Абс и относ в-ны в эк анализе.

Абс и относ в-ны в эк анализе.

Абсолютные – хар-ют объмные или денежные размеры экономич. показ-лей. Дают представление о запасах сырья, материала, размерах перевозимого груза, объемах ден. ср-в. Бывают: 1) Натуральные – экон. пок-ли в натурально вещественной форме, выражаютя в длине, массе, объеме, мощности, число построенных домов. 2) Трудовые ед. – чел/час, чел/день, чел/год. 3) Стоимостные – руб, доллар, евро – характеризуют ВВП, доход, расход, величины ОС, издержки пр-ва и т.д. Относительные – отношение абсолютных или других относительных величин и выражают кол-во единиц одного показателя на единицу другого. Вел-нп с кот. производится сопоставление (знаменатель) наз-ся базисной. Выражаются в безразмерных коэффициентах, % или в единицах присущих соотносимым абсолютным величинам. Различают: 1) Интенсивности – в результате сопоставления разноименных, связанных м/у собой абс. величин на момент или харак-ют степень развития экономического явления. 2)Динамики – хар-ют изменение во времени плановых заданий и относительных величин интенсивности. 3) Выполнения плана – для контроля за ходом выполнения планов. Вычисляются как отношение фактического уровня абс. или отн. вел-ны к плановым их значениям. 4) Сравнения – хар-ют сравниетельные размеры одноименных величин в одинаковый период времени, но к разным объектам. 5) Структуры – хар-ют доли отдельных частей в целом.

Суммарные, средние и предельные величины в экономич. анализе.

1) Суммарные вел-ны в эк-ке – абсолютные вел-ны ли вел-на, для кот. существует средняя или предельная вел-на. Она рассматривается как функция F(x), ф-я м.б. аналитической или табличной задание. Соотв иметь непр либо дискр хар-р изменения. Также суммарн. вел-на в эк-ке – доход или издеожки как ф-ии объема перевозимого груза; объем перевозимого груза как ф-я ресурсов, в качестве кот-х выступает труд и капитал и др. 2) Средняя величина – опр-ся как отношение суммарной величины к независимым переменным .Пример – средняя фондоотдача, ср. доход, ср. грузооборот. 3) Предельная (маржинальная) вел-на – опр-ся как производная суммарной вел-ны F(x) по независимой переменной х: MF(x)=F'(x) – в случ, когда независ перемен х непрерывна. Если суммарная вел-на меняется дискретно, то MF(x) – это отношение изменения ∆ F(x) суммарной вел-ны F(x) к вызвавшему это изменение приращению ∆ х независимой переменной х: MF(x)= ∆ F(x)/ ∆ х. в это случ пред в-ну можно интерпретировать как изм сумм в-ны, вызв ув незав переменной на масштабную единицу. Пред в-на, как и сумм и ср, может задаваться в виде аналитич ф-лы или табл и представл графически.

В эк-ке часто приходится решать задачи на нахождение одной в-ны по др(напр ср или пред дохода по сумм). В этом случ исп аппарат дифференциального и интегрального исчисления ф-й одной перем.

Погрешность аппроксимации функции.

При построении экон.-мат-х моделей возник. задачи оценки погрешности аппроксимации опытных данных теоретическими. Опытные данные – это данные наблюдения над эконом-и процессами (стат. данные) в зависимости м/у 2мя переменными. Используют в виде таблицы (всем известной! ). Модуль разности м/у теоретическим значением ŷ _i и опытным y_i значением при конкретных x_i – наз-ся локальная погрешность результатирующего показателя . Абсолютно локальная погрешность . Относительно локальная погр. . М.б. в %. Для хар-ки на всем промежутке – рассматривают среднюю .

Ф-я предложения по цене.

Теория предложения явл зеркальным отражением теории спроса. «Все продавцы будут стремиться получить на рынке самую высокую цену, и чем выше цена, тем активнее будет увеличиваться предложение».

Определяющий фактор, влияющий на предложение, явл издержки пр-ва, е. сумма денежных расходов на пр-во. Чем ниже издержки, тем по более низким ценам конкурирующие фирмы готовы продавать свои товары.

Под предложением понимают сов-ть товаров, представленных к продаже по соответствующим, удовлетворяющим товаропроизводителя, ценам.

Кривая предложения представляет собой кривую предельных издержек фирмы на пр-во каждой новой единицы продукции.

Снижение цены р(х) ведет к соответствующему изменению предложения товаров х, повышение цен ведет к росту предложения.

Цена предложения - минимальная предельная цена, по которой фирма, исходя из своих издержек пр-ва еще намерена производить и продавать свою продукцию.

Функция предложения имеет форму: р(х)=с₂х^бета+с₃.

Для кривой 1 – C2> 0, C3> 0, β > 1, x> 0, p> 0

На в-ны и знак констант с2 и с3 влияет цена товара, число продавцов, налоги, цены на ресурсы и т.д.

для прямой 2 - C2> 0, C3> 0, β =1

для кривой 3 - C2> 0, C3> 0, 0< β < 1

Общее св-во: положит знач производной. p’(x), обулавл положит знач С2 и β

Ф-я спроса по цене.

Спрос - платежеспособная потребность покупателя, т.е. потребность покупателя, располаг ден ср-ми для приобретения товаров и услуг.

Под потребностью понимается нужда человека в конкретных благах, необх для поддержания жизнедеятельности и развития личности.

На спрос влияет 3 фактора: потребность человека в продукте; цена; уровень ден дохода потребителя.

В основе рыночного спроса лежит правило убывающей предельной полезности: «чем выше цена, тем меньше тех, кто согласится купить данный товар, т.е. меньше уровень спроса и наоборот». Напр чем меньше цена жд билета тем больше спрос на него при пост покуп-й способности населения.

График денежного спроса имеет вид убывающей кривой, а ее аналитическое выражение х(р)=с₀р^альфа+с₁. Для кривой 1 – C0> 0, C1> 0, α < 0, p (цена)> 0, x(спрос) > 0

На значения коэффициентов С0 и С1 оказывает влияние число потребителей на рынке, ден доходы и вкусы потребителей, цены конкурентов и цены на замещающие товары и др.

Для прямой 2 - C1> 0, C0< 0, α =1

Для кривой 3 - C1> 0, C0< 0, α > 0

Общим св-ом для всех кривых явл отриц знач производной p’(x). Обуславл для 1 кривой α < 0, для ост C0< 0.

Свойства эл-ти.

1. Пусть даны непрерывные функции Кроме того Тогда для функции ее эластичность Е_y будет удовлетворять следующему условию: Доказательство 2. Пусть функции Тогда эластичность произведения функций y(x)* z(x) равна сумме их эластичностей, а эластичность частного- разности их эластичностей, т.е. Доказательство

3. Пусть дана сложная функция y= y(x), где x= x(t), Тогда эластичность функции y(t) удовлетворяет равенству Доказательство 4. Пусть для функции y=f(x) существует обратная функция x= g(y). тогда эластичность обратной функции удовлетворяет соотношению:

Доказательство Поскольку для обратной функции выполняется тождество f(g(y))=y, тоб применяя cв-во 3 получим

Эл-ть показат ф-и

Анализируя ф-ю спроса, Алан Маршалл ввел понятие эластичности ф-и спроса. В дальнейшем это понятие было обобщено на произвольную экономич ф-ю.

Определение. Эластичн E_yx(х0) непр ф-и y=f(x) в точке х=х0 наз предел отнош относит приращения ф-ции в точке х0 к относит приращ аргумента в точке х0, когда абс приращ ∆ х стремится к 0, т.е

– коэф эл-ти ф-и у по х в точке х=х0. Из определения следует, что при малых ∆ х: , т.е. Эластичность – коэф. пропорциональности м/у относительными изменениями величины ф-ии и аргумента. Показывает на сколько % измениться относительное приращение ф-ии, еслт изменить на 1 % относительное приращение аргумента. Из анализа определения следует выр для эл через произв:

Следовательно, если ф-я y(x) на промежутке (a, b) дифференцируема, то для нее можно вычислить производную в точке х℮ (a, b) эластичность

Показат y=ab^x

y’_x=ab^xlnb

E_y(x)=xlnb

Коэф.эластич.производ.ф-ии

Важными хар-ми производ.ф-ии явл. коэф. эластич. выпуска по ресурсам.

Е_К = - Е_L = - Т.е. они равняются отношению предельной производительности соответ. рес-са к его сред.производ-ти.

Коэф. эластич. показывает на сколько % изменится выпуск прод-ции при увеличении затрат одного рес-са на 1 % и сохранении зн-я др.рес-са.

На ряду с понятием эластич.выпуска по затратам рес-сов в эк.анализе применяется понятие эластич. взаимозаменяемости рес-сов. При дв-нии вдоль изокванты F(K, L)=Y₀ =const вместе с координатами (.) (K, L) изменяется зн-е , и велечина отношения затрат L/K. Считая, что они связаны функционально: L/K= , в предположении, что ф-я дифф-мая, вычислим эластчность:

. Коэф. эластич. взаимозаменяемости рес-сов Е_LK показыв. на сколько % должно измениться отношение затрат рес-сов, чтобы предельная норма заменяемости рес-сов увелич. на 1%.

Е_LK принимает самые различные зн-я на промежутке [0; ). Чем выше зн-е коэф. эластич.взаимозамен.рес-сов, тем в более широких пределах рес-сы могут заменять др.др. При Е_LK =0 возможность замены рес-сов-отсутствует.При Е_LK → рес-сы могут заменять др.в самых широких пределах.

МНК для лин ф-и регр

вид: у_х=а+bx. Хар-ет семейства прямых, каждое из которых характеризуется конкретными значениями коэффициентов а и Ь, Наилучшей из всего множества прямых для рассматриваемой выборки является та прямая, которая на плоскости хОу расположена " ближе" всего, в определенном смысле, к опытным точкам. В качестве меры близости прямой и некоторой точки на плоскости можно выбрать расстояние между ними. При этом под расстоянием следует понимать модуль разности между опытным (наблюдаемым) значением результирующей величины и теоретическим.

В качестве критерия близости между прямой и множеством точек на плоскости целесообразно выбрать минимум суммы квадратов этих расстояний. Е=∑ (yi-a-bx_i)^2-> min. Здесь считается, что y_t и x_i - известные статистические данные; а

и Ъ — неизвестные параметры (коэффициенты) функции регрессии. Поскольку функция Е непрерывна, выпукла и ограничена снизу нулем, то она имеет минимум. Изложенная идея минимизации суммы квадратов отклонений (на плоскости расстояний) опытных от теоретических значений объясняемой переменной положена в основу метода наименьших квадратов.

Для нахождения коэф a и b лин регр, минимизирующих ф-ю, необходимо продифференцировать ее по а и Ъ и приравнять производные нулю:

После преобразований окончательно будем иметь

В рез-те решения будем иметь

Модель равновесных цен

Кроме модели Леонтьева, существует двойственная ей, так называемая модель равновесных цен.

Обозначим через р =[p_l, p₂, …p_n] транспонированный вектор- столбец цен, i -я координата которого p_i равна цене единицы продукции i-Й отрасли; х^T = [х,, х₂,..., х_n] 1 - транспонированный вектор-столбец валового выпуска x, А - матрицу прямых затрат.

Как и ранее, предполагается, что каждая отрасль производит один вид продукта (изделия). Тогда, если j -я отрасль выпускает х_i единиц изделий, то она получит доход, равный XjPj. Часть своего дохода, а именно

∑ a_ijx_jp_j j -я отрасль вынуждена будет потратить на закупку изделий других отраслей. Оставшуюся часть обозначим через z_j Эта часть дохода идёт на предпринимательскую прибыль и инвестиции, на выплату налогов и зарплат и т. д. Она носит название добавленной стоимости.

С учётом названных доходов и расходов уравнение баланса, выраженное в денежных единицах, примет вид p_jx_j=(∑ a_ijp_j)x_j+z_j (j=1, n)

После деления на Xj всех членов соотношения (1.10) оно запишется в следующей форме:

p_j=∑ a_ijp_j+мю_j, где мю_j=Z_j/x_j (1.11)

Величина мю_j равная отношению добавленной стоимости z_j, к сумме единиц выпускаемой продукции Xj j-ой отраслью, называется нормой добавленной стоимости.

Систему п скалярных уравнений (1.11) можно записать в векторноматричной форме:

p = A^Tp+мю, где

(1.12)

Уравнение (1.12), являющееся моделью равновесных цен, имеет внешнее сходство с моделью Леонтьева. Отличие заключается в замене вектора валового выпуска х на вектор стоимости р, вектора конечного потребления у на вектор норм добавленной стоимости мю., а матрица А заменена на транспонированную матрицу А^Т.

29. модель международной торговли (модель обмена)

Оптимальной моделью обмена является модель, которая позволяет торгующим между собой странам обеспечить взаимную выгоду. Для международной торговли это означает отсутствие значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран.

Рассмотрим общий случай, когда торговлю между собой осуществляют п- стран, причем i -я страна выделяет на приобретение товаров, в том числе и внутри страны, сумму x_i, составляющую ее бюджет.

Пусть a_ij— доля госбюджета, которую j -я страна тратит на закупки товаров i-й страны. Тогда после подведения итогов торговли за год i-я страна получит выручку:

или в векторно-матричной форме

р=Ах, где

матрица долей госбюджета, идущих на покупку товаров

-вектор-столбец выручек;

- вектор-столбец бюджетов стран.

Рассм когда число стран i=3

p₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃

p₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃

p₃=a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃или в векторно-матричной форме матрица долей гос бюджета 3 гос-в:

Утверждение. Условием бездефицитной торговли является выполнение равенства:

р =х или Ах=х, то есть х_i=р_i (1-16)

Доказательство. Предположим, что для некоторого i -го государства справедливо неравенство x_i> p_i (x_i < p_i). Запишем условие (1.16) с учетом предположения:

p₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+a_1nx_1n=x₁

p₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+a_2nx_1n=x₂

…………………………

p_i=a_i1x₁+a_i2x₂+a_inx_1n> x_i

…………………………

p_n=a_n1x₁+a_n2x₂+a_nnx_1n=x_n

Сложив все равенства и одно неравенство, получим: (∑ a_i₁)x₁+(∑ a_i₂)x₂+…+(∑ a_in)x_n> ∑ x_j

Так как суммы в скобке в соответствии с (1.15) равны единице, то получим противоречивое неравенство:

∑ x_j> ∑ x_j

Значит, наше предположение неверно. Аналогично в случае х_i < p_i получим:

∑ x_j< ∑ x_j

Следовательно, доказательство завершено. Другими словами, условие сбалансированной (бездефицитной) торговли означает, что для каждой страны ее бюджет должен быть равен выручке от торговли.

30. модель стабилизации цены на рынке одного товара (модель Эванса)

Существует ряд моделей стабилизации цены на рынке одного товара. Среди них можно выделить модели с дискретным и непрерывным временем работы рынка. К модели с дискретным временем относится «паутинообразная модель». В качестве примера модели с непрерывным временем является модель Эванса.

Для описания данной модели введем следующие обозначения: d(t) = Ф(p(t)) - спрос на товар во время t; p(t) - стоимость товара во время t; s(t) = [р(t)]^_ предложение товара в момент t.

В качестве допущений, на которых строится модель, принимаются следующие:

1)смена цены на товар происходит пропорционально разности между спросом и предложением в данный момент времени, т.е.

∆ p = y[d(t)-s(t)]dt, где у — коэффициент пропорциональности (у > 0);

2)спрос на товар падает по линейному закону, т.е d(t)=Ф(p(t)) = а - bp(t), a > 0, b > 0;

3)предложения товара с ростом цены растут по линейному закону,

т.е. s(t) = ¥ (p(t)) = α + β p(t), α > 0, β > 0, α < а.

Согласно допущениям взаимодействие покупателя и производителя товара происходит таким образом, что цена, которая отображает это взаимодействие, непрерывно приспосабливается до складывающейся ситуации на рынке. Цена растет, если спрос превышает предложения и цена падает, если предложения превышает спрос.

Подставив втрое и третье уравнения в первое уравнение, запишем его в виде

∆ p/∆ t= y[(a-bp(t)-(α +β p(t))] (2.1)

Перейдя к пределу при ∆ t —> 0 получим следующее дифференциальное неоднородное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

∆ p/∆ t = [(a-α )-(b+β )p(t)]

Для его однозначного решения к нему необходимо присоединить начальное условие р(0) = р₀, характеризующее тот факт, что в начальный момент времени t=0 цена =р₀

Из выражения (2.2) следует, что при начальной цене р₀ меньше стационарной p⁰— > происходит рост цены, так как lim p(t) —> p^o при t —> бесконечности. При p₀ > р⁰ происходит падение цены. Другими словами, в первом случае (р_а < р°) цена достигает равновесного значения увеличиваясь, а во втором случае (р_о> р°) уменьшаясь по сравнению с начальной. При этом равновесная цена р°не зависит от начальной цены р₀. Поскольку функции спроса и предложения являются линейными, то их графики представляют собой прямые линии, а тогда равновесная точка есть точка пересечения прямых линий.

Рис. 2.1 Схема механизма стабилизации цены.

Модель предприятия.

Основной критерий, на который ориентируется руководитель фирмы, состоит в максимизации дохода. Для простоты изложения модели рассмотрим задачу максимизации дохода фирмы, которая выпускает один продукт. Введем следующие обозначения для выпускаемой продукции и агрегированных видов ресурсов: У - годовой выпуск продукции в натурально-вещевой форме, т.е. число единиц продукта; К— основные производственные фонды (орудия труда); L — живой труд, представляющий среднюю численность занятых за год рабочих или количество человеко-часов за год; М — предметы (материалы) труда (израсходованные за год топливо, энергия, сырье, металлы, комплектующие изделия и т.п.). Заметим, что каждый из агрегированных видов ресурсов (труд L, фонды К и материалы М) содержит в свою очередь определенное число компонент.

Обозначим через вектор - столбец х вектор объемов затрат ресурсов, компоненты которого х1 = К, х₂ = L, x₃ = М. Тогда технология фирмы определяется ее производственной функцией, которая, как известно, устанавливает связь между выпуском продукции и компонентами ресурсов и имеет вид:

Y = F(x) = F(K, L, M).

Примем гипотезу, что функция Y = F(x) имеет непрерывно дифференцируемые частные производные…..

Если обозначить через W = [w_l, w₂, w_s] — вектор-строку цены компонент ресурсов, а через р -цену продукции, то определенному вектору затрат х соответствует свой доход, определяемый по следующей формуле:

П(У)= pF(x)-(w*x), (2.4)

где (w • х) - скалярное произведение вектор - строки цен ресурсов w на вектор - столбец затрат ресурсов х. В соотношении (2.4) произведение цены на функцию pF(x) представляет стоимость годового выпуска фирмой продукции, а скалярной произведение (w • х) — стоимость затрат ресурсов за год. С учетом принятых обозначений задача на максимум дохода будет иметь вид

П(У) = pF(x) - (w • х) = pF(x1, х₂, х3) - ∑ -> max

Дисперсионный анализ.

Непосредственному определению коэф дет предшествует анализ дисперсии.

Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними.

Центральное место в дисп.анализе занимает разложение общей суммы кв.отклонений результирующего показателя у от его сред.зн-я у (с чертой) на две части: объясненную(факторную) и остаточную(необъясн).

(общая сумма=объясн + ост)

Таким образом, условно все факторы, определяющие изменение результирующего показателя, разделены на две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы. Если изучаемый фактор х не оказывает влияния, то линия регрессии параллельна оси Ох, т. е. уравнение регрессии будет иметь вид: у_х = у=а. сумма факт=0

В этом случае влияние оказывают другие факторы, и, следовательно, вся дисперсия результативного признака обусловлена другими факторами.

Если другие факторы не оказывают влияние на результат у, то он связан с фактором х функционально, и сумма квадратов остатков будет равна нулю.

Тогда если ввести отнош суммы кв факторной к сумме кВ общей как коэф детерминации то он будет изменяться от 0 до 1. При чем если r=0 то связь отсутствует, если =1 то связь тесная функциональная.

r=∑ (y_xi-y^-)^2/∑ (y_i-y^-)^2=S²_yфакт/S²_y_общ. Через остаточную сумму: =1- S²_y_ост/ S²_y_общ

Замечание 1.

Можно показать что для лин ф-и регр сущ связь r=r_xy² т.е. квадрат коэф корр есть коэф детерминации.

Замечание 2. Коэф корр хар-т тесноту лин ф-ции регр, а детерм для любой.

В случае рассмотрения нелин ф-и регр находят коэф дет и зняю связь между коэ-ми вводят индекс корреляции. R_xy=r^1/2

Замечание 3. Между коэ кор, регрессии b и коэф дет для лин ф-ции регр сущ связь

Абс и относ в-ны в эк анализе.

12 3 4 5