Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях

Рассмотрим частные случаи расположения плоскости , определяемой общим уравнением: .

1. Если , то .

, то .

Если , то .

Если , то проходит через начало координат.

2. Если , то .

Если , то .

Если , то .

3. Если , то проходит через ось .

Если , то проходит через ось .

Если , то проходит через ось .

4. Если – это уравнение плоскости .

Если – это уравнение плоскости .

Если – это уравнение плоскости .

5. Если , то уравнение плоскости можно привести к виду: или . Обозначив ,

получим (3) – уравнение плоскости в отрезках на осях,

где , , – точки пересечения с осями координат.

Типовые примеры. Построить плоскости, заданные общими уравнениями:

 

1.

.

2. .	3. .
4. .	5. .

 

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны точки , , принадлежащие плоскости .

Точка - произвольная точка плоскости . Построим векторы: ,

,

.

Так как точки лежат в одной плоскости, то векторы компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю.

(4)	- уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Типовой пример. Составить уравнение плоскости , проходящей через точки , , .

► Пусть - текущая точка плоскости , следовательно, , векторы , а значит их смешанное произведение равно нулю: .

, , .

Смешанное произведение этих векторов в координатной форме

.

, раскрыв скобки и приведя подобные члены, получаем уравнение плоскости : - общее уравнение плоскости, – уравнение плоскости в отрезках на осях.◄

Типовой пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

► Используем уравнение (4):

. ◄

 

Пучок плоскостей

Пусть плоскости и пересекаются по прямой a.

Плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей, образуют пучок плоскостей. Уравнение пучка плоскостей: .

Чтобы написать уравнение какой-либо плоскости пучка, достаточно знать точку, через которую она проходит.

Типовой пример. Написать уравнение плоскости , проходящей через линию пересечения плоскостей и , и через точку .

► Запишем уравнение пучка плоскостей: .

Значение определяем из условия, что плоскость проходит через точку : , или .

Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

или . ◄

 

Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости

Пусть даны плоскости:

, где ,

, где .

6.1. Если

– условие параллельности плоскостей.

6.2. Если

 

– условие

перпендикулярности

плоскостей.

6.3. Если , то

 

.

7. Расстояние от точки до плоскости

 

находим по формуле

 

Типовой пример. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; 2; 21), В(2; 1; 1) перпендикулярно плоскости .

► Пусть – нормальный вектор данной плоскости. Поскольку искомая плоскость проходит через точки А и В и перпендикулярна данной плоскости, то векторы и параллельны искомой плоскости. Значит, нормальный вектор искомой плоскости можно найти как векторное произведение векторов и .

, ,

.

Уравнение искомой плоскости запишется в виде

, или .◄

Типовой пример. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку , параллельно плоскости : .

► , значит, нормаль плоскости будет нормалью плоскости . Нормаль плоскости , значит . Пусть - текущая точка плоскости . Тогда вектор . , следовательно, их скалярное произведение , т.е. , или , или .◄

 

Прямая в пространстве

Общие уравнения прямой

Прямая может быть задана как линия пересечения двух плоскостей.

(1) – общие уравнения прямой .

2. Канонические уравнения прямой

Пусть заданы прямая , точка и вектор .

Произвольная точка лежит на прямой , если

(2) – канонические уравнения прямой .

3десь: – текущие координаты, - координаты точки , – координаты вектора .

Типовой пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

.

► 1-й способ. 1) Найдем точку , принадлежащую прямой .

Предположим, что и решим систему

, .

 

2) Найдем вектор , параллельный прямой . Так как он должен быть перпендикулярен векторам и , то за можно принять векторное произведение векторов и .

, где .

Искомая прямая определяется уравнениями . ◄

 

► 2-й способ. Найдем две точки и искомой прямой.

Предположим, что и решим систему

, .

( см. 1 способ решения).

Записываем уравнения прямой , проходящей через точки и

. ◄

Типовой пример. Написать канонические и параметрические уравнения прямой , проходящей через точку , параллельной оси ОУ.

► Так как искомая прямая параллельна оси ОУ, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор (здесь этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор оси ОУ).

Получаем уравнения прямой :

– канонические;

– параметрические.◄

12345

Поделиться:

Популярное:

1. Адсорбционное уравнение Гиббса
2. Блуждание точки по плоскости (двумерное броуновское движение одной точки)
3. Векторы в пространстве. Векторное и смешанное произведения векторов и их свойства.
4. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
5. Вибрирующие рамы располагают как в горизонтальной, так и в наклонной плоскости.
6. Вопрос 290. Действие уголовного закона во времени и в пространстве. Обратная сила уголовного закона.
7. Вопрос 6 .Интерференция поляризованного света. Вращение плоскости поляризации.
8. Вопрос. Идеальный газ. Уравнение идеального газа. Газовые законы.
9. Геометрическая интерпретация комплексного числа на комплексной плоскости.
10. Действие закона в пространстве.
11. Действие уголовного закона во времени и пространстве.
12. Денежные агрегаты. Уравнение обмена Фишера.