Разложение функции в ряд Фурье.

Вопросы

Кратные интегралы

1.1 Двойной интеграл: вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах.

1.2 Приложения двойного интеграла к задачам геометрии.

1.3 Тройной интеграл: вычисление тройного интеграла в декартовых, цилиндрических координатах.

1.4 Приложения тройного интеграла к задачам геометрии.

 

Криволинейные и интегралы

2.1 Криволинейный интеграл 1-го рода: вычисление, свойства и приложения.

2.2 Криволинейный интеграл 2-го рода: свойства, вычисление, приложения. Формула Остроградского-Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути на плоскости.

 

Поверхностные интегралы

3.1 Основные свойства поверхностного интеграла 1 рода, вычисление.

3.2 Определение поверхностного интеграла 2 рода.

3.3 Основные свойства поверхностного интеграла 2 рода, вычисление.

3.4 Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов.

3.5 Формула Остроградского-Гаусса.

3.6 Формула Стокса.

Теория поля

4.1 Поле. Скалярное поле. Векторное поле.

4.2 Характеристики скалярного поля: линии (поверхности) уровня, градиент, производная по направлению.

4.3 Характеристики векторного поля: векторные линии, дивергенция, поток, циркуляция, ротор, потенциал.

 

Теория рядов

5.1 Числовой ряд. Сходимость. Общий член ряда. Сумма ряда. Достаточный признак расходимости. Обобщенно-гармонический ряд.

5.2 Признаки сходимости: признаки Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши, признак сравнения.

5.3 Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

5.4 Степенные ряды: интервал и радиус сходимости. Разложение функции в степенной ряд. Применение к приближенным вычислениям.

5.5 Ряд Фурье. Разложение функций в ряд Фурье.

 

Банк задач

Ряды

1. 1) Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену: а) ; б) .

2) Найти суммы рядов: а) ; б) ; в) .

3) Исследовать ряды на сходимость: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) , е) .

4) Исследовать ряды на абсолютную сходимость:

а) ; б) .

2. Найти область сходимости рядов. Выяснить сходимость на концах интервала сходимости: а) ; б) ; в) ; г) ; д)

3. 1) Разложить в ряд Маклорена следующие функции (используя «готовые» разложения):

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

2) Вычислить приближенно с точностью до 0, 001:

а) ; б) ; в) ; г) (определив );

ж) ; з) ; и) ; к) .

4. 1) Разложить в ряд Фурье функцию y = 1+ на (-p, p).

2) Разложить функцию в ряд Фурье y=x-1 , -2< x 2.

3) Разложить функцию в ряд Фурье y=2x, -1< x 1.

Кратные интегралы

1. Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2. 1) Вычислить , если область ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

2) Вычислить , если область ограничена линиями х = 0, х = у², у = 2.

3) Вычислить , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х=2.

4) Вычислить , если область интегрирования .

5) Вычислить по области D, ограниченной линиями:

3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) ; 2) ; 3) ;

4)

4. 1) Вычислить: .

2) Вычислить , где ограничена линиями

3) Вычислить интеграл , где , .

4) Вычислить интеграл , где .

5) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

6) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

5. 1) Вычислить .

2) Вычислить где

3) Вычислить

4) Вычислить объем тела , ограниченного поверхностями: , , .

5) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: .

6) Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями и имеющего плотность .

 

Криволинейные интегралы

1. 1)Вычислить , где L – дуга параболы от т.А(2; 7) до т.В(4; 19);

2) , где L – кривая ; 3) , где L -

 

2. 1) Вычислить , если кривая интегрирования С: y=2x²; от А(1, 2) до В(2, 8).

2) Вычислить по кривой от точки до точки .

3) Вычислить , где - ломаная, проходящая через точки , , .

4) Вычислить , где L – линия, заданная уравнением .

5) Вычислить : 1) по дуге кубической параболы ; 2) по дуге . Результаты, полученные в заданиях 1 и 2 объяснить.

 

3. Вычислить криволинейные интегралы по формуле Грина:

1)

2) , вдоль контура треугольника ABC, где А(1, 2), В(1, 5), С(3, 5).

3) .

Поверхностные интегралы

1.

1) Вычислить , где - часть поверхности , отсеченной плоскостью .

2) Вычислить , где - часть плоскости , расположенной в четвертом октанте.

2.

1) Вычислить , где - верхняя сторона части плоскости, расположенной в 4ом октанте .

2) Вычислить , где - внешняя сторона поверхности , отсеченная плоскостями ,

3) Вычислить , где - верхняя сторона нижней половины сферы .

3. Вычислить интегралы, применив соответствующую теорему Остроградского-Гаусса или Стокса

1) , где - окружность, заданная пересечением двух поверхностей: цилиндра и плоскости , обход по окружности производится в положительном направлении относительно нормали к поверхности.

2) , где - контур треугольника с вершинами , , , если контур треугольника задать, как пересечение плоскости с координатными плоскостями .

3) , где - верхняя сторона куба, составленного плоскостями .

4) , где - поверхность цилиндра .

Теория поля

1. Дана функция и точки A₁(-1; 2; 1), A₂(3; 1; -1)

Вычислить:

А) производную этой функции в точке A₁ по направлению вектора ;

В) grad U(A₁).

2. Вычислить поток векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью и координатными плоскостями с помощью формулы Остроградского-Гаусса.

3. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора .

4. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль контура , в направлении обхода – в сторону увеличения параметра t.

5. Выяснить, является ли векторное поле гармоническим.

СТРУКТУРА БИЛЕТА: 14 ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЯ – ПО 1 БАЛЛУ, 6 ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ – ОТ 3 ДО 6 БАЛЛОВ.

ЧТО МОЖНО ПРИНЕСТИ НА ЭКЗАМЕН:

Поверхности.

Вопросы

Кратные интегралы

1.1 Двойной интеграл: вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах.

1.2 Приложения двойного интеграла к задачам геометрии.

1.3 Тройной интеграл: вычисление тройного интеграла в декартовых, цилиндрических координатах.

1.4 Приложения тройного интеграла к задачам геометрии.

 

Криволинейные и интегралы

2.1 Криволинейный интеграл 1-го рода: вычисление, свойства и приложения.

2.2 Криволинейный интеграл 2-го рода: свойства, вычисление, приложения. Формула Остроградского-Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути на плоскости.

 

Поверхностные интегралы

3.1 Основные свойства поверхностного интеграла 1 рода, вычисление.

3.2 Определение поверхностного интеграла 2 рода.

3.3 Основные свойства поверхностного интеграла 2 рода, вычисление.

3.4 Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов.

3.5 Формула Остроградского-Гаусса.

3.6 Формула Стокса.

Теория поля

4.1 Поле. Скалярное поле. Векторное поле.

4.2 Характеристики скалярного поля: линии (поверхности) уровня, градиент, производная по направлению.

4.3 Характеристики векторного поля: векторные линии, дивергенция, поток, циркуляция, ротор, потенциал.

 

Теория рядов

5.1 Числовой ряд. Сходимость. Общий член ряда. Сумма ряда. Достаточный признак расходимости. Обобщенно-гармонический ряд.

5.2 Признаки сходимости: признаки Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши, признак сравнения.

5.3 Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

5.4 Степенные ряды: интервал и радиус сходимости. Разложение функции в степенной ряд. Применение к приближенным вычислениям.

5.5 Ряд Фурье. Разложение функций в ряд Фурье.

 

Банк задач

Ряды

1. 1) Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену: а) ; б) .

2) Найти суммы рядов: а) ; б) ; в) .

3) Исследовать ряды на сходимость: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) , е) .

4) Исследовать ряды на абсолютную сходимость:

а) ; б) .

2. Найти область сходимости рядов. Выяснить сходимость на концах интервала сходимости: а) ; б) ; в) ; г) ; д)

3. 1) Разложить в ряд Маклорена следующие функции (используя «готовые» разложения):

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

2) Вычислить приближенно с точностью до 0, 001:

а) ; б) ; в) ; г) (определив );

ж) ; з) ; и) ; к) .

4. 1) Разложить в ряд Фурье функцию y = 1+ на (-p, p).

2) Разложить функцию в ряд Фурье y=x-1 , -2< x 2.

3) Разложить функцию в ряд Фурье y=2x, -1< x 1.

Кратные интегралы

1. Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2. 1) Вычислить , если область ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

2) Вычислить , если область ограничена линиями х = 0, х = у², у = 2.

3) Вычислить , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х=2.

4) Вычислить , если область интегрирования .

5) Вычислить по области D, ограниченной линиями:

3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) ; 2) ; 3) ;

4)

4. 1) Вычислить: .

2) Вычислить , где ограничена линиями

3) Вычислить интеграл , где , .

4) Вычислить интеграл , где .

5) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

6) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

5. 1) Вычислить .

2) Вычислить где

3) Вычислить

4) Вычислить объем тела , ограниченного поверхностями: , , .

5) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: .

6) Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями и имеющего плотность .

 

Криволинейные интегралы

1. 1)Вычислить , где L – дуга параболы от т.А(2; 7) до т.В(4; 19);

2) , где L – кривая ; 3) , где L -

 

2. 1) Вычислить , если кривая интегрирования С: y=2x²; от А(1, 2) до В(2, 8).

2) Вычислить по кривой от точки до точки .

3) Вычислить , где - ломаная, проходящая через точки , , .

4) Вычислить , где L – линия, заданная уравнением .

5) Вычислить : 1) по дуге кубической параболы ; 2) по дуге . Результаты, полученные в заданиях 1 и 2 объяснить.

 

3. Вычислить криволинейные интегралы по формуле Грина:

1)

2) , вдоль контура треугольника ABC, где А(1, 2), В(1, 5), С(3, 5).

3) .

Поверхностные интегралы

1.

1) Вычислить , где - часть поверхности , отсеченной плоскостью .

2) Вычислить , где - часть плоскости , расположенной в четвертом октанте.

2.

1) Вычислить , где - верхняя сторона части плоскости, расположенной в 4ом октанте .

2) Вычислить , где - внешняя сторона поверхности , отсеченная плоскостями ,

3) Вычислить , где - верхняя сторона нижней половины сферы .

3. Вычислить интегралы, применив соответствующую теорему Остроградского-Гаусса или Стокса

1) , где - окружность, заданная пересечением двух поверхностей: цилиндра и плоскости , обход по окружности производится в положительном направлении относительно нормали к поверхности.

2) , где - контур треугольника с вершинами , , , если контур треугольника задать, как пересечение плоскости с координатными плоскостями .

3) , где - верхняя сторона куба, составленного плоскостями .

4) , где - поверхность цилиндра .

Теория поля

1. Дана функция и точки A₁(-1; 2; 1), A₂(3; 1; -1)

Вычислить:

А) производную этой функции в точке A₁ по направлению вектора ;

В) grad U(A₁).

2. Вычислить поток векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью и координатными плоскостями с помощью формулы Остроградского-Гаусса.

3. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора .

4. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль контура , в направлении обхода – в сторону увеличения параметра t.

5. Выяснить, является ли векторное поле гармоническим.

СТРУКТУРА БИЛЕТА: 14 ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЯ – ПО 1 БАЛЛУ, 6 ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ – ОТ 3 ДО 6 БАЛЛОВ.

ЧТО МОЖНО ПРИНЕСТИ НА ЭКЗАМЕН:

Разложение функции в ряд Фурье.

Поделиться:

Популярное:

1. Hекоторые стандартные функции
2. I. Интегральное исчисление функции одной переменной
3. I. Спинной мозг: строение и функции
4. II. 60. Порядок сертификации плодов, овощей и продуктов их переработки.
5. II. Средние показатели ряда динамики
6. II. Ценности и функции культуры. Человек как творец и продукт культуры.
7. III. 41. Стратегия и функции управления.
8. III. Порядок выполнения курсовой работы
9. III. Порядок защиты дипломной работы
10. III. СОЗДАНИЕ ОРГАНИЗАЦИИ. УЧРЕДИТЕЛИ ОРГАНИЗАЦИИ. ПОРЯДОК ПРИЕМА ЧЛЕНОВ В ОРГАНИЗАЦИЮ. ПРАВА И ОБЯЗАННОСТИ ЧЛЕНОВ ОРГАНИЗАЦИИ.
11. V1: Культурология как наука. Понятие, сущность, формы и функции культуры.
12. V1: Основания для проведения экспертизы Организация и порядок проведения товарной экспертизы