продуктивные модели Леонтьева.

Определение. Матрица А (а> 0; i, j = 1, n) называется продуктивной, если для любого вектора у (у₁ > 0; 1 = 1, и) существует вектор x (х_; > 0; i = \, ri), который является решением векторно-матричного уравнения:

х=Ах+у. (1.5)

Модель Леонтьева, у которой матрица А продуктивная, называется продуктивной моделью.

Рассмотрим две теоремы, устанавливающие критерии продуктивности.

Теорема 1. Первый критерий продуктивности.

Если для матрицы А (д.. > 0; i, j = 1, и) и для некоторого вектора у(y_i₀ > 0; i = 1, п) уравнение (1.5) имеет решение х (х.„ > 0; i = 1, и), то матрица А продуктивна. Без доказательства.

Данная теорема утверждает, что нет необходимости требовать существования решения X (х_; > 0; i — 1, п) уравнения (1.5) для любого вектора у (у > 0; i = \, п), а достаточно найти хотя бы один такой вектор.

Для замкнутой экономической модели таким вектором может быть вектор y=0 (.у, = 0, i = 1, п). Тогда уравнение примет вид: x = Ах или (А — Е)х = 0, (1.6)

где Е — единичная матрица.

В этом случае решение X является собственным вектором матрицы А, соответствующим её собственному числу λ = 1. Таким образом, для продуктивности закрытой модели необходимо, чтобы матрица прямых затрат А имела собственное число λ = 1.

Теорема 2. Второй критерий продуктивности.

Матрица А (а.. > 0; i, j = 1, п) продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е — А)^- ¹ существует и неотрицательна.

Доказательство. Запишем уравнение Леонтьева (1.5) в виде

х -Ах =у, или (А - Е)х =у. (1.7)

Доказательство необходимости. Матрица С = (Е — А) ^-¹ существует и C_ij > 0. Тогда решение

х = (Е-А)^-1у (1.8)

существует, а поскольку у вектора у все компоненты у_ij ≥ 0, то и у вектора x все компоненты больше или равны нулю, т. е. x_ij ≥ 0. Следовательно, матрица А продуктивна.

Доказательство достаточности. Матрица А продуктивна. Рассмотрим вектор

У=∑ e_i

где e, = [l 0... О]^Т, е₂=[0 1... 0]^Т, ..., е_п-[0 0... 1]^T - вектор-столбцы.

Тогда, поскольку система уравнений (1.5) линейна, можно рассмотреть эквивалентную ей систему из п линейных систем уравнений:

(Е - А) х = e₁,..., (Е-А)х =e_n.

Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение C1(C > 0), с₂(с_2; > 0), C_n(c_ni > 0), то есть

(Е - А) с₁ = е_1,(Е-А)с₂ = е₂,..., (Е-А) с_n = е_n.

Обозначим через С матрицу, столбцы которой являются вектор- столбцами, то есть С = [С₁, с₂, с_n].

Так как Е = [e1, e2…e_n] является единичной матрицей, то (Е - А)С = Е, следовательно, матрица С есть обратная матрица (Е -А)^-1 к матрице (Е — А), причём с_ij≥ 0. Теорема доказана.

Замечание 1. Экономический смысл вектора е_i, означает, что на внешнее потребление выпускается только одна единица продукта i-й отрасли, так как

y = e_j=[0... 0 1 0... 0]^T или у_j = 1, у_к = 0; k≠ j, к = 1, п.

Модель равновесных цен

Кроме модели Леонтьева, существует двойственная ей, так называемая модель равновесных цен.

Обозначим через р =[p_l, p₂, …p_n] транспонированный вектор- столбец цен, i -я координата которого p_i равна цене единицы продукции i-Й отрасли; х^T = [х,, х₂,..., х_n] 1 - транспонированный вектор-столбец валового выпуска x, А - матрицу прямых затрат.

Как и ранее, предполагается, что каждая отрасль производит один вид продукта (изделия). Тогда, если j -я отрасль выпускает х_i единиц изделий, то она получит доход, равный XjPj. Часть своего дохода, а именно

∑ a_ijx_jp_j j -я отрасль вынуждена будет потратить на закупку изделий других отраслей. Оставшуюся часть обозначим через z_j Эта часть дохода идёт на предпринимательскую прибыль и инвестиции, на выплату налогов и зарплат и т. д. Она носит название добавленной стоимости.

С учётом названных доходов и расходов уравнение баланса, выраженное в денежных единицах, примет вид p_jx_j=(∑ a_ijp_j)x_j+z_j (j=1, n)

После деления на Xj всех членов соотношения (1.10) оно запишется в следующей форме:

p_j=∑ a_ijp_j+мю_j, где мю_j=Z_j/x_j (1.11)

Величина мю_j равная отношению добавленной стоимости z_j, к сумме единиц выпускаемой продукции Xj j-ой отраслью, называется нормой добавленной стоимости.

Систему п скалярных уравнений (1.11) можно записать в векторноматричной форме:

p = A^Tp+мю, где

(1.12)

Уравнение (1.12), являющееся моделью равновесных цен, имеет внешнее сходство с моделью Леонтьева. Отличие заключается в замене вектора валового выпуска х на вектор стоимости р, вектора конечного потребления у на вектор норм добавленной стоимости мю., а матрица А заменена на транспонированную матрицу А^Т.

29. модель международной торговли (модель обмена)

Оптимальной моделью обмена является модель, которая позволяет торгующим между собой странам обеспечить взаимную выгоду. Для международной торговли это означает отсутствие значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран.

Рассмотрим общий случай, когда торговлю между собой осуществляют п- стран, причем i -я страна выделяет на приобретение товаров, в том числе и внутри страны, сумму x_i, составляющую ее бюджет.

Пусть a_ij— доля госбюджета, которую j -я страна тратит на закупки товаров i-й страны. Тогда после подведения итогов торговли за год i-я страна получит выручку:

или в векторно-матричной форме

р=Ах, где

матрица долей госбюджета, идущих на покупку товаров

-вектор-столбец выручек;

- вектор-столбец бюджетов стран.

Рассм когда число стран i=3

p₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃

p₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃

p₃=a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃или в векторно-матричной форме матрица долей гос бюджета 3 гос-в:

Утверждение. Условием бездефицитной торговли является выполнение равенства:

р =х или Ах=х, то есть х_i=р_i (1-16)

Доказательство. Предположим, что для некоторого i -го государства справедливо неравенство x_i> p_i (x_i < p_i). Запишем условие (1.16) с учетом предположения:

p₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+a_1nx_1n=x₁

p₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+a_2nx_1n=x₂

…………………………

p_i=a_i1x₁+a_i2x₂+a_inx_1n> x_i

…………………………

p_n=a_n1x₁+a_n2x₂+a_nnx_1n=x_n

Сложив все равенства и одно неравенство, получим: (∑ a_i₁)x₁+(∑ a_i₂)x₂+…+(∑ a_in)x_n> ∑ x_j

Так как суммы в скобке в соответствии с (1.15) равны единице, то получим противоречивое неравенство:

∑ x_j> ∑ x_j

Значит, наше предположение неверно. Аналогично в случае х_i < p_i получим:

∑ x_j< ∑ x_j

Следовательно, доказательство завершено. Другими словами, условие сбалансированной (бездефицитной) торговли означает, что для каждой страны ее бюджет должен быть равен выручке от торговли.

30. модель стабилизации цены на рынке одного товара (модель Эванса)

Существует ряд моделей стабилизации цены на рынке одного товара. Среди них можно выделить модели с дискретным и непрерывным временем работы рынка. К модели с дискретным временем относится «паутинообразная модель». В качестве примера модели с непрерывным временем является модель Эванса.

Для описания данной модели введем следующие обозначения: d(t) = Ф(p(t)) - спрос на товар во время t; p(t) - стоимость товара во время t; s(t) = [р(t)]^_ предложение товара в момент t.

В качестве допущений, на которых строится модель, принимаются следующие:

1)смена цены на товар происходит пропорционально разности между спросом и предложением в данный момент времени, т.е.

∆ p = y[d(t)-s(t)]dt, где у — коэффициент пропорциональности (у > 0);

2)спрос на товар падает по линейному закону, т.е d(t)=Ф(p(t)) = а - bp(t), a > 0, b > 0;

3)предложения товара с ростом цены растут по линейному закону,

т.е. s(t) = ¥ (p(t)) = α + β p(t), α > 0, β > 0, α < а.

Согласно допущениям взаимодействие покупателя и производителя товара происходит таким образом, что цена, которая отображает это взаимодействие, непрерывно приспосабливается до складывающейся ситуации на рынке. Цена растет, если спрос превышает предложения и цена падает, если предложения превышает спрос.

Подставив втрое и третье уравнения в первое уравнение, запишем его в виде

∆ p/∆ t= y[(a-bp(t)-(α +β p(t))] (2.1)

Перейдя к пределу при ∆ t —> 0 получим следующее дифференциальное неоднородное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

∆ p/∆ t = [(a-α )-(b+β )p(t)]

Для его однозначного решения к нему необходимо присоединить начальное условие р(0) = р₀, характеризующее тот факт, что в начальный момент времени t=0 цена =р₀

Из выражения (2.2) следует, что при начальной цене р₀ меньше стационарной p⁰— > происходит рост цены, так как lim p(t) —> p^o при t —> бесконечности. При p₀ > р⁰ происходит падение цены. Другими словами, в первом случае (р_а < р°) цена достигает равновесного значения увеличиваясь, а во втором случае (р_о> р°) уменьшаясь по сравнению с начальной. При этом равновесная цена р°не зависит от начальной цены р₀. Поскольку функции спроса и предложения являются линейными, то их графики представляют собой прямые линии, а тогда равновесная точка есть точка пересечения прямых линий.

Рис. 2.1 Схема механизма стабилизации цены.

Модель предприятия.

Основной критерий, на который ориентируется руководитель фирмы, состоит в максимизации дохода. Для простоты изложения модели рассмотрим задачу максимизации дохода фирмы, которая выпускает один продукт. Введем следующие обозначения для выпускаемой продукции и агрегированных видов ресурсов: У - годовой выпуск продукции в натурально-вещевой форме, т.е. число единиц продукта; К— основные производственные фонды (орудия труда); L — живой труд, представляющий среднюю численность занятых за год рабочих или количество человеко-часов за год; М — предметы (материалы) труда (израсходованные за год топливо, энергия, сырье, металлы, комплектующие изделия и т.п.). Заметим, что каждый из агрегированных видов ресурсов (труд L, фонды К и материалы М) содержит в свою очередь определенное число компонент.

Обозначим через вектор - столбец х вектор объемов затрат ресурсов, компоненты которого х1 = К, х₂ = L, x₃ = М. Тогда технология фирмы определяется ее производственной функцией, которая, как известно, устанавливает связь между выпуском продукции и компонентами ресурсов и имеет вид:

Y = F(x) = F(K, L, M).

Примем гипотезу, что функция Y = F(x) имеет непрерывно дифференцируемые частные производные…..

Если обозначить через W = [w_l, w₂, w_s] — вектор-строку цены компонент ресурсов, а через р -цену продукции, то определенному вектору затрат х соответствует свой доход, определяемый по следующей формуле:

П(У)= pF(x)-(w*x), (2.4)

где (w • х) - скалярное произведение вектор - строки цен ресурсов w на вектор - столбец затрат ресурсов х. В соотношении (2.4) произведение цены на функцию pF(x) представляет стоимость годового выпуска фирмой продукции, а скалярной произведение (w • х) — стоимость затрат ресурсов за год. С учетом принятых обозначений задача на максимум дохода будет иметь вид

П(У) = pF(x) - (w • х) = pF(x1, х₂, х3) - ∑ -> max

Дисперсионный анализ.

Непосредственному определению коэф дет предшествует анализ дисперсии.

Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними.

Центральное место в дисп.анализе занимает разложение общей суммы кв.отклонений результирующего показателя у от его сред.зн-я у (с чертой) на две части: объясненную(факторную) и остаточную(необъясн).

(общая сумма=объясн + ост)

Таким образом, условно все факторы, определяющие изменение результирующего показателя, разделены на две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы. Если изучаемый фактор х не оказывает влияния, то линия регрессии параллельна оси Ох, т. е. уравнение регрессии будет иметь вид: у_х = у=а. сумма факт=0

В этом случае влияние оказывают другие факторы, и, следовательно, вся дисперсия результативного признака обусловлена другими факторами.

Если другие факторы не оказывают влияние на результат у, то он связан с фактором х функционально, и сумма квадратов остатков будет равна нулю.

Тогда если ввести отнош суммы кв факторной к сумме кВ общей как коэф детерминации то он будет изменяться от 0 до 1. При чем если r=0 то связь отсутствует, если =1 то связь тесная функциональная.

r=∑ (y_xi-y^-)^2/∑ (y_i-y^-)^2=S²_yфакт/S²_y_общ. Через остаточную сумму: =1- S²_y_ост/ S²_y_общ

Замечание 1.

Можно показать что для лин ф-и регр сущ связь r=r_xy² т.е. квадрат коэф корр есть коэф детерминации.

Замечание 2. Коэф корр хар-т тесноту лин ф-ции регр, а детерм для любой.

В случае рассмотрения нелин ф-и регр находят коэф дет и зняю связь между коэ-ми вводят индекс корреляции. R_xy=r^1/2

Замечание 3. Между коэ кор, регрессии b и коэф дет для лин ф-ции регр сущ связь

1 2 3 45