Построение ф-ий спроса и предложения методом наименьших квадратов.

В качестве исходных данных для построения ф-ии спроса и предложения выступают данные n незав набл за спросом (предлож) и соотв ему цене.

Эти набл можно представить в виде вектор столбца Х и У. эл-ты столбца х выступ в кач-ве знач цены, фиксируемой в iом опыте. Вектор столбец у сост из компонент представл собой знач спроса (предлож), фиксируемых в каждом iом опыте.

Ф-и спр и предл м.б. как лин, так и нелин. В случ лин ф-и она им вид: у_х=а+bx. Хар-ет семейства прямых, каждое из которых характеризуется конкретными значениями коэффициентов а и Ь, Наилучшей из всего множества прямых для рассматриваемой выборки является та прямая, которая на плоскости хОу расположена " ближе" всего, в определенном смысле, к опытным точкам. В качестве меры близости прямой и некоторой точки на плоскости можно выбрать расстояние между ними. При этом под расстоянием следует понимать модуль разности между опытным (наблюдаемым) значением результирующей величины и теоретическим.

В качестве критерия близости между прямой и множеством точек на плоскости целесообразно выбрать минимум суммы квадратов этих расстояний. Е=∑ (yi-a-bx_i)^2-> min. Здесь считается, что y_t и x_i - известные статистические данные; а

и Ъ — неизвестные параметры (коэффициенты) функции регрессии. Поскольку функция Е непрерывна, выпукла и ограничена снизу нулем, то она имеет минимум. Изложенная идея минимизации суммы квадратов отклонений (на плоскости расстояний) опытных от теоретических значений объясняемой переменной положена в основу метода наименьших квадратов.

Если необходимо оценить коэфф-ты линейной ф-ии спроса, то применяют непосредственно метод наименьших квадратов p(x)=Co+C1(x). Если нелинейная ф-ия – используют линеаризацию. Самостоятельно применяют метод наим. кВ. для нелинейной ф-ии спроса, т.е. линеаризируют функцию зависящую .

Построение ф-ий спроса и предложения методом наименьших квадратов.

Ф-и спр и предл м.б. как лин, так и нелин. В случ лин ф-и она им вид: у_х=а+bx

Определение эластичности функции.

Анализируя ф-ю спроса, Алан Маршалл ввел понятие эластичности ф-и спроса. В дальнейшем это понятие было обобщено на произвольную экономич ф-ю.

Эластичностью E_xy(x₀) непрерывной функции y=f(x) в точке x= x₀ называется предел отношения относительного приращения ф-ии в точке x₀ к относительному приращению аргумента в точке x₀, когда абсолютное приращение ∆ х→ 0. Из определения следует, что при малых ∆ х: , т.е. Эластичность – коэф. пропорциональности м/у относительными изменениями величины ф-ии и аргумента. Показывает на сколько % измениться относительное приращение ф-ии, еслт изменить на 1 % относительное приращение аргумента. Из анализа определения следует выражение для эл через произв:

Следовательно, если ф-я y(x) на промежутке (a, b) дифференцируема, то для нее можно вычислить производную в точке х℮ (a, b) эластичность

Коэф эл-ти представл собой эк интерес. Формулы расчета коэф эл для широко исп типов ф-й.

Линейная y=a+bx	y’_x=b	E_y(x)=bx/(a+bx)
Квардратичн трехч y=a+bx+cx²	y’_x=b+2cx	E_y(x)=(b+2cx)x/(a+bx+c²
Обратно пропорц y=a/x	y’_x=-a/x²	E_y(x)=-1
Показат y=ab^x	y’_x=ab^xlnb	E_y(x)=xlnb
Степенная y=ax^α	y’_x=aα x^{α -1}	E_y(x)=α

Следуют особо обратить внимание на степ ф-ю. для нее коэф эл представл собой пост в-ну равную пок-лю степени альфа.

Как частный случ ст ф-и, обр пропрорц ф-я (α =-1) имеет E_y(x)=-1

Свойства эл-ти.

1. Пусть даны непрерывные функции Кроме того Тогда для функции ее эластичность Е_y будет удовлетворять следующему условию: Доказательство 2. Пусть функции Тогда эластичность произведения функций y(x)* z(x) равна сумме их эластичностей, а эластичность частного- разности их эластичностей, т.е. Доказательство

3. Пусть дана сложная функция y= y(x), где x= x(t), Тогда эластичность функции y(t) удовлетворяет равенству Доказательство 4. Пусть для функции y=f(x) существует обратная функция x= g(y). тогда эластичность обратной функции удовлетворяет соотношению:

Доказательство Поскольку для обратной функции выполняется тождество f(g(y))=y, тоб применяя cв-во 3 получим

1 234 5