Линии второго порядка на плоскости

1.Эллипс.Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная , большая, чем расстояние между фокусами .

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

, где .

Расположим систему координат следующим образом: за ось примем прямую, проходящую через фокусы и , за ось примем перпендикуляр к оси абсцисс, проходящий через середину отрезка . , , и - точки пересечения эллипса с осями симметрии (координатными осями) называются вершинами эллипса. Отрезки и называются осями эллипса, причем – большая ось, а - малая ось, так как . Параметры и , входящие в канониче ское уравнение, называются полуосями эллипса, а называется фокусным расстоянием эллипса. Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к большей полуоси . Очевидно, что . Прямые называются директрисами эллипса .

Пусть точка – произвольная точка эллипса. Длины отрезков и называются фокальными радиусами .

и

Если фокусы эллипса лежат на оси , то большей осью будет отрезок , а малой осью отрезок . Тогда , а директрисами являются прямые . Если , то эллипс превращается в окружность, определяемую уравнением

.

Уравнение определяет вырожденный эллипс, т.е. это уравнение определяет на плоскости только одну точку . Уравнение определяет мнимый эллипс, т.е. это уравнение не определяет на плоскости никакого геометрического образа.

Если центр эллипса находится в точке и оси параллельны осям координат, то его уравнение имеет вид:

Типовой пример. Построить кривую .

► Выделяем полные квадраты.

, ,

, ,

, .

Это эллипс. ; , .◄

2. Гипербола.Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная , меньшая, чем расстояние между фокусами .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где .

Расположим систему координат следующим образом: за ось примем прямую, проходящую через фокусы и , за ось примем перпендикуляр к оси абсцисс, проходящий через середину отрезка .

Гипербола имеет две оси симметрии (оси координат), с одной из которых она пересекается в точках , , называемых вершинами гиперболы. Отрезок – действительная ось, – мнимая ось. Параметры и , входящие в каноническое уравнение, называются полуосями гиперболы, а называется фокусным расстоянием гиперболы. Прямоугольник со сторонами и называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали этого прямоугольника называются асимптотами гиперболы. Уравнения асимптот имеют вид:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной полуоси . Очевидно, что . Прямые называются директрисами гиперболы .

Пусть точка – произвольная точка гиперболы.

Длины отрезков и называются фокальными радиусами . и

Если гипербола расположена так, что ее фокусы лежат на оси , то действительной осью будет отрезок , а мнимой осью – отрезок и уравнение ее имеет вид . Тогда и директрисами являются прямые , а асимптоты будут те же, что и у гиперболы (1).

Гиперболы(1)и(2)называются сопряженными.Если , то гипербола называется равносторонней.

Простейшие уравнения равносторонней гиперболы имеют вид:

, .

Если центр гиперболы находится в точке и оси параллельны осям координат, то уравнение ее имеет вид:

или .

3. Парабола.Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки , называемой фокусом, и данной прямой , называемой директрисой.

Величина , равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы.

Расположим систему координат следующим образом: за одну из координатных осей примем ось параболы, а за другую – прямую, перпендикулярную оси и проведенную посередине между фокусом и директрисой.

Тогда уравнения параболы будут иметь вид:

Пусть вершина параболы находится в точке , тогда ее уравнения имеют вид: если ось параболы параллельна оси , то ; если ось параболы параллельна оси , то .

Типовой пример.Построить параболу . Записать координаты фокуса и уравнения директрисы.

► Из канонического уравнения параболы определим: 1) .

2) Ось параболы - , вершина – точка , фокус – , директриса – прямая .

3) Из определения параболы следует, что параболе принадлежат точки, которые лежат на прямой, параллельной директрисе, на расстоянии от фокуса. ◄

4. Общее уравнение линии второго порядка.Общее уравнение имеет вид

.

Коэффициенты , и одновременно в нуль не обращаются. С помощью преобразования системы координат общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к каноническому виду.

Пусть . Получим общее уравнение линии второго порядка с осями симметрии, параллельными осям координат.

Оно приводится к каноническому виду с помощью параллельного переноса осей координат. При приведении общего уравнения к каноническому виду удобно использовать метод выделения полных квадратов.

По коэффициентам уравнения можно определить вид кривой:

если , то это уравнение окружности;

если , то это уравнение эллипса;

если , то это уравнение гиперболы;

если или , то это уравнение параболы.

Типовые примеры.

1) Привести общее уравнение к каноническому виду и построить кривую.

► По условию , уравнение эллипса. Выделим полные квадраты относительно и относительно .

– уравнение эллипса с центром в точке и с полуосями , .◄

2) Привести общее уравнение к каноническому виду и построить кривую.

► По условию , уравнение гиперболы. Выделим полные квадраты относительно и относительно .

– уравнение гиперболы с центром в точке , действительная полуось , мнимая полуось .◄

3) Привести общее уравнение к каноническому виду и построить кривую.

► По условию уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна .

Выделим полный квадрат относительно . – уравнение параболы с вершиной в точке , параметр , ветви направлены влево. ◄

Типовой пример. Найти уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами на оси ОХ, если прямая проходит через левый фокус гиперболы и перпендикулярна ее асимптоте с отрицательным угловым коэффициентом.

► Из условия задачи следует, что каноническое уравнение искомой гиперболы имеет вид:

,

уравнения асимптот , а фокусы .

Так как заданная прямая проходит через левый фокус , то коэффициенты точки должны принадлежать уравнению прямой, т. е.

и, следовательно, .

Для гиперболы . Подставив найденное значение , получим первое уравнение относительно неизвестных и :

.

Второе уравнение мы найдем если запишем условие перпендикулярности заданной прямой в асимптоте с отрицательным угловым коэффициентом.

Пусть – угловой коэффициент заданной прямой, – угловой коэффициент асимптоты, тогда . Из уравнения прямой следует, что

или – условие перпендикулярности заданной прямой и асимптоты. Таким образом, для отыскания неизвестных величин и мы имеем:

Решив эту систему, получим: . Следовательно, искомое уравнение гиперболы имеет вид

.◄

 

Пример. Два предприятия и , расстояние между которыми равно 200 км, производят некоторое изделие, заводская цена которого одна и та же для обоих предприятий. Транспортные расходы на перевозку единицы изделия от предприятия до потребителя составляют 9 руб/км, а от предприятия – 3 руб/км. Как следует разделить рынок сбыта, чтобы расходы потребителей были одинаковыми. Какому потребителю изделия какого предприятия выгоднее покупать?

► Выберем прямоугольную систему координат, поместив начало координат в середине отрезка и направив оси координат по лучу и перпендикуляру к нему (рис.3). Определим геометрическое место точек, в которых расходы потребителей на приобретение продукции предприятий и будут одинаковыми. Пусть потребитель находится в точке . Обозначим расстояния: (км), (км).

 

y

 

 

P(x, y)

S₁ S₂

C A 0 В x

 

Тогда расходы на приобретение единицы изделия предприятия составят , а предприятия . Так как расходы потребителей должны быть одинаковы, то или . (*)

Используя координаты точек и , вычислим значения и подставим их в равенство (*), тогда:

Отсюда получаем уравнение:

=

или .

Преобразуем это уравнение, разделив сначала обе части его на число 8, и затем выделив полные квадраты в левой части, тогда

или .

Последнее уравнение является уравнением окружности, с центром в точке и радиусом .

Для потребителей, находящихся на этой окружности, , следовательно, , поэтому расходы на приобретение изделия как одного, так и другого предприятия, одинаковы. Для потребителей, находящихся внутри ограниченного этой окружностью круга , следовательно, , поэтому расходы на приобретение изделий предприятия ниже. Аналогично можно установить, что для потребителей, находящихся вне этого круга, ниже расходы на приобретение изделий предприятия .

Следовательно, рынок сбыта можно выгодно (экономично) поделить так: а) потребителям, находящимся на окружности, безразлично, изделия какого предприятия ( или ) покупать; б) потребители, находящиеся внутри указанного круга, покупают изделия предприятия ; в) потребители, находящиеся вне круга, покупают изделия предприятия .◄

Пример. Кооператив, объединяющий х работников–исполнителей заказов и одного заведующего, имеет в месяц 3 000 рублей фонда заработной платы. Записать формулу для размера заработной платы каждого сотрудника кооператива, если ее размер одинаков и для каждого работника, и для заведующего. Каков размер заработной платы, если в кооперативе 9 работников – исполнителей заказов?

► Чтобы подсчитать размер заработной платы, следует фонд 3 000 рублей разделить на число сотрудников, поэтому – искомая формула. Эта формула имеет вид (2), следовательно, ей соответствует гипербола, горизонтальной асимптотой которой является ось ОХ, а вертикальной – прямая .

При имеем (руб).◄

 

Пример. В условиях предыдущего примера предполагается, что кооператив решил производить отчисления по 50 руб. в месяц с каждого сотрудника в фонд дальнейшего развития своего предприятия. Как запишется при этом формула для заработной платы сотрудника?

► Так как теперь каждый сотрудник будет получать на 50 рублей меньше, чем в условиях примера 2, то – искомая формула. Значит ей соответствует гипербола, горизонтальной асмптотой которой является прямая , а вертикальной – прямая .◄

 

 

y

– 1 x

 

– 50

 

 

 

Пример. Пусть в момент началось производство определенного типа машин, которые раньше не производились. Допустим, что выпуск машин происходит равномерно, стоимость годового объема выпуска их составляет 5 млн. рублей, а срок эксплуатации машин равен 10 годам. Определить стоимость всех машин этого типа на конец -го года. Подсчитать эту стоимость на конец 4-го года.

► Стоимость всех машин указанного типа в –ом году без учета износа составляет 5 · 10⁶ · (руб.). Однако вследствие износа фактическая стоимость их будет значительно меньше. Среди всех действующих к моменту машин имеются такие, которые поступили в начале интервала времени , а также такие, которые поступили только что. Поскольку поступление машин происходило равномерно, то средний возраст всех машин можно считать равным . Амортизация на каждую действующую машину накапливается равномерно. Ввиду 10-летнего срока эксплуатации в данном примере ежегодное накопление составляет 10% (одну десятую часть) стоимости машины. Ежегодные амортизационные накопления на все машины, действующие к моменту , составляют 10% от их стоимости, или . А так как средний возраст всех машин равен лет, то амортизационные отчисления на все машины, действующие к моменту , составят (руб). Вычитая эту сумму из стоимости без учета износа, получим фактическую стоимость всех машин на конец t – го года, т.е. искомая стоимость составляет: (руб.). Это целая рациональная функция второго порядка (квадратичная функция) вида с коэффициентами: ; ; .

Стоимость всех машин на конец 4-го года будет равна

(руб) или 16 млн руб.◄

 

Пример. Построить графики функций спроса и предложения и найти точку равновесия, если ; .

► Построим в плоскости РОQ графики функций спроса и предложения (см. рис.).

В точке равновесия (точке пересечения графиков) спрос равен предложению. Для нахождения координат этой точки решим систему:

.

Из этой системы получаем

Þ ◄

 

 

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

По заданному уравнению поверхности будем определять ее внешний вид методом сечений, т.е. будем находить линии пересечения поверхности с координатными плоскостями или с плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

 

1. Эллипсоид.Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

.

1) Находим линию пересечения эллипсоида с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение эллипса с полуосями и .

 

2) Находим линию пересечения эллипсоида с плоскостью .

Решаем систему уравнений

–

это уравнение эллипса с полуосями

и .

 

3) Находим линию пересечения эллипсоида с плоскостью .

Решаем систему уравнений

– это уравнение эллипса с полуосями и .

Эллипсоид – это замкнутая овальная поверхность. , , – полуоси эллипсоида. Если , то эллипсоид превращается в сферу.

 

2. Однополостный гиперболоид.Каноническое уравнение имеет вид

Строим методом сечений.

1) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение эллипса с полуосями и .

 

2) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости :

Решаем систему уравнений

 

 

- это уравнение эллипса с полуосями и .

 

 

3) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений - это уравнение гиперболы, где – действительная полуось, а - мнимая полуось.

4) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

- это уравнение гиперболы.

- действительная полуось, а – мнимая полуось.

Однополостный гиперболоид – это бесконечная труба, которая бесконечно расширяется по мере удаления от плоскости . , , – это полуоси гиперболоида. Полуось увидим, если построим основной прямоугольник какой-либо из гипербол.

 

3. Двуполостный гиперболоид.Каноническое уравнение имеет вид

.

1) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений:

– это уравнение мнимого эллипса.

Следовательно, с плоскостью нет общих точек.

2) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости : .

а) Решаем систему уравнений – это уравнение мнимого эллипса, так как .

б) Решаем систему уравнений

.

Получим точки и .

в) Решаем систему уравнений

;

– это уравнение эллипса, с полуосями и .

2) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений .

Это уравнение гиперболы, где -действительная полуось, а - мнимая полуось.

3) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

- это уравнение гиперболы,

где - действительная полуось, а – мнимая полуось.

Двуполостный гиперболоид – это две чаши с вершинами в точках и , которые бесконечно расширяются по мере удаления от плоскости . , и - полуоси гиперболы. Полуоси и увидим, если построим основные прямоугольники обеих гипербол.

4. Эллиптический параболоид.Каноническое уравнение имеет вид

,

 

где и это параметры параболоида, ;