Системы координат на плоскости

1. Прямоугольная система координат на плоскости определяется заданием масштабной единицы измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей ( ось абсцисс ), ( ось ординат), пересекающихся в одной точке , называемой началом координат.

Возьмем произвольную точку плоскости и проведем через нее прямые, перпендикулярные осям координат.

Эти прямые пересекают оси координат соответственно в точках , . Первой координатой точки , ее абсциссой, называется длина отрезка , взятая со знаком плюс, если отрезок направлен в ту же сторону, что и ось , и со знаком минус – если в противоположную. Аналогично, ординатой точки называется длина отрезка , взятая со знаком плюс или минус.

Оси координат разбивают координатную плоскость на четыре части, которые называются четвертями. Например, в первой четверти .

2. Полярная система координат определяется заданием масштабной единицы измерения длин, точкой , называемой полюсом, и лучом , называемым полярной осью.

Пусть задана полярная система координат и произвольная точка на плоскости. Полярными координатами точки называются числа и . – расстояние от точки до полюса, называется полярным радиусом. – угол, на который нужно повернуть полярную ось до совмещения с лучом , называется полярным углом. Точка с полярными координатами обозначается: . Пределы изменения полярных координат: , . Однако в некоторых случаях приходится рассматривать углы больше , а также отрицательные углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Типовой пример. Построить точку .

► 1. Проведем из полюса луч под углом к полярной оси.

2. На этом луче отложим 4 единичных отрезка. Получим точку . ◄

3. Связь между прямоугольными и полярными координатами. Совместим прямоугольную и полярную системы координат так, чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось совпала с положительным направлением оси .

Пусть точка имеет прямоугольные координаты и полярные . То

гда получим

	а) формулы перехода от прямоугольных ко- ординат к полярным;

, ,	б) формулы перехода от полярных координат к прямоугольным.

Типовой пример. Уравнение окружности в прямоугольной системе координат имеет вид . Записать уравнение в полярной системе координат.

► Перейдем к полярным координатам , .

Следовательно, –это уравнение данной окружности в полярной системе координат. ◄

Типовой пример. Пусть задана кривая уравнением в полярных координатах

Найти уравнение кривой в декартовых координатах.

► Имеем

, , , , , .

Итак, – уравнение кривой в декартовых координатах (эллипс).◄

4. Преобразование прямоугольных координат. Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат. Рассмотрим два вида преобразований.

4.1. Параллельный перенос осей координат. Под параллельным переносом понимают такое преобразование координат, при котором меняется положение осей координат, а направление и масштаб остаются неизменными.

Пусть – координаты произвольной точки в системе координат . Перенесем начало координат из точки в точку . Тогда в новой системе координат координаты точки будут :

.	- формулы, по которым можно найти новые координаты по известным старым и наоборот.

4.2. Поворот осей координат. Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Повернем систему координат на угол . Пусть – – произвольная точка плоскости. – координаты точки в системе координат , – координаты точки в системе координат .

Введем полярные координаты точки : – координаты точки в системе координат , – координаты точки в системе координат .

По формулам перехода от прямоугольных координат к полярным имеем:

Но , .

Поэтому

- формулы, по которым можно найти новые координаты по известным старым.

Или . Здесь – матрица поворота.

Найдем значения и с помощью полученных формул. Для этого решим систему уравнений по формулам Крамера: ,

- формулы, по которым можно найти старые координаты по известным новым.

Типовой пример. Определить координаты точки в новой системе координат , если начало координат перенесли в точку , а затем оси координат повернули на угол .