Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных , что . Данное равенство означает, что и .

Известно, что если в односвязной области частные производные и непрерывны, то является полным дифференциалом только в том случае, когда выполняется равенство .

В этом случае функция , полным дифференциалом которой является , выражается следующим образом:

Рис. 1

Здесь – любая кривая в области , соединяющая фиксированную точку этой области, в которой , с точкой . В частности, если имеет вид ломаной, изображенной на рис. 1, то формула принимает вид

Так как , то ( – константа) и решение уравнения имеет вид

Другая эквивалентная формула решения уравнения имеет вид

Здесь в качестве и берутся любые численные значения и , при которых и имеют смысл. Обычно и выбирают так, чтобы правая часть решения имела более простой вид.

■ ▬ ▬ ▬ ►

2. Если в области D не выполнено условие , то иногда удается найти в D такую функцию , что уравнение

является в области D уравнением в полных дифференциалах.

Если известно, что , где – известная дифференцируемая в D функция, то интегрирующий множитель m удовлетворяет дифференциальному уравнению

Если известно, что , то удовлетворяет уравнению

◄ ▬ ▬ ■

Типовой пример

Решить уравнение

► Здесь , . Выясним, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах. Найдем и :

причем частные производные непрерывны. Применим формулу

В силу произвольности константы и произвольного выбора и (которые также являются постоянными) обозначим за единую константу . Тогда общий интеграл имеет вид

Итак, – общее решение дифференциального уравнения. ◄

Типовые примеры

1) Решить задачу Коши для уравнения , если у(1) = 1.

► Проверим, действительно ли перед нами уравнение в полных дифференциалах: условие выполнено. Для поиска U (x, y) зададим х₀ = у₀ = 0,

тогда

При х = у =1 найдем С из равенства е^х + ху – е^у = С: е + 1 – е = С, С = 1. Следовательно, искомое частное решение имеет вид

е^х + ху – е^у = 1. ◄

2) Найти общее решение .

► Введем обозначения:

Так как ; , а следовательно , то уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его левая часть есть полный дифференциал , причем

то есть

, , а, .

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид U (x, y)=C или

. ◄

3) , D Ì R²xy.

► , , , , .

Ищем интегрирующий множитель. Выражение

не зависит от у.

Считая его доопределенным при , решаем уравнение .

Имеем . Прямая . Очевидно, есть одно из решений исходного уравнения. Считая , умножаем обе части уравнения на , получаем уравнение , откуда находим

Следовательно, –общий интеграл (решение получается в общем интервале при С=¥ ). ◄

10. Уравнения вида и

Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента , а в другом – функции , ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции

Для уравнения первого типа получаем:

Делая замену, получаем:

В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений

Исключив из этой системы параметр , получим общий интеграл и не в параметрической форме.

Для дифференциального уравнения вида с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно и , коэффициенты которого являются функциями от :

Для нахождения общего решение применяется подстановка :

Дифференцируя это уравнение c учетом того, что , получаем

Если решение этого (линейного относительно ) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде

Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (то есть линейное) относительно функции и аргумента вида

Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа. С учетом замены уравнение принимает вид

Это уравнение имеет два возможных решения:

или

В первом случае

Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий. Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений

Исключая параметр , получаем второе решение . Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением. Это решение будет являться особым интегралом.

123 4 5