Уравнения плоскости. Расположение плоскости в пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

Определение 11.2 Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.

Замечание 11.1 Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля.

Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно.

Теорема 11.1 Пусть вектор является нормальным вектором плоскости П, проходящей через точку . Тогда уравнение

(11.1)

является уравнением плоскости П.

Доказательство. Пусть -- некоторая точка плоскости П (рис. 11.1). Иногда говорят " текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.

Рис.11.1.

Вектор лежит на плоскости П . Следовательно, вектор ортогонален вектору n. Если же взять точку , не лежащую на плоскости, то вектор не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (свойство 8, теорема 10.2), то условием того, что точка М лежит в плоскости П, является выполнение равенства

(11.2)

Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле (10.1), получим формулу (11.1). Пусть r -- радиус-вектор текущей точки M плоскости П, -- радиус-вектор точки. Тогда уравнение (11.2) можно переписать в виде

Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости.

Раскроем скобки в уравнении (11.1). Так как точка -- фиксированная, то выражение является числом, которое обозначим буквой. Тогда уравнение (11.1) принимает вид

(11.3)

Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, так как.

Верно и обратное утверждение: Теорема 11.2 Всякое уравнение (11.3), в котором, является уравнением плоскости, ортогональной вектору .

Доказательство. Условие означает, что хотя бы одно из чисел , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число B. Преобразуем уравнение (11.3) следующим образом:

По теореме 11.1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку .

Теорема 11.1 позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Однако, довольно часто встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна точка, лежащая на ней, и два неколлинеарных вектора, лежащих или, что то же самое, параллельных плоскости. Покажем на примере, как решается такая задача.

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей

Плоскость, прямая, точка — основные понятия геометрии. Нам трудно дать им четкие определения, однако интуитивно мы понимаем, что это такое. Плоскость имеет только два измерения. У нее нет глубины. Прямая имеет лишь одно измерение, а у точки вообще нет размеров — ни длины, ни ширины, ни высоты.

Плоскость бесконечна. Поэтому в задачах мы рисуем только часть плоскости. Надо же как-то ее изобразить.

А как все это выглядит в пространстве? Очень просто. Лист плотной бумаги послужит «моделью» плоскости. Можете взять другой плоский предмет, например, CD-диск, пластиковую карту. Карандаши вполне могут изобразить прямые. Все аксиомы и теоремы стереометрии можно показать «на пальцах», то есть с помощью подручных материалов. Читаете — и сразу стройте такую «модель».

Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются. Примеры в окружающем пространстве найти легко.

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Мы не рассматриваем отдельно случай «плоскости совпадают». Раз совпадают — значит, это одна плоскость, а не две.

10. Уравнения прямой в пространстве.

Уравнение прямой в трехмерной декартовой системе координат, параллельной вектору (a, b, c) и проходящей через точку с координатами (x0, y0, z0), проще всего записать в параметрическом виде:

где t – произвольное действительное число.

Вектор (a, b, c) называется направляющим вектором.

Угол между двумя прямыми вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти прямые параллельны векторам (a1, b1, c1) и (a2, b2, c2) соответственно, то угол между ними равняется

11. Понятие n-мерного вектора. Операции над n-мерными векторами. Линейная зависимость. Базис. Скалярное произведение и норма вектора в Rⁿ.

В разделе векторы - основные определения мы ввели понятие вектора в двумерном пространстве (на плоскости) и в трехмерном пространстве. В этой статье мы отойдем от геометрического истолкования вектора и посмотрим на него не как на направленный отрезок, а как на упорядоченный набор чисел с присущими ему свойствами. То есть, мы рассматрим векторы с позиций алгебры, что позволит расширить понятие вектора на случай n-мерного пространства. Итак, мы дадим понятие n-мерного вектора, зададим операции над n-мерными векторами, перечислим свойства этих операций и покажем их применение при решении задач.

Определение.

Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел называется

n-мерным вектором. Числа называются координатами вектора.

Векторы обозначаются строчными латинскими буквами, например, a, b, c и т.п., координаты вектора указываются в скобках.

Если записать вектор a как , то имеем вектор-строку; если записать , то имеем вектор-столбец. Это две формы записи одного и того же объекта - n-мерного вектора.

Обратите внимание: при обозначении n-мерных векторов стрелочка сверху над буквой (которая ставится при обозначении вектора на плоскости и в трехмерном пространстве) отсутствует.

Определение. Вектор , все координаты которого равны нулю, называют нулевым вектором.

Определение. Вектор называется противоположным вектору . Для n-мерных векторов задаются две операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

Определение.Суммой двух векторов и называется вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат, то есть, .

Следует отметить, что складывать можно только векторы количество координат которых совпадает. Операция сложения для векторов, имеющих различное число координат, не определена.

Определение.Произведением действительного или комплексного числа и вектора называется вектор, координаты которого равны соответствующим координатам вектора а, умноженным на , то есть, .

Введенные таким образом операции над n-мерными векторами при n = 2 и n = 3 полностью согласуются с операциями сложения и умножения вектора на число на плоскости и в трехмерном пространстве в геометрическом смысле. Под координатами двумерного или трехмерного вектора

этом случае понимаем координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве соответственно.

Перечислим свойства операций над n-мерными векторами.

Для любых векторов и произвольных действительных или комплексных чисел справедливо:

свойство коммутативности сложения векторов a + b = b + a;

свойство ассоциативности векторов (a + b) + c = a + (b + c);

существует нейтральный вектор по операции сложения, им является нулевой вектор, a + 0 = a;

для любого вектора существует противоположный вектор, которые в сумме дают нулевой вектор a + (-a) = 0; Сочетательное свойство умножения . Первое распределительное свойство . Второе распределительное свойство . существует нейтральное число по операции умножения, им является единица .

Эти свойства справедливы в силу свойств операций сложения и умножения действительных или комплексных чисел.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов a и b есть сумма векторов a и -b.

Перечисленные свойства операций позволяют выполнять преобразования в выражениях содержащих векторы по тем же принципам, что и в числовых выражениях.

Линейное пространство, элементами которого являются векторы, называется векторным или арифметическим.

11Линейная зависимость Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

Свойство Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Доказательство. Так как система векторов линейно зависима, то равенство возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть . Добавим к исходной системе векторов еще s векторов , при этом получим систему . Так как и , то линейная комбинация векторов этой системы вида

представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

12 Понятие матрицы. Сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число и их свойства.Сложение матриц

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число l называется матрица В, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на l, т.е.

Найти результат умножения матрицы А на число 4.

Вычитание матриц

Разность двух матриц одинакового размера можно определить через операцию сложения матриц и через умножение матрицы на число:

Свойства операции сложения матриц.

Для матриц А, В и С одного порядка характерно свойство ассоциативности сложения А + (В + С) = (А + В) + С.

Для матриц данного порядка существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевая матрица. То есть, справедливо свойство А + О = А.

Для ненулевой матрицы А данного порядка существует матрица ( – А ), их суммой является нулевая матрица: А + ( - А ) = О.

Для матриц А и В данного порядка справедливо свойство коммутативности сложения А + В = В + А. Следовательно, множество матриц данного порядка порождает аддитивную группу Абеля (абелеву группу относительно алгебраической операции сложения).

Свойства операции умножения матрицы на число.

Для матриц одного порядка А и В, а также произвольного действительного (или комплексного) числа справедливо свойство дистрибутивности.

Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел и выполняется свойство дистрибутивности.

Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел и справедливо свойство ассоциативности умножения.

Нейтральным числом по умножению на произвольную матрицу А является единица, то есть, .

Если матрицы А, В и С подходящих порядков, то справедливы следующие свойства операции умножения матриц.Свойство ассоциативности умножения матриц .

Два свойства дистрибутивности и .

В общем случае операция умножения матриц некоммутативна . Единичная матрица Е порядка n на n является нейтральным элементом по умножению, то есть, для произвольной матрицы А порядка p на n справедливо , а для произвольной матрицы А порядка n на p справедливо .

Следует отметить, что при подходящих порядках произведение нулевой матрицы О на матрицу А дает нулевую матрицу. Произведение А на О также дает нулевую матрицу, если порядки позволяют проводить операцию умножения матриц.

Среди квадратных матриц существуют так называемые перестановочные матрицы, операция умножения для них коммутативна, то есть . Примером перестановочных матриц является пара единичной матрицы и любой другой матрицы того же порядка, так как справедливо .

Приоритетность операций над матрицами такая же, как и приоритетность операций над числами. То есть, сначала выполняется умножение, после этого сложение.

123 4 5