула Лиувилля – Остроградского

,

где – первый коэффициент дифференциального уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений ; его общее решение находится по формуле .

Если для такого уравнения известно одно частное решение , то второе его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле, являющейся следствием формулы Лиувилля – Остроградского:

.

Типовой пример

Найти общее решение дифференциального уравнения , проверив, что одно его частное решение имеет вид .

► Разделим обе части данного уравнения на :

.

Здесь коэффициенты и непрерывны при , следовательно, решение дифференциального уравнения существует в области . Подставляя , получим тождество, поэтому является решением этого уравнения. Найдем второе частное решение по формуле. Сначала вычислим

.

Произвольную постоянную при вычислении неопределенного интеграла можно не писать, так как нас интересует лишь одно частное решение.

Теперь найдем

.

Заметим, что подынтегральное выражение в последнем интеграле является производной от функции , поэтому

.

(Постоянную здесь также можно не писать.)

Таким образом, второе частное решение исходного уравнения имеет вид

.

Проверим, что два полученных решения линейно независимы. Вычислим определитель Вронского:

при .

В рассматриваемой области , откуда следует, что решения и линейно независимы. Тогда общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид

,

где и - произвольные постоянные.◄


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-09-01; Просмотров: 1529; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.024 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь