Свойства смешанного произведения

Свойства смешанного произведения

1. . Данное равенство позволяет обозначать смешанное произведение векторов , , символом , не указывая при этом, какие именно два вектора (первые или последние) перемножаются векторно.

2. Величина векторного произведения не изменяется при циклической перестановке сомножителей:

3. векторы компланарны.

4. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей. В частности,

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.

Теорема. Если векторы заданы своими координатами: , , , то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.

Действительно, . Тогда

Типовой пример. Даны точки A(4; -1; 3), B(0; 1; 2), C(3; -2; 5), D(1; -1; 1). Найти: а) площадь треугольника АВС; б) высоту треугольника АВС, опущенную из вершины А на сторону ВС; в) объём пирамиды АВСD.

► а) Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма S, построенного на векторах и , т.е. . Имеем , ,

;

б) ; , ; ;

в) Объём пирамиды АВСD равен объёма параллелепипеда, построенного на векторах . Имеем , , ;

.◄

Типовой пример. Даны координаты вершин пирамиды .

► 1) Найти длину ребра .

2) Найти угол между ребрами и .

3) Найти угол между ребром и гранью . Сначала найдем вектор нормали к грани как векторное произведение векторов и .

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2),

Найдем угол между вектором нормали и вектором .

, -4 – 4 = -8.

Искомый угол g между вектором и плоскостью будет равен g = 90⁰ – b.

4) Найти площадь грани

5) Найти объем пирамиды.

(ед³).◄

Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости

Пусть в системе координат задана прямая , проходящая через точку , и задан ненулевой вектор , перпендикулярный прямой . Произвольная точка будет лежать на прямой тогда и только тогда, когда , . Из условия перпендикулярности векторов следует, что

(1) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору.

Преобразуем уравнение (1):

(2) – общее уравнение прямой.

Вектор называется нормальным вектором прямой .

Частные случаи расположения прямой на плоскости.

Уравнение в отрезках на осях.

Пусть прямая задана общим уравнением .

Если , то прямая проходит через начало координат;

, то ;

Если , то – это ось ;

, то – это ось ;

Если .

можно преобразовать к виду ,

, обозначим

Получим

(3) – уравнение прямой в отрезках на осях,

где и – точки пересечения с осями координат. Уравнение (3) используется при построении прямой в системе координат .

Типовой пример. Построить прямую .

► Приведем уравнение к уравнению в отрезках на осях:

. ◄

Типовой пример. Построить прямую .

► Приведем уравнение к уравнению в отрезках на осях

, , . ◄

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой

а) Пусть прямая задана общим уравнением , а прямая параллельна прямой и проходит через точку . Составим уравнение прямой . Произвольная точка будет лежать на прямой , если , . Из условия перпендикулярности векторов получим уравнение прямой .

(4) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

б) Пусть прямая задана общим уравнением , а прямая перпендикулярна прямой и проходит через точку . Составим уравнение прямой . Произвольная точка будет принадлежать прямой , если , . Из условия коллинеарности векторов получаем уравнение прямой .

(5) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть точки и лежат на прямой . Произвольная точка будет лежать на прямой тогда и только тогда, когда , , .

Из условия коллинеарности векторов получим уравнение.

(6) – уравнение прямой, проходящей через две точки

Параметрическое уравнение

Пусть в каноническом уравнении , где – параметр, .

Тогда

(8) – параметрические уравнения прямой

Придавая в (8) параметру конкретные значения, мы будем получать координаты точек, лежащих на прямой.

Плоскость

1. Общее уравнение плоскости. Пусть заданы: система координат , плоскость , точка и вектор . Произвольная точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы и будут перпендикулярны, т.е. . Координаты векторов: , . Следовательно,

(1) – уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярной данному вектору, где – текущие координаты; - координаты точки ; – координаты вектора . Преобразуем уравнение (1).

. Получим (2) – общее уравнение плоскости .

Из общего уравнения получаем вектор , называемый нормальным вектором плоскости .

Типовой пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярной вектору .

► Применяя уравнение (1), получим: ;

или – это и есть общее уравнение плоскости. ◄

Пучок плоскостей

Пусть плоскости и пересекаются по прямой a.

Плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей, образуют пучок плоскостей. Уравнение пучка плоскостей: .

Чтобы написать уравнение какой-либо плоскости пучка, достаточно знать точку, через которую она проходит.

Типовой пример. Написать уравнение плоскости , проходящей через линию пересечения плоскостей и , и через точку .

► Запишем уравнение пучка плоскостей: .

Значение определяем из условия, что плоскость проходит через точку : , или .

Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

или . ◄

Прямая в пространстве

Общие уравнения прямой

Прямая может быть задана как линия пересечения двух плоскостей.

(1) – общие уравнения прямой .

2. Канонические уравнения прямой

Пусть заданы прямая , точка и вектор .

Произвольная точка лежит на прямой , если

(2) – канонические уравнения прямой .

3десь: – текущие координаты, - координаты точки , – координаты вектора .

Типовой пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

► 1-й способ. 1) Найдем точку , принадлежащую прямой .

Предположим, что и решим систему

, .

2) Найдем вектор , параллельный прямой . Так как он должен быть перпендикулярен векторам и , то за можно принять векторное произведение векторов и .

, где .

Искомая прямая определяется уравнениями . ◄

► 2-й способ. Найдем две точки и искомой прямой.

Предположим, что и решим систему

, .

( см. 1 способ решения).

Записываем уравнения прямой , проходящей через точки и

. ◄

Типовой пример. Написать канонические и параметрические уравнения прямой , проходящей через точку , параллельной оси ОУ.

► Так как искомая прямая параллельна оси ОУ, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор (здесь этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор оси ОУ).

Получаем уравнения прямой :

– канонические;

– параметрические.◄

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

По заданному уравнению поверхности будем определять ее внешний вид методом сечений, т.е. будем находить линии пересечения поверхности с координатными плоскостями или с плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

1. Эллипсоид. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

1) Находим линию пересечения эллипсоида с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение эллипса с полуосями

2) Находим линию пересечения эллипсоида с плоскостью .

Решаем систему уравнений

–

это уравнение эллипса с полуосями

и .

3) Находим линию пересечения эллипсоида с плоскостью .

Решаем систему уравнений

– это уравнение эллипса с полуосями и .

Эллипсоид – это замкнутая овальная поверхность. , , – полуоси эллипсоида. Если , то эллипсоид превращается в сферу.

2. Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение имеет вид

Строим методом сечений.

1) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение эллипса с полуосями и .

2) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости :

Решаем систему уравнений

- это уравнение эллипса с полуосями и .

3) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений - это уравнение гиперболы, где – действительная полуось, а - мнимая полуось.

4) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

- это уравнение гиперболы.

- действительная полуось, а – мнимая полуось.

Однополостный гиперболоид – это бесконечная труба, которая бесконечно расширяется по мере удаления от плоскости . , , – это полуоси гиперболоида. Полуось увидим, если построим основной прямоугольник какой-либо из гипербол.

3. Двуполостный гиперболоид. Каноническое уравнение имеет вид

1) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений:

– это уравнение мнимого эллипса.

Следовательно, с плоскостью нет общих точек.

2) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости : .

а) Решаем систему уравнений – это уравнение мнимого эллипса, так как .

б) Решаем систему уравнений

Получим точки и .

в) Решаем систему уравнений

;

– это уравнение эллипса, с полуосями и .

2) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений .

Это уравнение гиперболы, где -действительная полуось, а - мнимая полуось.

3) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

- это уравнение гиперболы,

где - действительная полуось, а – мнимая полуось.

Двуполостный гиперболоид – это две чаши с вершинами в точках и , которые бесконечно расширяются по мере удаления от плоскости . , и - полуоси гиперболы. Полуоси и увидим, если построим основные прямоугольники обеих гипербол.

4. Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение имеет вид

где и это параметры параболоида, ; ,

Строим методом сечений.

1) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

– это уравнение точки .

2) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными

плоскости . Решаем систему уравнений:

– это уравнение эллипса с полуосями и . При получим уравнение мнимого эллипса.

3) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

– это уравнение параболы симметричной относительно оси .

4) Аналогично найдем линию пересечения с плоскостью . Это будет парабола симметричная относительно оси . Если , то получаем параболоид вращения.

5. Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение имеет вид

где и – это параметры параболоида, ; ,

Строим методом сечений. 1) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

– это уравнение параболы, симметричной относительно оси .

2)Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

– это уравнение параболы, симметричной относительно оси .

3) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости .

а) Решаем систему уравнений

– это уравнение гиперболы, у которой - действительная полуось, а - мнимая полуось.

б) Решаем систему уравнений

( знак левой части изменился, так как по условию) – это уравнение гиперболы, у которой – действительная полуось, а – мнимая полуось.

4) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

– это уравнение двух прямых, проходящих через точку .

Гиперболический параболоид – это поверхность, имеющая вид седла.

6. Конус второго порядка. Каноническое уравнение имеет вид

Строим методом сечений.

1) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

– это уравнение точки .

2) Находим линии пересечения с плоскостями параллельными . Решаем систему уравнений

– это уравнение эллипса с полуосями и .

3) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

– это уравнение двух прямых, проходящих через начало координат.

4) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

– это уравнение двух прямых, проходящих через начало координат.

7. Цилиндрические поверхности. Задаются уравнениями:

12 3 4 5